Справочный материал
Примеры
Обратите внимание!
Видео
Модели
Пройти тесты
1. Метод подстановки
Подстановка выполняется по формуле:
(7.24)
где – дифференцируемая функция переменной
Этот метод в отдельных случаях позволяет свести интеграл к табличному.
2. Метод изменения формы дифференциала
Преобразовать дифференциал можно по формуле:
. (7.25)
Этот метод в отдельных случаях позволяет свести интеграл к табличному.
3. Метод интегрирования по частям
Метод интегрирования по частям применяют в случае, когда подынтегральная функция является трансцендентной функцией или представляет собою произведение алгебраической и трансцендентной функций. Например:
Формула интегрирования по частям:
(7.26)
где а – дифференцируемые функции.
В качестве обычно выбирается функция, которая упрощается дифференцированием, а в качестве – оставшаяся часть подынтегрального выражения, обязательно содержащая
В отдельных случаях искомый интеграл находится из уравнения, полученного в результате интегрирования по частям. Например, и
Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен
Интегрирование некоторых функций, содержащих квадратный трехчлен, можно выполнить по формулам 7.18,7.19,7.20,7.21,7.22 и 7.23 , если дополнить квадратный трехчлен до квадрата суммы или квадрата разности в общем случае так:
Таблица 2. Неопределенные интегралы
(7.18)
(7.19)
(7.20)
(7.21)
(7.22)
(7.23)
Интегрирование рациональных дробей
Многочленом степени n от одной переменной называют выражение вида
при и
Числа называют коэффициентами многочлена, при этом число называют старшим коэффициентом многочлена, а число – свободным членом. Коэффициенты многочлена, за исключением его старшего коэффициента, могут быть равны нулю.
Например: – многочлен второй степени.
Многочлен вида называют многочленом нулевой степени, а если то имеем нулевой многочлен.
Например, – многочлен нулевой степени, а – нулевой многочлен.
Корнем многочлена называют такое число что Число с называют корнем кратности
многочлена если справедливо равенство где – многочлен степени и – натуральные числа и Если то говорят, что число – простой корень многочлена.
Например, числа и простые корни многочлена Число двукратный корень, а число его трехкратный корень.
Дробной рациональной функцией называют функцию вида
(7.28)
где и – многочлены степеней и соответственно.
Если то дробь 7.28 правильная, а если то неправильная.
Если разложить многочлен-знаменатель на множители то правильную дробь 7.28 можно представить в виде суммы простейших дробей по формуле:
, (7.29)
где числа – неопределенные коэффициенты.
Интегрирование тригонометрических функций
1. Если интеграл имеет вид или или то подынтегральную функцию необходимо преобразовать с помощью одной из формул:
(7.30)
(7.31)
(7.32)
(7.33)
2. Если интеграл имеет вид и числа и четные, то подынтегральную функцию необходимо преобразовать с помощью формул понижения степени:
(7.34)
(7.35)
Если хотя бы одно из чисел или нечетное, то необходимо отделить от нечетной степени один множитель.
3. Если интеграл имеет вид где – рациональная функция от и то необходимо использовать подстановку и с учетом формул
(7.36) и (7.37)
записать:
Пример 1. Найдите интеграл
Переходя к новой переменной, получим интеграл:
Возвращаясь к переменной найдем данный интеграл:
Пример 2. Найдите интеграл
Пример 3. Найдите интеграл
Решение. Применим формулу интегрирования по частям 7.26 .
Положим а
Дифференцируя первое равенство, получим:
Интегрируя второе равенство (здесь произвольная постоянная всегда равна нулю), получим:
Тогда
Пример 4. Найдите интеграл
Решение. Преобразуем квадратный трехчлен:
Согласно формуле 7.19 получим:
Пример 5. Найдите интеграл
Решение. По формуле 7.29 представим подынтегральную функцию в виде суммы простейших дробей:
откуда
Приравнивая коэффициенты многочленов при одинаковых степенях переменных, получим систему уравнений: Тогда:
Найдем сумму интегралов:
Пример 6. Найдите интеграл
Интегрируя это выражение, получим:
1. В общем случае, если то
2. Если дробь неправильная, то необходимо предварительно выделить ее целую часть, например, разделив многочлены уголком.
3. Деление многочленов выполняют аналогично делению целых чисел: делят старший член многочлена-делимого на старший член многочлена-делителя, затем частное умножают на многочлен-делитель и полученное произведение вычитают из многочлена-делимого. Многочлен-первый остаток аналогичным образом делят на многочлен-делитель. Деление продолжают до тех пор пока не получат остаток нуль или степень многочлена-остатка не будет меньше степени многочлена-делителя.
4. Если первообразная функции не является элементарной функцией, то соответствующий интеграл называют «неберущимся». Примеры «неберущихся» интегралов:
при
Интегрирование по частям
Изменение дифференциала