Справочный материал
Примеры
Обратите внимание!
Видео
Модели
Пройти тесты
(7.24)
. (7.25)
(7.26)


(7.18)
(7.19)
(7.20)
(7.21)
(7.22)
(7.23)

(7.28)
(7.30)
(7.31)
(7.32)
(7.33)
(7.34)
(7.35)
(7.36) и
(7.37)


откуда




1. Метод подстановки
Подстановка выполняется по формуле:

где
– дифференцируемая функция переменной 


Этот метод в отдельных случаях позволяет свести интеграл к табличному.
2. Метод изменения формы дифференциала
Преобразовать дифференциал можно по формуле:

Этот метод в отдельных случаях позволяет свести интеграл к табличному.
3. Метод интегрирования по частям
Метод интегрирования по частям применяют в случае, когда подынтегральная функция является трансцендентной функцией или представляет собою произведение алгебраической и трансцендентной функций. Например: 

Формула интегрирования по частям:

где
а
– дифференцируемые функции.


В качестве
обычно выбирается функция, которая упрощается дифференцированием, а в качестве
– оставшаяся часть подынтегрального выражения, обязательно содержащая



В отдельных случаях искомый интеграл находится из уравнения, полученного в результате интегрирования по частям. Например,
и 


Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен
Интегрирование некоторых функций, содержащих квадратный трехчлен, можно выполнить по формулам 7.18,7.19,7.20,7.21,7.22 и 7.23 , если дополнить квадратный трехчлен до квадрата суммы или квадрата разности в общем случае так:



Таблица 2. Неопределенные интегралы






Интегрирование рациональных дробей
Многочленом степени n от одной переменной
называют выражение вида



при
и 


Числа
называют коэффициентами многочлена, при этом число
называют старшим коэффициентом многочлена, а число
– свободным членом. Коэффициенты многочлена, за исключением его старшего коэффициента, могут быть равны нулю.



Например:
– многочлен второй степени.

Многочлен вида
называют многочленом нулевой степени, а если
то имеем нулевой многочлен.


Например,
– многочлен нулевой степени, а
– нулевой многочлен.


Корнем многочлена
называют такое число
что
Число с называют корнем кратности 




многочлена
если справедливо равенство
где
– многочлен степени
и
– натуральные числа
и
Если
то говорят, что число
– простой корень многочлена.










Например, числа
и
простые корни многочлена
Число
двукратный корень, а число
его трехкратный корень.





Дробной рациональной функцией называют функцию вида

где
и
– многочлены степеней
и
соответственно.




Если разложить многочлен-знаменатель на множители
то правильную дробь 7.28 можно представить в виде суммы простейших дробей по формуле:

, (7.29)
где числа
– неопределенные коэффициенты.

Интегрирование тригонометрических функций
1. Если интеграл имеет вид
или
или
то подынтегральную функцию необходимо преобразовать с помощью одной из формул:







2. Если интеграл имеет вид
и числа
и
четные, то подынтегральную функцию необходимо преобразовать с помощью формул понижения степени:





Если хотя бы одно из чисел
или
нечетное, то необходимо отделить от нечетной степени один множитель.


3. Если интеграл имеет вид
где
– рациональная функция от
и
то необходимо использовать подстановку
и с учетом формул







записать: 

Пример 1. Найдите интеграл 

Переходя к новой переменной, получим интеграл:

Возвращаясь к переменной
найдем данный интеграл:


Пример 2. Найдите интеграл 

Пример 3. Найдите интеграл 

Решение. Применим формулу интегрирования по частям 7.26 .
Положим
а


Дифференцируя первое равенство, получим: 

Интегрируя второе равенство (здесь произвольная постоянная всегда равна нулю), получим: 

Тогда 



Пример 4. Найдите интеграл

Решение. Преобразуем квадратный трехчлен:

Пример 5. Найдите интеграл 

Решение. По формуле 7.29 представим подынтегральную функцию в виде суммы простейших дробей:



Приравнивая коэффициенты многочленов при одинаковых степенях переменных, получим систему уравнений:
Тогда: 


Найдем сумму интегралов:



Пример 6. Найдите интеграл 



Интегрируя это выражение, получим: 

1. В общем случае, если
то 


2. Если дробь
неправильная, то необходимо предварительно выделить ее целую часть, например, разделив многочлены уголком.

3. Деление многочленов выполняют аналогично делению целых чисел: делят старший член многочлена-делимого на старший член многочлена-делителя, затем частное умножают на многочлен-делитель и полученное произведение вычитают из многочлена-делимого. Многочлен-первый остаток аналогичным образом делят на многочлен-делитель. Деление продолжают до тех пор пока не получат остаток нуль или степень многочлена-остатка не будет меньше степени многочлена-делителя.
4. Если первообразная
функции
не является элементарной функцией, то соответствующий интеграл
называют «неберущимся». Примеры «неберущихся» интегралов: 





при


