Методы интегрирования /qualihelpy

Методы интегрирования

Справочник / Студент / Интегральное исчисление /

Справочный материал Примеры Обратите внимание! Модели

1. Метод подстановки

Подстановка выполняется по формуле:

$LaTeX formula: \int f(x)dx=\int f(g(t)) g{}'(t)dt,$ (7.24)

где

– дифференцируемая функция переменной LaTeX formula: t.

Этот метод в отдельных случаях позволяет свести интеграл к табличному.

2. Метод изменения формы дифференциала

Преобразовать дифференциал можно по формуле:

$LaTeX formula: \int f(x)dx=\int \frac{f(x)dg(x)}{g{}'(x)}$ . (7.25)

Этот метод в отдельных случаях позволяет свести интеграл к табличному.

3. Метод интегрирования по частям

Метод интегрирования по частям применяют в случае, когда подынтегральная функция является трансцендентной функцией или представляет собою произведение алгебраической и трансцендентной функций. Например: $LaTeX formula: \int ln xdx;\int arcsinxdx; \int xlnxdx; \int xcosxdx; \int xe^xdx.$

Формула интегрирования по частям:

$LaTeX formula: \int udv=uv-\int vdu,$ (7.26)

где $LaTeX formula: u=f_{1}(x),$ а $LaTeX formula: v=f_{2}(x)$ – дифференцируемые функции.

В качестве LaTeX formula: u

обычно выбирается функция, которая упрощается дифференцированием, а в качестве LaTeX formula: dv

– оставшаяся часть подынтегрального выражения, обязательно содержащая LaTeX formula: dx.

В некоторых случаях формула 7.26 применяется несколько раз. Например, $LaTeX formula: \int x^2lnxdx$ и $LaTeX formula: \int x^3sinxdx.$

В отдельных случаях искомый интеграл находится из уравнения, полученного в результате интегрирования по частям. Например, $LaTeX formula: \int e^x sinxdx$ и $LaTeX formula: \int e^x cosxdx.$

Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен

Интегрирование некоторых функций, содержащих квадратный трехчлен, можно выполнить по формулам 7.18,7.19,7.20,7.21,7.22 и 7.23 , если дополнить квадратный трехчлен до квадрата суммы или квадрата разности в общем случае так:

$LaTeX formula: ax^2\pm bx+c=a \left (x^2\pm \frac{b}{a}x+\frac{c}{a} \right )=a \left (x^2\pm 2 \cdot \frac{b}{2a}x+\frac{c}{a} \right )=$ $LaTeX formula: a \left (x^2\pm 2 \cdot \frac{b}{2a}x +\left (\frac{b}{2a} \right )^2-\left (\frac{b}{2a} \right )^2 + \frac{c}{a} \right ) =$ $LaTeX formula: a \left (\left (x\pm \frac{b}{2a} \right )^2-\left (\frac{b}{2a} \right ) ^2+\frac{c}{a} \right ).$

Таблица 2. Неопределенные интегралы

$LaTeX formula: \int \frac{du}{u^2-a^2}=\frac{1}{2a}ln\frac{\left |u-a \right |}{\left |u+a \right |}+C$ (7.18)

$LaTeX formula: \int \frac{du}{u^2+a^2}=\frac{1}{a}arctg\frac{u}{a}+C$ (7.19)

$LaTeX formula: \int \frac{du}{\sqrt{a^2-u^2}}=arcsin\frac{u}{a}+C$ (7.20)

$LaTeX formula: \int \frac{du}{\sqrt{u^2+a}}=ln \left |u+ \sqrt{u^2+a} \right | +C$ (7.21)

$LaTeX formula: \int \sqrt{u^2+a}du=\frac{u}{2}\sqrt{u^2+a} +\frac{a}{2}ln \left |u+ \sqrt{u^2+a} \right | +C$ (7.22)

$LaTeX formula: \int \sqrt{a^2-u^2}du=\frac{u}{2}\sqrt{a^2-u^2} +\frac{a^2}{2}arcsin\frac{u}{a}+C$ (7.23)

