Частные производные и дифференциалы /qualihelpy

Частные производные и дифференциалы

Справочник / Студент / Дифференциальное исчисление /

Справочный материал Примеры Обратите внимание! Модели

Частные производные первого порядка и полный дифференциал функции

1. Рассмотрим функцию двух переменных LaTeX formula: z=f(x;y) .

Частные производные первого порядка функции LaTeX formula: z=f(x;y) в точке $LaTeX formula: M_{0}(x_{0};y_{0})$ находят по формулам:

$LaTeX formula: \left ( \frac{\partial z}{\partial x} \right )_{M_{0}}=\lim_{\Delta x\rightarrow \infty }\frac{f(x_{0}+\Delta x;y_{0})-f(x_{0};y_{0})}{\Delta x}$ ; (6.20)

$LaTeX formula: \left ( \frac{\partial z}{\partial y} \right )_{M_{0}}=\lim_{\Delta y\rightarrow \infty }\frac{f(x_{0};y_{0}+\Delta y)-f(x_{0};y_{0})}{\Delta y}$ . (6.21)

Записывают: $LaTeX formula: \frac{\partial z}{\partial x}$ или $LaTeX formula: z'_{x}$ и $LaTeX formula: \frac{\partial z}{\partial y}$ или $LaTeX formula: z'_{y}$ .

Полный дифференциал этой функции находят по формуле:

$LaTeX formula: dz=z'_{x}dx+z'_{y}dy$ . (6.22)

2. Рассмотрим функцию трех переменных LaTeX formula: u=f(x;y;z) .

Полный дифференциал этой функции находят по формуле:

$LaTeX formula: du=u'_{x}dx+u'_{y}dy+u'_{z}dz$ . (6.23)

3. Рассмотрим функцию n переменных $LaTeX formula: z=f(x_{1};x_{2};x_{3};...;x_{n})$ .

Аналогично записывают ее частные производные:

$LaTeX formula: z'_{x_{1}}$ , $LaTeX formula: z'_{x_{2}}$ , …, $LaTeX formula: z'_{x_{n}}$ .

Полный дифференциал этой функции находят по формуле:

$LaTeX formula: dz=z'_{x_{1}}dx_{1}+z'_{x_{2}}dx_{2}+...+z'_{x_{n}}dx_{n}$ . (6.24)

4. Рассмотрим неявную функцию LaTeX formula: F(x;y;z)=0 .

Частные производные этой функции находят по формулам:

$LaTeX formula: z'_{x}=-\frac{F'_{x}}{F'_{z}}$ , (6.25) $LaTeX formula: z'_{y}=-\frac{F'_{y}}{F'_{z}}$ . (6.25.1)

Частные производные и дифференциалы второго порядка

Рассмотрим функцию двух переменных LaTeX formula: z=f(x;y) .

Частные производные второго порядка этой функции записывают:

$LaTeX formula: z''_{xx}=(z'_{x})'_{x}$ или $LaTeX formula: \frac{\partial^2 z}{\partial x^2}=\frac{\partial }{\partial x}\left (\frac{\partial z}{\partial x} \right )$ ; (6.25)
$LaTeX formula: z''_{yy}=(z'_{y})'_{y}$ или $LaTeX formula: \frac{\partial^2 z}{\partial y^2}=\frac{\partial }{\partial y}\left (\frac{\partial z}{\partial y} \right )$ ; (6.27)

$LaTeX formula: z''_{xy}=(z'_{x})'_{y}$ или $LaTeX formula: \frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}=\frac{\partial }{\partial x}\left (\frac{\partial z}{\partial y} \right )$ . (6.28)

Верно, что смешанные производные равны:

$LaTeX formula: z''_{xy}=z''_{yx}$ . (6.29)

Дифференциал второго порядка функции LaTeX formula: z=f(x;y) находят по формуле:

$LaTeX formula: d^{2}z=z''_{xx}dx^{2}+2z''_{xy}dxdy+z''_{yy}dy^{2}$ . (6.30)

Пример 1 . Найдите частные производные и полный дифференциал функции $LaTeX formula: z=3x^{2}-4y+5xy^{3}$ .
Решение . 1. Найдем производную данной функции по LaTeX formula: x

, считая

константой:
$LaTeX formula: z'_{x}=(3x^{2})'_{x}-(4y)'_{x}+(5xy^{3})'_{x}=6x-0+5y^{3}=6x+5y^{3}$ ;
2. Найдем производную функции по LaTeX formula: y

, считая

константой:
$LaTeX formula: z'_{y}=(3x^{2})'_{y}-(4y)'_{y}+(5xy^{3})'_{y}=0-4+5x(y^{3})'_{y}=-4+15xy^{2}$ .
3. Согласно формуле 6.22 запишем: $LaTeX formula: dz=(6x+5y^{3})dx+(15xy^{2}-4)dy$ .

Пример 2 . Найдите частные производные и дифференциал второго порядка функции $LaTeX formula: z=6e^{x}-3xy^{3}$ .

Решение . Найдем частные производные первого порядка:

$LaTeX formula: z'_{x}=(6e^{x})'_{x}-(3xy^{3})'_{x}=6e^{x}-3y^{3}$ ,

$LaTeX formula: z'_{y}=(6e^{x})'_{y}-(3xy^{3})'_{y}=0-3x(y^{3})'_{y}=-9xy^{2}$ .
Найдем частные производные второго порядка:
$LaTeX formula: z''_{xx}=(6e^{x})'_{x}-(3y^{3})'_{x}=6e^{x}-0=6e^{x}$ ,
$LaTeX formula: z''_{yy}=(-9xy^{2})'_{y}=-9x(y^{2})'_{y}=-18xy$ ,
$LaTeX formula: z''_{yx}=(-9xy^{2})'_{x}=-9y^{2}(x)'_{x}=-9y^{2}\cdot 1=-9y^{2}$ .
Согласно формуле 6.30 найдем дифференциал второго порядка:
$LaTeX formula: d^{2}z=6e^{x}dx^{2}-18y^{2}dxdy-18xydy^{2}$ .
Пример 3 . Найдите частные производные $LaTeX formula: z'_{x}$ и $LaTeX formula: z'_{y}$ функции $LaTeX formula: F(x;y;z)=5z^{2}+xyz$ .
Решение . Найдем частные производные данной функции:
$LaTeX formula: F'_{x}=(5z^{2})'_{x}+(xyz)'_{x}=0+yz=yz$ ;
$LaTeX formula: F'_{y}=(5z^{2})'_{y}+(xyz)'_{y}=0+xz=xz$ ;

$LaTeX formula: F'_{z}=(5z^{2})'_{z}+(xyz)'_{z}=10z+xy$ .

Согласно формулам 6.25 и 6.25.1 запишем:

$LaTeX formula: z'_{x}=-\frac{yz}{10z+xy}$ , $LaTeX formula: z'_{y}=-\frac{xz}{10z+xy}$ .

1. Находя производную функции LaTeX formula: z=f(x;y)

по

, считаем

константой, а находя производную этой функции по LaTeX formula: y

, считаем

константой.
2. Смешанные производные функции равны:
$LaTeX formula: z''_{xy}=z''_{yx}$ .

Программа для просмотра моделей (МК-плеер) Файлы для скачивания