Справочный материал Примеры Обратите внимание! Модели
Функцией двух переменных LaTeX formula: z=f(x;y)   называют такую зависимость переменной LaTeX formula: z от переменных LaTeX formula: x и LaTeX formula: y, что каждой паре значений LaTeX formula: x и LaTeX formula: y соответствует единственное значение LaTeX formula: z.
Аналогично определяется функция трех LaTeX formula: u=f(x;y;z)  , четырех LaTeX formula: v=f(x;y;z;u) и более переменных.
Функцией n переменных LaTeX formula: y=f(x_{1};x_{2};x_{3};...;x_{n}) называют такую зависимость переменной LaTeX formula: y от переменных  LaTeX formula: x_{1},LaTeX formula: x_{2},LaTeX formula: x_{3},...,LaTeX formula: x_{n},что каждой системе значений LaTeX formula: x_{1},LaTeX formula: x_{2},LaTeX formula: x_{3},...,LaTeX formula: x_{n} соответствует единственное значение LaTeX formula: y
Областью определения функции LaTeX formula: z=f(x;y) называют совокупность точек LaTeX formula: (x;y) , в которых данная функция определена.

Область определения функции двух переменных представляет собою часть координатной плоскости или всю плоскость, а сама функция представляет некоторую поверхность в пространстве.

Число LaTeX formula: b называют  пределом функции LaTeX formula: z=f(x;y)в точке LaTeX formula: A(x_{0};y_{0}), если при любом LaTeX formula: \varepsilon > 0  найдется LaTeX formula: \delta > 0 такое, что для всех точек LaTeX formula: (x;y) , отстоящих от LaTeX formula: A(x_{0};y_{0}) меньше, чем на LaTeX formula: \delta, выполняется неравенство LaTeX formula: \left | f(x;y) -b\right |< \varepsilon.

Записывают:  LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow x_{0}& \\ y\rightarrow y_{0}}f(x;y)=b.


Пример 1 . Найдем области определения функций:
1) областью определения функции LaTeX formula: z=6x-3y  является вся координатная плоскость LaTeX formula: Oxy
2) областью определения функции LaTeX formula: z=\sqrt{6x-3y} является полуплоскость, все точки которой удовлетворяют условию: LaTeX formula: 6x-3y\geq 0 , откуда LaTeX formula: y\leq 2x .
Пример 2. ВычислитеLaTeX formula: \lim_{x\rightarrow 0 y\rightarrow 2}\frac{\sin 5xy}{2x}.
Решение .
LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow 0 y\rightarrow 2}\frac{\sin 5xy}{2x}=\frac{1}{2}\lim_{x\rightarrow 0 y\rightarrow 2}\frac{5y\sin 5xy}{5xy}=LaTeX formula: \frac{1}{2}\lim_{y\rightarrow 2}(5y)\cdot \lim_{x\rightarrow 0 y\rightarrow 2}\frac{\sin 5xy}{5xy}=\frac{1}{2}\cdot 10=5.
Ответ: LaTeX formula: 5.

Примеры функций двух, трех и четырех переменных: LaTeX formula: z=f(x;y)=2x-3y+6 , LaTeX formula: u=f(x;y;z)=9z-\sin xyLaTeX formula: v=f(x;y;z;u)=\frac{x+3u}{yz^{2}} .
formula