Справочный материал Примеры Обратите внимание! Модели
1. Метод подстановки 
Подстановка выполняется по формуле: 
LaTeX formula: \int f(x)dx=\int f(g(t)) g{}'(t)dt, (7.24)
где  LaTeX formula: x=g(t) – дифференцируемая функция переменной LaTeX formula: t.
Этот метод в отдельных случаях позволяет свести интеграл к табличному. 
2. Метод изменения формы дифференциала
Преобразовать дифференциал можно по формуле:
LaTeX formula: \int f(x)dx=\int \frac{f(x)dg(x)}{g{}'(x)}. (7.25)
Этот метод в отдельных случаях позволяет свести интеграл к табличному. 
3. Метод интегрирования по частям
Метод интегрирования по частям применяют в случае, когда подынтегральная функция является трансцендентной функцией или представляет собою произведение алгебраической и трансцендентной функций. Например: LaTeX formula: \int ln xdx;\int arcsinxdx; \int xlnxdx; \int xcosxdx; \int xe^xdx.
Формула интегрирования по частям:
LaTeX formula: \int udv=uv-\int vdu, (7.26)
где  LaTeX formula: u=f_{1}(x), а  LaTeX formula: v=f_{2}(x) – дифференцируемые функции.
В качестве LaTeX formula: u обычно выбирается функция, которая упрощается дифференцированием, а в качестве LaTeX formula: dv – оставшаяся часть подынтегрального выражения, обязательно содержащая LaTeX formula: dx. 
В некоторых случаях формула 7.26 применяется несколько раз. Например,LaTeX formula: \int x^2lnxdx   и LaTeX formula: \int x^3sinxdx.
В отдельных случаях искомый интеграл находится из уравнения, полученного в результате интегрирования по частям. Например, LaTeX formula: \int e^x sinxdx  и LaTeX formula: \int e^x cosxdx.
Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен
Интегрирование некоторых функций, содержащих квадратный трехчлен, можно выполнить по формулам 7.18,7.19,7.20,7.21,7.22 и 7.23 , если дополнить квадратный трехчлен до квадрата суммы или квадрата разности в общем случае так:
LaTeX formula: ax^2\pm bx+c=a \left (x^2\pm \frac{b}{a}x+\frac{c}{a} \right )=a \left (x^2\pm 2 \cdot \frac{b}{2a}x+\frac{c}{a} \right )=LaTeX formula: a \left (x^2\pm 2 \cdot \frac{b}{2a}x +\left (\frac{b}{2a} \right )^2-\left (\frac{b}{2a} \right )^2 + \frac{c}{a} \right ) =LaTeX formula: a \left (\left (x\pm \frac{b}{2a} \right )^2-\left (\frac{b}{2a} \right ) ^2+\frac{c}{a} \right ).
Таблица 2. Неопределенные интегралы 
LaTeX formula: \int \frac{du}{u^2-a^2}=\frac{1}{2a}ln\frac{\left |u-a \right |}{\left |u+a \right |}+C (7.18) 
LaTeX formula: \int \frac{du}{u^2+a^2}=\frac{1}{a}arctg\frac{u}{a}+C (7.19) 
LaTeX formula: \int \frac{du}{\sqrt{a^2-u^2}}=arcsin\frac{u}{a}+C (7.20) 
LaTeX formula: \int \frac{du}{\sqrt{u^2+a}}=ln \left |u+ \sqrt{u^2+a} \right | +C (7.21) 
LaTeX formula: \int \sqrt{u^2+a}du=\frac{u}{2}\sqrt{u^2+a} +\frac{a}{2}ln \left |u+ \sqrt{u^2+a} \right | +C (7.22) 
LaTeX formula: \int \sqrt{a^2-u^2}du=\frac{u}{2}\sqrt{a^2-u^2} +\frac{a^2}{2}arcsin\frac{u}{a}+C (7.23)
Интегрирование рациональных дробей
Многочленом степени n от одной переменной LaTeX formula: x называют выражение вида 
LaTeX formula: P_{n}(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0} LaTeX formula: (7.27)
при LaTeX formula: a_{n}\neq 0  и LaTeX formula: n\in N.
Числа  LaTeX formula: a_{n},a_{n-1},...,a_{1},a_{0} называют коэффициентами многочлена, при этом число  LaTeX formula: a_{n} называют старшим коэффициентом многочлена, а число LaTeX formula: a_{0}  – свободным членом. Коэффициенты многочлена, за исключением его старшего коэффициента, могут быть равны нулю.
Например: LaTeX formula: P(x)=3x^2+10x+5  – многочлен второй степени.
Многочлен вида LaTeX formula: P_{0}(x)=a_{0}x^{0}=a_{0}  называют многочленом нулевой степени, а если LaTeX formula: a_{0}=0, то имеем нулевой многочлен. 
Например, LaTeX formula: P(x)=-4x^0=-4  – многочлен нулевой степени, а LaTeX formula: P(x)=0  – нулевой многочлен.
Корнем многочлена  LaTeX formula: P_{n}(x) называют такое число LaTeX formula: x_{0}, что LaTeX formula: P_{n}(x_{0})=0. Число с называют корнем кратности LaTeX formula: k
 многочлена LaTeX formula: f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0} , если справедливо равенство LaTeX formula: f(x)=(x-c)^{k}g(x),где  LaTeX formula: g(x) – многочлен степени LaTeX formula: (n - k), LaTeX formula: n и LaTeX formula: k – натуральные числа LaTeX formula: \left (n\geq k \right ) и LaTeX formula: g(c)\neq 0. Если LaTeX formula: k=1, то говорят, что число LaTeX formula: c – простой корень многочлена.
Например, числа LaTeX formula: 0 и LaTeX formula: 2 простые корни многочлена LaTeX formula: f(x)=x(x-2)(x+9)^2(x-15)^3(x^2+4).Число LaTeX formula: -9 двукратный корень, а число LaTeX formula: 15 его трехкратный корень.
Дробной рациональной функцией называют функцию вида 
LaTeX formula: f(x)=\frac{P_{n}(x)}{Q_{m}(x)}, (7.28)
где LaTeX formula: P_{n}(x)  и LaTeX formula: Q_{m}(x)  – многочлены степеней LaTeX formula: n и LaTeX formula: m соответственно.
Если LaTeX formula: n<m, то дробь  7.28 правильная, а если LaTeX formula: n\geq m, то неправильная.
Если разложить многочлен-знаменатель на множители LaTeX formula: Q_{m}(x)=(x-c) ^k g _{m}(x), то правильную дробь 7.28 можно представить в виде суммы простейших дробей по формуле: 

LaTeX formula: \frac{A_{1}}{x-c}+\frac{A_{2}}{\left (x-c \right )^{2}}+...+\frac{A_{k}}{\left (x-c \right )^k}+ \frac{B_{m-1}x^{m-1}+...+B_{0}}{b_{m}x^{m}+...+b_{0}} , (7.29)

где числа LaTeX formula: A_{1},A_{2},...,A_{k},B_{m-1},B_{m-2},...,B_{0}   – неопределенные коэффициенты.
Интегрирование тригонометрических функций 
1. Если интеграл имеет вид LaTeX formula: \int sin\alpha x sin\beta xdx, или LaTeX formula: \int cos\alpha x cos\beta xdx, или LaTeX formula: \int sin\alpha x cos\beta xdx, то подынтегральную функцию необходимо преобразовать с помощью одной из формул: 
LaTeX formula: sin \alpha xcos\alpha x=\frac{1}{2}sin 2\alpha x; (7.30)
LaTeX formula: sin\alpha x sin\beta x=\frac{1}{2}\left (cos(\alpha x-\beta y)-cos(\alpha x+\beta y) \right ); (7.31)
LaTeX formula: cos\alpha x cos\beta x=\frac{1}{2}\left (cos(\alpha x-\beta y)+cos(\alpha x+\beta y) \right ); (7.32)
LaTeX formula: sin\alpha x cos\beta x=\frac{1}{2}\left (sin(\alpha x-\beta y)+sin(\alpha x+\beta y) \right ). (7.33)
2. Если интеграл имеет вид LaTeX formula: \int sin ^{n}xcos^{m}xdx  и числа LaTeX formula: n и LaTeX formula: m четные, то подынтегральную функцию необходимо преобразовать с помощью формул понижения степени:
LaTeX formula: cos^{2}x=\frac{1}{2}(1+cos2x); (7.34)
LaTeX formula: sin^{2}x=\frac{1}{2}(1-cos2x); (7.35)
Если хотя бы одно из чисел LaTeX formula: n или LaTeX formula: m нечетное, то необходимо отделить от нечетной степени один множитель.
