Справочный материал Примеры Обратите внимание! Модели
Функцию LaTeX formula: F(x)называют первообразной функции LaTeX formula: f(x)  в промежуткеLaTeX formula: (a; b), если при всех LaTeX formula: x \in (a; b) выполняется равенство LaTeX formula: F{}'(x)=f(x). Если функция  LaTeX formula: F(x) – первообразная функции LaTeX formula: f(x) , то функция  LaTeX formula: G(x)=F(x)+C, где LaTeX formula: C – произвольная постоянная, так же является первообразной функции  LaTeX formula: f(x).
Неопределенным интегралом от функции LaTeX formula: f(x)  называют множество всех ее первообразных: 
LaTeX formula: \int f(x)dx=F(x)+C, (7.1)
где LaTeX formula: F{}'(x)=f(x).При этом функцию  LaTeX formula: f(x) называют подынтегральной функцией, выражение LaTeX formula: f(x)dx  – подынтегральным выражением. 
Основные свойства неопределенного интеграла
1. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла: 
LaTeX formula: \int kf(x)dx=k \int f(x)dx, (7.2)
LaTeX formula: k = const, k \neq 0.
2. Интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых:
LaTeX formula: \int (f_{1}(x)\pm f_{2}(x))dx=\int f_{1}(x)dx\pm \int f_{2}(x)dx. (7.3)
Непосредственное интегрирование
Этот метод применяют в случае, когда при помощи свойств 7.2 и 7.3 (или одного из них) возможен переход непосредственно к одному или нескольким простейшим интегралам таблицы LaTeX formula: 1.
Таблица 1. Простейшие неопределенные интегралы 
LaTeX formula: \int 1\cdot dx=\int dx=x+C (7.4)                                                      LaTeX formula: \int cosxdx=sinx+C (7.11)
 
LaTeX formula: \int x^ndx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C (7.5)                                                              LaTeX formula: \int sinxdx=-cosx+C (7.12)
 
LaTeX formula: \int \frac{dx}{x^2}=-\frac{1}{x}+C (7.6)                                                                     LaTeX formula: \int \frac{dx}{cos^2x}=tgx+C (7.13)  
 
LaTeX formula: \int \frac{dx}{\sqrt{x}}=2\sqrt{x}+C (7.7)                                                             LaTeX formula: \int \frac{dx}{sin^2x}=-ctgx+C (7.14)
 
LaTeX formula: \int \frac{1}{x}dx=\int \frac{dx}{x} =ln \left |x \right |+C (7.8)                                             LaTeX formula: \int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=arcsinx+C (7.15)
 
LaTeX formula: \int a^xdx=\frac{a^x}{ln a}+C (7.9)                                                             LaTeX formula: \int \frac{dx}{1+x^2}=arctgx+C (7.16)
 
LaTeX formula: \int e^xdx=e^x+C (7.10)                                                                  LaTeX formula: \int \frac{dx}{x^2-1}=\frac{1}{2}ln \frac{\left |x-1 \right |}{\left |x+1 \right |} +C (7.17)
В таблице LaTeX formula: 1 можно также везде вместо LaTeX formula: x записать  LaTeX formula: u=u(x), где LaTeX formula: u(x)  любая дифференцируемая функция. Например: 
1) если LaTeX formula: u=2x+7, то согласно формуле 7.8 можно записать LaTeX formula: \int \frac{d(2x+7)}{2x+7}=ln \left |2x+7 \right |+C;
2) если LaTeX formula: u=\frac{x}{5}, то согласно 7.12 формуле получим LaTeX formula: \int sin\frac{x}{5} d\left (\frac{x}{5} \right )=-cos\frac{x}{5}+C.
Таблица 2. Неопределенные интегралы 
LaTeX formula: \int \frac{du}{u^2-a^2}=\frac{1}{2a}ln\frac{\left |u-a \right |}{\left |u+a \right |}+C (7.18) 
LaTeX formula: \int \frac{du}{u^2+a^2}=\frac{1}{a}arctg\frac{u}{a}+C (7.19) 
LaTeX formula: \int \frac{du}{\sqrt{a^2-u^2}}=arcsin\frac{u}{a}+C (7.20) 
LaTeX formula: \int \frac{du}{\sqrt{u^2+a}}=ln \left |u+ \sqrt{u^2+a} \right | +C (7.21) 
LaTeX formula: \int \sqrt{u^2+a}du=\frac{u}{2}\sqrt{u^2+a} +\frac{a}{2}ln \left |u+ \sqrt{u^2+a} \right | +C (7.22) 
LaTeX formula: \int \sqrt{a^2-u^2}du=\frac{u}{2}\sqrt{a^2-u^2} +\frac{a^2}{2}arcsin\frac{u}{a}+C (7.23)
Аналогично применяются и формулы таблицы LaTeX formula: 2.
Например, если LaTeX formula: u=2+x  и LaTeX formula: a=3, то согласно формуле 7.20 получим LaTeX formula: \int \frac{d(2+x)}{\sqrt{9-(2+x)^2}}=arcsin \frac{2+x}{3}+C.
Пример 1. Убедимся, что функция  LaTeX formula: F(x)=5sinx+2x^3 является первообразной функции LaTeX formula: F(x)=5cosx+6x^2  на области всех действительных чисел. Действительно,LaTeX formula: F{}'(x)=5cosx+6x^2=f(x). Функция LaTeX formula: G(x)=5sinx+2x^3 -10  также является первообразной этой функции, так как LaTeX formula: G{}'(x)=5cosx+6x^2-0=f(x).
Пример 2.  Убедимся, что равенство LaTeX formula: \int (e^x-1)dx=e^x-x+C верное. Так как LaTeX formula: \left (e^x-x+C \right ){}'=e^x-1+0=e^x-1, то, действительно, это равенство верное.
Пример 3. Найдем интегралLaTeX formula: I=\int \left (6x^2+5x \right )dx.На основании свойств 7.2 и 7.3 запишем LaTeX formula: I=\int 6x^2dx+\int 5xdx=6\int x^2dx+5\int xdx  и на основании формулы 7.5 получим: 
LaTeX formula: I=6\cdot \frac{x^{2+1}}{2+1}+C_{1}+5\cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} +C_{2}=2x^3+2,5x^2+C_{1}+C_{2}.
Поскольку сумма произвольных постоянных есть произвольная постоянная LaTeX formula: C_{1}+C_{2}=C, то, как правило, ответ записывают так: LaTeX formula: I=LaTeX formula: 2x^3+2,5x^2+C.
1. Каждая из формул таблиц LaTeX formula: 1 и LaTeX formula: 2 справедлива только в области определения соответствующей функции. 
2. Многие интегралы можно найти непосредственно, если предварительно преобразовать подынтегральные функции. Например, чтобы найти интеграл LaTeX formula: I=\int \left (\sqrt{x}+2x \right )^2dx, необходимо выполнить следующие преобразования: 
LaTeX formula: (\sqrt{x}+2x) ^2=x+4x\sqrt{x}+4x^2=x+4x^{\frac{3}{2}} +4x^2.
Тогда, применяя свойства 7.2 и 7.3, а также формулу 7.5 получим: 
LaTeX formula: I=\int xdx+4\int x^{\frac{3}{2}}dx+4\int x^2dx=\frac{x^2}{2}+\frac{8x^{\frac{5}{2}}}{5}+\frac{4x^3}{3}+C.
formula