Интегрирование рациональных дробей

Многочленом степени n от одной переменной LaTeX formula: x

называют выражение вида

$LaTeX formula: P_{n}(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}$ LaTeX formula: (7.27)

при $LaTeX formula: a_{n}\neq 0$ и $LaTeX formula: n\in N.$

Числа $LaTeX formula: a_{n},a_{n-1},...,a_{1},a_{0}$ называют коэффициентами многочлена, при этом число $LaTeX formula: a_{n}$ называют старшим коэффициентом многочлена, а число $LaTeX formula: a_{0}$ – свободным членом. Коэффициенты многочлена, за исключением его старшего коэффициента, могут быть равны нулю.

Например:

– многочлен второй степени.

Многочлен вида $LaTeX formula: P_{0}(x)=a_{0}x^{0}=a_{0}$ называют многочленом нулевой степени, а если $LaTeX formula: a_{0}=0,$ то имеем нулевой многочлен.

Например,

– многочлен нулевой степени, а LaTeX formula: P(x)=0

– нулевой многочлен.

Корнем многочлена $LaTeX formula: P_{n}(x)$ называют такое число $LaTeX formula: x_{0},$ что $LaTeX formula: P_{n}(x_{0})=0.$ Число с называют корнем кратности

многочлена $LaTeX formula: f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0} ,$ если справедливо равенство $LaTeX formula: f(x)=(x-c)^{k}g(x),$ где LaTeX formula: g(x)

– многочлен степени LaTeX formula: (n - k),

– натуральные числа $LaTeX formula: \left (n\geq k \right )$ и $LaTeX formula: g(c)\neq 0.$ Если LaTeX formula: k=1,

то говорят, что число LaTeX formula: c

– простой корень многочлена.

Например, числа LaTeX formula: 0

простые корни многочлена LaTeX formula: f(x)=x(x-2)(x+9)^2(x-15)^3(x^2+4).

Число

двукратный корень, а число LaTeX formula: 15

его трехкратный корень.

Дробной рациональной функцией называют функцию вида

$LaTeX formula: f(x)=\frac{P_{n}(x)}{Q_{m}(x)},$ (7.28)

где $LaTeX formula: P_{n}(x)$ и $LaTeX formula: Q_{m}(x)$ – многочлены степеней LaTeX formula: n

соответственно.

Если

то дробь 7.28 правильная, а если $LaTeX formula: n\geq m,$ то неправильная.

Если разложить многочлен-знаменатель на множители $LaTeX formula: Q_{m}(x)=(x-c) ^k g _{m}(x),$ то правильную дробь 7.28 можно представить в виде суммы простейших дробей по формуле:

$LaTeX formula: \frac{A_{1}}{x-c}+\frac{A_{2}}{\left (x-c \right )^{2}}+...+\frac{A_{k}}{\left (x-c \right )^k}+ \frac{B_{m-1}x^{m-1}+...+B_{0}}{b_{m}x^{m}+...+b_{0}}$ , (7.29)

где числа $LaTeX formula: A_{1},A_{2},...,A_{k},B_{m-1},B_{m-2},...,B_{0}$ – неопределенные коэффициенты.

Интегрирование тригонометрических функций

1. Если интеграл имеет вид $LaTeX formula: \int sin\alpha x sin\beta xdx,$ или $LaTeX formula: \int cos\alpha x cos\beta xdx,$ или $LaTeX formula: \int sin\alpha x cos\beta xdx,$ то подынтегральную функцию необходимо преобразовать с помощью одной из формул:

$LaTeX formula: sin \alpha xcos\alpha x=\frac{1}{2}sin 2\alpha x;$ (7.30)

$LaTeX formula: sin\alpha x sin\beta x=\frac{1}{2}\left (cos(\alpha x-\beta y)-cos(\alpha x+\beta y) \right );$ (7.31)

$LaTeX formula: cos\alpha x cos\beta x=\frac{1}{2}\left (cos(\alpha x-\beta y)+cos(\alpha x+\beta y) \right );$ (7.32)