3. Если интеграл имеет вид LaTeX formula: \int R (sinx;cos)dx, где LaTeX formula: R – рациональная функция от LaTeX formula: sinx и LaTeX formula: cosx, то необходимо использовать подстановку LaTeX formula: tg\frac{x}{2}=t  и с учетом формул 
LaTeX formula: sinx= \frac{2tg\frac{x}{2}}{1+tg^2\frac{x}{2}} (7.36) и LaTeX formula: cosx=\frac{1-tg^2\frac{x}{2}}{1+tg^2\frac{x}{2}} (7.37)
записать:  LaTeX formula: sinx=\frac{2t}{1+t^2},cosx=\frac{1-t^2}{1+t^2}.
Пример 1. Найдите интеграл LaTeX formula: \int \frac{xdx}{\sqrt{1+2x}}.
Решение. Применим метод подстановки 7.24 . Положим LaTeX formula: \sqrt{1+2x}=t. Запишем LaTeX formula: 1+2x=t^2 и продифференцируем это равенство:  LaTeX formula: (1+2x){}'dx=(t^2){}'dt, (0+2)dx=2tdt, dx=tdt.
Переходя к новой переменной, получим интеграл: 
LaTeX formula: \int \frac{\left (\frac{t^2-1}{2} \right )tdt}{t} =\frac{1}{2}\int (t^2-1)dt=\frac{1}{2}\cdot \left (\frac{t^3}{3}-t \right )+C.
Возвращаясь к переменной LaTeX formula: x,найдем данный интеграл:
LaTeX formula: \int \frac{xdx}{\sqrt{1+2x}}=\frac{(\sqrt{1+2x})^3}{6}-\frac{\sqrt{1+2x}}{2}+C.
Пример 2. Найдите интеграл LaTeX formula: \int \frac{6xdx}{\sqrt{3x^2+2}}.
Решение. По формуле 7.25  преобразуем дифференциал и воспользуемся табличным интегралом LaTeX formula: \int \frac{du}{\sqrt{u}}=2\sqrt{u}+C. Получим: LaTeX formula: \int \frac{6xdx}{\sqrt{3x^2+2}}=\int \frac{6xd(3x^2+2)}{\sqrt{3x^2+2}\left ( 3x^2+2 \right ){}'} =\int \frac{6xd(3x^2+2)}{6x\sqrt{3x^2+2}\left }LaTeX formula: =\int \frac{d(3x^2+2)}{\sqrt{3x^2+2}} =2\sqrt{3x^2+2}+C.
Пример 3. Найдите интеграл  LaTeX formula: \int xlnxdx.
Решение. Применим формулу интегрирования по частям 7.26 .
Положим LaTeX formula: lnx=u, а  LaTeX formula: xdx=dv. 
Дифференцируя первое равенство, получим:  LaTeX formula: \left (lnx \right ){}'dx=u{}'du, \frac{1}{x}dx=du.
Интегрируя второе равенство (здесь произвольная постоянная всегда равна нулю), получим: LaTeX formula: \int xdx=\int dv, \frac{x^2}{2}=v.
Тогда LaTeX formula: \int xlnxdx=\frac{1}{2}x^2lnx-\int \frac{x^2}{2}\cdot \frac{1}{x}dx=LaTeX formula: \frac{1}{2}x^2lnx-\frac{1}{2}\int xdx= \frac{1}{2}x^2lnx -\frac{1}{4}x^2+C .
