Справочный материал Примеры Обратите внимание! Модели

Экономический смысл производной

Рассмотрим некоторые функциональные зависимости в экономике и покажем смысл их производных.

1. Если LaTeX formula: u(t)  – объем продукции, выпущенной предприятием за время LaTeX formula: t, а LaTeX formula: v(t)– производительность труда в момент времени LaTeX formula: t, то экономический смысл производной выражается формулой: 

LaTeX formula: v(t)=u'(t). (6.14)

2. Если известна функция LaTeX formula: I(x)  , которая описывает зависимость издержек производства от количества LaTeX formula: x выпускаемой продукции, то функция LaTeX formula: I'(x)  описывает предельные издержки производства.

3. Если функция LaTeX formula: W(x)  описывает выручку от реализации LaTeX formula: x единиц товара, то функция LaTeX formula: W'(x)  описывает предельную выручку.

Эластичность функции

Эластичность функции LaTeX formula: y=f(x)   показывает процент прироста зависимой переменной LaTeX formula: y, соответствующий приращению независимой переменной LaTeX formula: x на LaTeX formula: 1\% и находится по формуле: 

LaTeX formula: E_{x}(y)=\frac{x}{f(x)}\cdot f'(x). (6.15)

Применение теорем о дифференцируемых функциях      

Приложение теоремы Ферма в экономике

1. Если LaTeX formula: x – объем выпускаемой продукции, LaTeX formula: p – цена продукции, LaTeX formula: x_{0}  – точка, в которой функция прибыли    П LaTeX formula: (x)  достигает своего максимума, а LaTeX formula: C(x) – функция издержек производства, то: 

LaTeX formula: p=C'(x_{0}) (6.16)

2. Если LaTeX formula: x_{0} – точка глобального максимума функции прибыли П LaTeX formula: (x) , а LaTeX formula: S(p) – функция предложения, то справедливо равенство: 

LaTeX formula: x_{0}=S(p). (6.17)

Производная логарифмической функции       

1. Если функция LaTeX formula: K(t)  выражает величину вклада в момент времени LaTeX formula: t, то ставку банковского процента LaTeX formula: r можно найти по формуле: 

LaTeX formula: r=(\ln K(t))'. (6.18) 

2. Если LaTeX formula: A(t)  – стоимость некоторого активаLaTeX formula: A в момент времени LaTeX formula: t, LaTeX formula: r – доходность от вложения денег в другие активы, то, чтобы определить стратегию покупки и продажи активов с целью получения максимально возможной прибыли, необходимо найти промежуток времени, в течение которого доходность актива LaTeX formula: A будет больше LaTeX formula: r, решая неравенство:

LaTeX formula: (\ln A(t))'> r; (6.19)

При этом:

а) если временной промежуток задается интервалом LaTeX formula: (t_{1};t_{2})  , то актив LaTeX formula: A следует купить в момент времени LaTeX formula: t_{1} , а продать в момент времени LaTeX formula: t_{2}  ;

б) если временной промежуток задается интервалом LaTeX formula: (-\infty ;t_{1})\cup (t_{2};+\infty )  , то актив LaTeX formula: A следует продать в момент времени LaTeX formula: t_{1} , и купить в момент времени LaTeX formula: t_{2} .


Пример 1 . Найдите эластичность функции LaTeX formula: f(x)=10x-50 в точке LaTeX formula: x=6 .
Решение . Так как LaTeX formula: f(x)=10x-50 , а LaTeX formula: f'(x)=10 , то согласно формуле 6.15 LaTeX formula: E_{x}(y)=\frac{10x}{10x-50}=\frac{x}{x-5}  . Тогда LaTeX formula: E_{6}(y)=\frac{6}{6-5}=6 . Это означает, что если значение LaTeX formula: x увеличить на LaTeX formula: 1\%, то значение LaTeX formula: y yвеличится на LaTeX formula: 6\%
Пример 2. Найдите приближенно величину ставки банковского процента в момент времени LaTeX formula: t=2 , если величина вклада определяется функцией LaTeX formula: K(t)=3e^{arctgt} .
Решение . Согласно формуле 6.18 запишем: LaTeX formula: r=\left ( \ln 3e^{arctgt} \right )'=(\ln 3)'+(\ln e^{arctgt})'=0+(arctgt)'=\frac{1}{1+t^{2}}.
При LaTeX formula: t=2 получим: LaTeX formula: r=\frac{1}{1+4}=0,2 или в процентах LaTeX formula: r=20\%.
Ответ :  LaTeX formula: 20\%
Пример 3. Установите сроки покупки и продажи актива LaTeX formula: A, если его стоимость определяется функциейLaTeX formula: A(x)=(x+5)^{2}, а доходность от вложения денег в другие активы составляет LaTeX formula: 20\%
Решение . 1. Согласно формуле 6.19 запишем:
LaTeX formula: (\ln (x+5)^{2})'> \frac{20}{100}LaTeX formula: 2(\ln (x+5))'> \frac{2}{10} , LaTeX formula: \frac{1}{x+5}> \frac{1}{10}LaTeX formula: \frac{10-x-5}{10(x+5)} > 0LaTeX formula: \frac{5-x}{5+x} > 0 , откуда LaTeX formula: x\in (-5;5) .
Ответ : актив выгодно было купить LaTeX formula: 5 лет назад, а продать его лучше всего через  лет (от текущего момента времени). 

Функция предложения LaTeX formula: S(p) обратная к функции LaTeX formula: C'(x) . Например, пусть LaTeX formula: C'(x)=x^{3}-15. Согласно формуле 6.16  запишем LaTeX formula: p=x^{3}-15  и выразим явно переменную LaTeX formula: xLaTeX formula: x^{3}=p+15 , LaTeX formula: x=\sqrt[3]{p+15}. Получим: LaTeX formula: S(p)=\sqrt[3]{p+15}
formula