Справочный материал Примеры Обратите внимание! Модели

Частные производные первого порядка и полный дифференциал функции

1. Рассмотрим функцию двух переменных LaTeX formula: z=f(x;y)   .

Частные производные первого порядка функции LaTeX formula: z=f(x;y) в точке LaTeX formula: M_{0}(x_{0};y_{0}) находят по формулам:

LaTeX formula: \left ( \frac{\partial z}{\partial x} \right )_{M_{0}}=\lim_{\Delta x\rightarrow \infty }\frac{f(x_{0}+\Delta x;y_{0})-f(x_{0};y_{0})}{\Delta x}; (6.20)

LaTeX formula: \left ( \frac{\partial z}{\partial y} \right )_{M_{0}}=\lim_{\Delta y\rightarrow \infty }\frac{f(x_{0};y_{0}+\Delta y)-f(x_{0};y_{0})}{\Delta y}. (6.21)

Записывают: LaTeX formula: \frac{\partial z}{\partial x}  или LaTeX formula: z'_{x} и LaTeX formula: \frac{\partial z}{\partial y} или LaTeX formula: z'_{y}  .

Полный дифференциал этой функции находят по формуле:

LaTeX formula: dz=z'_{x}dx+z'_{y}dy. (6.22)

2. Рассмотрим функцию трех переменных LaTeX formula: u=f(x;y;z)   .

Полный дифференциал этой функции находят по формуле:

LaTeX formula: du=u'_{x}dx+u'_{y}dy+u'_{z}dz. (6.23)

3. Рассмотрим функцию n переменных LaTeX formula: z=f(x_{1};x_{2};x_{3};...;x_{n}).

Аналогично записывают ее частные производные: 

LaTeX formula: z'_{x_{1}},LaTeX formula: z'_{x_{2}} , …,LaTeX formula: z'_{x_{n}} .

Полный дифференциал этой функции находят по формуле:

LaTeX formula: dz=z'_{x_{1}}dx_{1}+z'_{x_{2}}dx_{2}+...+z'_{x_{n}}dx_{n}. (6.24)

4. Рассмотрим неявную функцию LaTeX formula: F(x;y;z)=0   .

Частные производные этой функции находят по формулам: 

LaTeX formula: z'_{x}=-\frac{F'_{x}}{F'_{z}},   (6.25)     LaTeX formula: z'_{y}=-\frac{F'_{y}}{F'_{z}}  .    (6.25.1)

Частные производные и дифференциалы второго порядка      

Рассмотрим функцию двух переменных  LaTeX formula: z=f(x;y)

Частные производные второго порядка этой функции записывают: 

LaTeX formula: z''_{xx}=(z'_{x})'_{x} или LaTeX formula: \frac{\partial^2 z}{\partial x^2}=\frac{\partial }{\partial x}\left (\frac{\partial z}{\partial x} \right )  ; (6.25)
LaTeX formula: z''_{yy}=(z'_{y})'_{y} или LaTeX formula: \frac{\partial^2 z}{\partial y^2}=\frac{\partial }{\partial y}\left (\frac{\partial z}{\partial y} \right )  ; (6.27)

LaTeX formula: z''_{xy}=(z'_{x})'_{y} или  LaTeX formula: \frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}=\frac{\partial }{\partial x}\left (\frac{\partial z}{\partial y} \right )  . (6.28)

Верно, что смешанные производные равны: 

LaTeX formula: z''_{xy}=z''_{yx}. (6.29)

Дифференциал второго порядка функции LaTeX formula: z=f(x;y) находят по формуле:

LaTeX formula: d^{2}z=z''_{xx}dx^{2}+2z''_{xy}dxdy+z''_{yy}dy^{2}. (6.30)

Пример 1 . Найдите частные производные и полный дифференциал функции LaTeX formula: z=3x^{2}-4y+5xy^{3} .
Решение . 1. Найдем производную данной функции по LaTeX formula: x, считая LaTeX formula: y константой:
LaTeX formula: z'_{x}=(3x^{2})'_{x}-(4y)'_{x}+(5xy^{3})'_{x}=6x-0+5y^{3}=6x+5y^{3};
2. Найдем производную функции по LaTeX formula: y, считая LaTeX formula: x константой: 
LaTeX formula: z'_{y}=(3x^{2})'_{y}-(4y)'_{y}+(5xy^{3})'_{y}=0-4+5x(y^{3})'_{y}=-4+15xy^{2}.
3. Согласно формуле 6.22 запишем: LaTeX formula: dz=(6x+5y^{3})dx+(15xy^{2}-4)dy .

Пример 2 . Найдите частные производные и дифференциал второго порядка функции LaTeX formula: z=6e^{x}-3xy^{3}  .

Решение . Найдем частные производные первого порядка:

LaTeX formula: z'_{x}=(6e^{x})'_{x}-(3xy^{3})'_{x}=6e^{x}-3y^{3}

LaTeX formula: z'_{y}=(6e^{x})'_{y}-(3xy^{3})'_{y}=0-3x(y^{3})'_{y}=-9xy^{2}.
Найдем частные производные второго порядка: 
LaTeX formula: z''_{xx}=(6e^{x})'_{x}-(3y^{3})'_{x}=6e^{x}-0=6e^{x},
LaTeX formula: z''_{yy}=(-9xy^{2})'_{y}=-9x(y^{2})'_{y}=-18xy,
LaTeX formula: z''_{yx}=(-9xy^{2})'_{x}=-9y^{2}(x)'_{x}=-9y^{2}\cdot 1=-9y^{2}.
Согласно формуле 6.30 найдем дифференциал второго порядка: 
LaTeX formula: d^{2}z=6e^{x}dx^{2}-18y^{2}dxdy-18xydy^{2}.
Пример 3 . Найдите частные производные LaTeX formula: z'_{x} и LaTeX formula: z'_{y} функции LaTeX formula: F(x;y;z)=5z^{2}+xyz.
Решение . Найдем частные производные данной функции:
LaTeX formula: F'_{x}=(5z^{2})'_{x}+(xyz)'_{x}=0+yz=yz;
LaTeX formula: F'_{y}=(5z^{2})'_{y}+(xyz)'_{y}=0+xz=xz;

LaTeX formula: F'_{z}=(5z^{2})'_{z}+(xyz)'_{z}=10z+xy.

Согласно формулам 6.25 и 6.25.1 запишем: 

LaTeX formula: z'_{x}=-\frac{yz}{10z+xy}, LaTeX formula: z'_{y}=-\frac{xz}{10z+xy}.

1. Находя производную функции LaTeX formula: z=f(x;y)  по LaTeX formula: x, считаем LaTeX formula: y константой, а находя производную этой функции по LaTeX formula: y, считаем LaTeX formula: x константой.
2. Смешанные производные функции равны:
LaTeX formula: z''_{xy}=z''_{yx}.

formula