Пример 4. Найдите интеграл LaTeX formula: \int \frac{dx}{x^2-10x+29}. 
Решение. Преобразуем квадратный трехчлен: LaTeX formula: x^2-10x+29=\left (x^2-2\cdot 5x+25 \right )+4=(x-5)^{2}+4. 
Согласно формуле 7.19 получим:  LaTeX formula: \int \frac{d(x-5)}{(x-5)^{2}+2^{2}}=\frac{1}{2}arctg\frac{x-5}{2}+C.
Пример 5. Найдите интеграл LaTeX formula: \int \frac{3x^{2}-5x+3}{x^2(x^2+1)}dx.
Решение. По формуле 7.29 представим подынтегральную функцию в виде суммы простейших дробей:
 LaTeX formula: \frac{3x^2-5x+3}{x^2(x^2+1)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x^2}+\frac{Cx+D}{x^2+1}=LaTeX formula: \frac{Ax^3+Ax+Bx^2+B+Cx^3+Dx^2}{x^2(x^2+1)}, откуда  LaTeX formula: (A+C)x^3+(B+D)x^2+Ax+B=0x^3+3x^2-5x+3.
Приравнивая коэффициенты многочленов при одинаковых степенях переменных, получим систему уравнений: LaTeX formula: A+C=0,B+D=3,A=-5,B=3. Тогда:  LaTeX formula: A=-5,B=3,C=5,D=0.
Найдем сумму интегралов: 
 LaTeX formula: \int \frac{-5dx}{x}+\int \frac{3dx}{x^2}+\int \frac{5xdx}{x^2+1}=LaTeX formula: -5\int \frac{dx}{x}+3\int \frac{dx}{x^2}+\int \frac{5xd\left ( x^2+1 \right )}{2x\left (x^2+1 \right )}=LaTeX formula: = -5ln\left |x \right |-\frac{3}{x}+\frac{5}{2}ln(x^2+1)+C.
Пример 6. Найдите интеграл  LaTeX formula: \int 8cos^3x\cdot sinxdx.
Решение. Преобразуем подынтегральную функцию по формулам 7.30 и 7.33 :
LaTeX formula: 4cos^2x\cdot 2cosxsinx=4cos^2x\cdot sin2x=LaTeX formula: 2cosx\cdot sin4x=sin3x+sin5x.
Интегрируя это выражение, получим: LaTeX formula: \int sin3xdx+\int sin5xdx=-\frac{1}{3}cos3x-\frac{1}{5}cos5x+C.
1.  В общем случае, если LaTeX formula: u=kx+b, то LaTeX formula: \int f(kx+b)dx=\frac{1}{k}F(kx+b)+C.
2.  Если дробь LaTeX formula: f(x)=\frac{P_{n}(x)}{Q_{m}(x)}  неправильная, то необходимо предварительно выделить ее целую часть, например, разделив многочлены уголком. 
3.  Деление многочленов выполняют аналогично делению целых чисел: делят старший член многочлена-делимого на старший член многочлена-делителя, затем частное умножают на многочлен-делитель и полученное произведение вычитают из многочлена-делимого. Многочлен-первый остаток аналогичным образом делят на многочлен-делитель. Деление продолжают до тех пор пока не получат остаток нуль или степень многочлена-остатка не будет меньше степени многочлена-делителя.
4. Если первообразная LaTeX formula: F(x)  функции  LaTeX formula: f(x) не является элементарной функцией, то соответствующий интеграл  LaTeX formula: \int f(x)dx называют «неберущимся». Примеры «неберущихся» интегралов: LaTeX formula: \int e^{-x}dx, \int sin^2dx, \int cos^2dx,\int \frac{sinx}{x}dx,\int \frac{cosx}{x}dx,LaTeX formula: \int \frac{dx}{\sqrt{1-k^2}sin^2x}  
при LaTeX formula: 0<k<1, LaTeX formula: \int \sqrt{1-k^2sin^2x}dx.
formula