Частные производные первого порядка и полный дифференциал функции
1.
Рассмотрим
функцию двух переменных .
Частные производные
первого порядка функции в точке
находят по формулам:

. (6.21)
Записывают: или
и
или
.
Полный дифференциал
этой функции находят по формуле:
. (6.22)
2.
Рассмотрим
функцию трех переменных .
Полный дифференциал
этой функции находят по формуле:
. (6.23)
3.
Рассмотрим
функцию n переменных
.
Аналогично записывают ее частные производные:
,
, …,
.
Полный дифференциал
этой функции находят по формуле:
. (6.24)
4.
Рассмотрим
неявную функцию .
Частные производные этой функции находят по формулам:
, (6.25)
. (6.25.1)
Частные производные и дифференциалы второго порядка
Рассмотрим функцию двух переменных .
Частные производные второго порядка
этой функции записывают:




или
. (6.28)
Верно, что смешанные производные равны:
. (6.29)
Дифференциал второго порядка
функции находят по формуле:


Решение . 1. Найдем производную данной функции по



2. Найдем производную функции по



3. Согласно формуле 6.22 запишем:

Пример 2 . Найдите частные производные и дифференциал второго порядка функции .
Решение . Найдем частные производные первого порядка:
,

Найдем частные производные второго порядка:



Согласно формуле 6.30 найдем дифференциал второго порядка:

Пример 3 . Найдите частные производные



Решение . Найдем частные производные данной функции:


.
Согласно формулам 6.25 и 6.25.1 запишем:







2. Смешанные производные функции равны:
