Справочный материал
Примеры
Обратите внимание!
Видео
Модели
Пройти тесты
Функцию называют первообразной функции в промежутке если при всех выполняется равенство Если функция – первообразная функции , то функция где – произвольная постоянная, так же является первообразной функции
Неопределенным интегралом от функции называют множество всех ее первообразных:
(7.1)
где При этом функцию называют подынтегральной функцией, выражение – подынтегральным выражением.
Основные свойства неопределенного интеграла
1. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:
(7.2)
2. Интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых:
(7.3)
Непосредственное интегрирование
Этот метод применяют в случае, когда при помощи свойств 7.2 и 7.3 (или одного из них) возможен переход непосредственно к одному или нескольким простейшим интегралам таблицы
Таблица 1. Простейшие неопределенные интегралы
(7.4) (7.11)
(7.5) (7.12)
(7.6) (7.13)
(7.7) (7.14)
(7.8) (7.15)
(7.9) (7.16)
(7.10) (7.17)
В таблице можно также везде вместо записать где любая дифференцируемая функция. Например:
1) если то согласно формуле 7.8 можно записать
Таблица 2. Неопределенные интегралы
(7.18)
(7.19)
(7.20)
(7.21)
(7.22)
(7.23)
Аналогично применяются и формулы таблицы
Например, если и то согласно формуле 7.20 получим
Пример 1. Убедимся, что функция является первообразной функции на области всех действительных чисел. Действительно, Функция также является первообразной этой функции, так как
Пример 2. Убедимся, что равенство верное. Так как то, действительно, это равенство верное.
Поскольку сумма произвольных постоянных есть произвольная постоянная то, как правило, ответ записывают так:
1. Каждая из формул таблиц и справедлива только в области определения соответствующей функции.
2. Многие интегралы можно найти непосредственно, если предварительно преобразовать подынтегральные функции. Например, чтобы найти интеграл необходимо выполнить следующие преобразования:
Непосредственное интегрирование
Метод подстановки