Справочный материал Примеры Обратите внимание! Модели
Рассмотрим функцию LaTeX formula: f(x), определенную на некотором отрезке LaTeX formula: [a;b], который разобьем на LaTeX formula: n элементарных отрезков длин  LaTeX formula: \Delta x_{1},\Delta x_{2},...,\Delta x_{n}. В каждом из этих отрезков произвольным образом выберем точку  LaTeX formula: M_{k}(x_{k}) и найдем произведения значений функции в этой точке  LaTeX formula: f(x_{k}) и  LaTeX formula: \Delta x_{k}, где LaTeX formula: k=\overline{1,n}.
Интегральной суммой называют выражение вида 
LaTeX formula: \sum_{k=1}^{n} f(x_{k})\Delta x_{k} LaTeX formula: (7.38)
Определенным интегралом от функции LaTeX formula: f(x)  называют предел ее интегральной суммы:
LaTeX formula: \int_{a}^{b}f(x)dx=\lim_{d\rightarrow 0} \sum_{k=1}^{n} f(x_{k})\Delta x_{k} , LaTeX formula: (7.39)
где LaTeX formula: d – наибольшая из длин отрезков LaTeX formula: \Delta x_{k}; LaTeX formula: x – переменная интегрирования; LaTeX formula: a – нижний, LaTeX formula: b – верхний пределы интегрирования.
Связь между неопределенным и определенным интегралом выражает теорема Ньютона – Лейбница: определенный интеграл от непрерывной функции равен разности значений ее первообразной для верхнего и нижнего предела интегрирования. 
Формула Ньютона–Лейбница: 
LaTeX formula: \int_{a}^{b}f(x)dx=F(b) -F(a) . (7.40)
Например, LaTeX formula: \int \frac{dx}{\sqrt{x}}=2\sqrt{x}+C, а LaTeX formula: \int_{4}^{9} \frac{dx}{\sqrt{x}}=2\sqrt{x}\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{4}^{9}=2\sqrt{9}-2\sqrt{4}=6-4=2.
Основные свойства определенного интеграла:
LaTeX formula: \int_{a}^{b} kf(x)dx=k\int_{a}^{b} f(x)dx; LaTeX formula: (7.41)   
LaTeX formula: \int_{a}^{b} f(x)dx=-\int_{b}^{a}f(x)dx ; LaTeX formula: (7.42)
LaTeX formula: \int_{a}^{a} f(x)dx=0; LaTeX formula: (7.43) 
LaTeX formula: \int_{a}^{b} \left (f_{1}(x)\pm f_{2}(x) \right )dx=\int_{a}^{b} \left f_{1}(x)dx\pm \left f_{2}(x)dx. LaTeX formula: (7.44)
Пример 1. Вычислите LaTeX formula: \int_{-1}^{1}\frac{(2x+5)dx}{(x^2+5x+4)^{2}}.
Решение. Воспользуемся формулой преобразования дифференциала 7.25  и табличным интегралом  LaTeX formula: \int \frac{du}{u^2}=-\frac{1}{u}+C. Получим:
 LaTeX formula: \int_{0}^{1}\frac{(2x+5)d(x^2+5x+4)}{(x^2+5x+4)^{2}(2x+5)}= \int_{0}^{1}\frac{d(x^2+5x+4)}{(x^2+5x+4)^{2}}=-LaTeX formula: \frac{1}{x^2+5x+4}\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{0}^{1}=\frac{1}{10}-\frac{1}{4}=-\frac{3}{20}.
Ответ:  LaTeX formula: -\frac{3}{20}.
Пример 2. Вычислите  LaTeX formula: \int_{1}^{4}\frac{dx}{\sqrt{x}+1}.
Решение.  Применим метод подстановки 7.24 и формулу 7.40 . Полагая  LaTeX formula: \sqrt{x}=t, получим:  LaTeX formula: x=t^2, dx=2tdt. 
Учитывая, что LaTeX formula: x_{1}=1, а LaTeX formula: x_{2}=4, найдем новые пределы интегрирования:  LaTeX formula: t_{1}=\sqrt{1}=1,t_{2}=\sqrt{4}=2. 
Найдем интеграл:
 LaTeX formula: \int_{1}^{2}\frac{2tdt}{t+1}=2\int_{1}^{2}\frac{(t+1)-1}{t+1}dt=2\int_{1}^{2}dt-2\int_{1}^{2} \frac{dt}{t+1}=LaTeX formula: 2t-2ln \left |t+1 \right |\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{1}^{2}=LaTeX formula: 4-2ln3-2+2ln2=2+2ln\frac{2}{3}.
Ответ:  LaTeX formula: 2+2ln\frac{2}{3}.
Пример 3. Вычислите  LaTeX formula: \int_{0}^{1}arcsinxdx.
Решение. Применим формулу интегрирования по частям 7.26 и формулу 7.40 .  
Положим  LaTeX formula: arcsinx=u, а LaTeX formula: dx=dv, откуда  LaTeX formula: \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=du,x=v. Тогда
LaTeX formula: \int_{0}^{1}arcsinxdx=xarcsinx\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{0}^{1}-\int_{0}^{1}\frac{xdx}{\sqrt{1-x^2}}=xarcsinx\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{0}^{1} -LaTeX formula: \int_{0}^{1}\frac{xd(1-x^2)}{-2x\sqrt{1-x^2}}=LaTeX formula: xarcsinx\left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{0}^{1}+\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\frac{d(1-x^2)}{\sqrt{1-x^2}}=xarcsinx+\sqrt{1-x^2} \left.\begin{matrix} & \\ & \end{matrix}\right|_{0}^{1} =LaTeX formula: \frac{\pi }{2}+0-0-1=\frac{\pi }{2}-1.
Ответ:   LaTeX formula: \frac{\pi }{2}-1.
1. Чтобы вычислить определенный интеграл, необходимо найти соответствующий неопределенный интеграл и применить формулу Ньютона-Лейбница.
2. Сами методы интегрирования в случае неопределенного и в случае определенного интегралов не различаются.
Подстановка выполняется по формуле: 
LaTeX formula: \int f(x)dx=\int f(g(t)) g{}'(t)dt, (7.24)
где  LaTeX formula: x=g(t) – дифференцируемая функция переменной LaTeX formula: t.
Преобразовать дифференциал можно по формуле:
LaTeX formula: \int f(x)dx=\int \frac{f(x)dg(x)}{g{}'(x)} (7.25)
Формула интегрирования по частям:
LaTeX formula: \int udv=uv-\int vdu, (7.26)
где  LaTeX formula: u=f_{1}(x), а  LaTeX formula: v=f_{2}(x) – дифференцируемые функции.
formula