$LaTeX formula: sin\alpha x cos\beta x=\frac{1}{2}\left (sin(\alpha x-\beta y)+sin(\alpha x+\beta y) \right ).$ (7.33)

2. Если интеграл имеет вид $LaTeX formula: \int sin ^{n}xcos^{m}xdx$ и числа LaTeX formula: n

четные, то подынтегральную функцию необходимо преобразовать с помощью формул понижения степени:

$LaTeX formula: cos^{2}x=\frac{1}{2}(1+cos2x);$ (7.34)

$LaTeX formula: sin^{2}x=\frac{1}{2}(1-cos2x);$ (7.35)

Если хотя бы одно из чисел LaTeX formula: n

или

нечетное, то необходимо отделить от нечетной степени один множитель.

3. Если интеграл имеет вид $LaTeX formula: \int R (sinx;cos)dx,$ где LaTeX formula: R

– рациональная функция от LaTeX formula: sinx

то необходимо использовать подстановку $LaTeX formula: tg\frac{x}{2}=t$ и с учетом формул

$LaTeX formula: sinx= \frac{2tg\frac{x}{2}}{1+tg^2\frac{x}{2}}$ (7.36) и $LaTeX formula: cosx=\frac{1-tg^2\frac{x}{2}}{1+tg^2\frac{x}{2}}$ (7.37)

записать: $LaTeX formula: sinx=\frac{2t}{1+t^2},cosx=\frac{1-t^2}{1+t^2}.$

Пример 1. Найдите интеграл $LaTeX formula: \int \frac{xdx}{\sqrt{1+2x}}.$

Решение. Применим метод подстановки 7.24 . Положим $LaTeX formula: \sqrt{1+2x}=t.$ Запишем LaTeX formula: 1+2x=t^2

и продифференцируем это равенство: $LaTeX formula: (1+2x){}'dx=(t^2){}'dt, (0+2)dx=2tdt, dx=tdt.$

Переходя к новой переменной, получим интеграл:

$LaTeX formula: \int \frac{\left (\frac{t^2-1}{2} \right )tdt}{t} =\frac{1}{2}\int (t^2-1)dt=\frac{1}{2}\cdot \left (\frac{t^3}{3}-t \right )+C.$

Возвращаясь к переменной LaTeX formula: x,

найдем данный интеграл:

$LaTeX formula: \int \frac{xdx}{\sqrt{1+2x}}=\frac{(\sqrt{1+2x})^3}{6}-\frac{\sqrt{1+2x}}{2}+C.$

Пример 2. Найдите интеграл $LaTeX formula: \int \frac{6xdx}{\sqrt{3x^2+2}}.$

Решение. По формуле 7.25 преобразуем дифференциал и воспользуемся табличным интегралом $LaTeX formula: \int \frac{du}{\sqrt{u}}=2\sqrt{u}+C.$ Получим: $LaTeX formula: \int \frac{6xdx}{\sqrt{3x^2+2}}=\int \frac{6xd(3x^2+2)}{\sqrt{3x^2+2}\left ( 3x^2+2 \right ){}'} =\int \frac{6xd(3x^2+2)}{6x\sqrt{3x^2+2}\left }$ $LaTeX formula: =\int \frac{d(3x^2+2)}{\sqrt{3x^2+2}} =2\sqrt{3x^2+2}+C.$

Пример 3. Найдите интеграл $LaTeX formula: \int xlnxdx.$

Решение. Применим формулу интегрирования по частям 7.26 .

Положим

Дифференцируя первое равенство, получим: $LaTeX formula: \left (lnx \right ){}'dx=u{}'du, \frac{1}{x}dx=du.$

Интегрируя второе равенство (здесь произвольная постоянная всегда равна нулю), получим: $LaTeX formula: \int xdx=\int dv, \frac{x^2}{2}=v.$

Тогда $LaTeX formula: \int xlnxdx=\frac{1}{2}x^2lnx-\int \frac{x^2}{2}\cdot \frac{1}{x}dx=$ $LaTeX formula: \frac{1}{2}x^2lnx-\frac{1}{2}\int xdx= \frac{1}{2}x^2lnx -\frac{1}{4}x^2+C .$

Пример 4. Найдите интеграл $LaTeX formula: \int \frac{dx}{x^2-10x+29}.$

Решение. Преобразуем квадратный трехчлен: $LaTeX formula: x^2-10x+29=\left (x^2-2\cdot 5x+25 \right )+4=(x-5)^{2}+4.$

Согласно формуле 7.19 получим: $LaTeX formula: \int \frac{d(x-5)}{(x-5)^{2}+2^{2}}=\frac{1}{2}arctg\frac{x-5}{2}+C.$

Пример 5. Найдите интеграл $LaTeX formula: \int \frac{3x^{2}-5x+3}{x^2(x^2+1)}dx.$

Решение. По формуле 7.29 представим подынтегральную функцию в виде суммы простейших дробей:

$LaTeX formula: \frac{3x^2-5x+3}{x^2(x^2+1)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x^2}+\frac{Cx+D}{x^2+1}=$ $LaTeX formula: \frac{Ax^3+Ax+Bx^2+B+Cx^3+Dx^2}{x^2(x^2+1)},$ откуда LaTeX formula: (A+C)x^3+(B+D)x^2+Ax+B=0x^3+3x^2-5x+3.

LaTeX formula: (A+C)x^3+(B+D)x^2+Ax+B=0x^3+3x^2-5x+3.

Приравнивая коэффициенты многочленов при одинаковых степенях переменных, получим систему уравнений: LaTeX formula: A+C=0,B+D=3,A=-5,B=3.

Тогда:

Найдем сумму интегралов:

$LaTeX formula: \int \frac{-5dx}{x}+\int \frac{3dx}{x^2}+\int \frac{5xdx}{x^2+1}=$ $LaTeX formula: -5\int \frac{dx}{x}+3\int \frac{dx}{x^2}+\int \frac{5xd\left ( x^2+1 \right )}{2x\left (x^2+1 \right )}=$ $LaTeX formula: = -5ln\left |x \right |-\frac{3}{x}+\frac{5}{2}ln(x^2+1)+C.$

Пример 6. Найдите интеграл $LaTeX formula: \int 8cos^3x\cdot sinxdx.$

Решение. Преобразуем подынтегральную функцию по формулам 7.30 и 7.33 :

$LaTeX formula: 4cos^2x\cdot 2cosxsinx=4cos^2x\cdot sin2x=$ $LaTeX formula: 2cosx\cdot sin4x=sin3x+sin5x.$

Интегрируя это выражение, получим: $LaTeX formula: \int sin3xdx+\int sin5xdx=-\frac{1}{3}cos3x-\frac{1}{5}cos5x+C.$

1. В общем случае, если LaTeX formula: u=kx+b,

то $LaTeX formula: \int f(kx+b)dx=\frac{1}{k}F(kx+b)+C.$

2. Если дробь $LaTeX formula: f(x)=\frac{P_{n}(x)}{Q_{m}(x)}$ неправильная, то необходимо предварительно выделить ее целую часть, например, разделив многочлены уголком.

3. Деление многочленов выполняют аналогично делению целых чисел: делят старший член многочлена-делимого на старший член многочлена-делителя, затем частное умножают на многочлен-делитель и полученное произведение вычитают из многочлена-делимого. Многочлен-первый остаток аналогичным образом делят на многочлен-делитель. Деление продолжают до тех пор пока не получат остаток нуль или степень многочлена-остатка не будет меньше степени многочлена-делителя.

4. Если первообразная LaTeX formula: F(x)

функции

не является элементарной функцией, то соответствующий интеграл $LaTeX formula: \int f(x)dx$ называют «неберущимся». Примеры «неберущихся» интегралов: $LaTeX formula: \int e^{-x}dx, \int sin^2dx, \int cos^2dx,\int \frac{sinx}{x}dx,\int \frac{cosx}{x}dx,$ $LaTeX formula: \int \frac{dx}{\sqrt{1-k^2}sin^2x}$

при

$LaTeX formula: \int \sqrt{1-k^2sin^2x}dx.$

Программа для просмотра моделей (МК-плеер) Файлы для скачивания