Справочный материал Примеры Обратите внимание! Модели

1. Касательная и нормаль графика функции

Уравнение касательной, проведенной к графику функции LaTeX formula: y=f(x) в точке LaTeX formula: (x_{0};f(x_{0})), имеет вид:
LaTeX formula: y=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0}). (6.10)
Уравнение нормали , проведенной к графику функции LaTeX formula: y=f(x) в точке LaTeX formula: (x_{0};f(x_{0})), имеет вид:

LaTeX formula: y=f(x_{0})-\frac{1}{f'(x_{0})}(x-x_{0}). (6.11)

2. Приближенные вычисления значений функции

Приближенное значение функции LaTeX formula: y=f(x) в точке LaTeX formula: x=x_{0}+\Delta x находят по формуле:

LaTeX formula: f(x_{0}+\Delta x)\approx f(x_{0})+f'(x_{0})\cdot \Delta x. (6.12)

3. Вычисление пределов функции   Правило Лопиталя-Бернулли : если функцииLaTeX formula: f(x) и LaTeX formula: g(x)определены, дифференцируемы и являются бесконечно малыми или бесконечно большими в некоторой окрестности точки , то справедливо равенство: 

LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f'(x)}{g'(x)}. (6.13)

Правило 6.13  можно применять и в случаях, когда:

а) аргумент функции стремится к значению, которое не входит в ее область определения, например LaTeX formula: \frac{tg x}{tg5x}, при LaTeX formula: x\rightarrow \frac{\pi }{2};

б) при раскрытии неопределенности вида LaTeX formula: \infty -\infty , преобразовав разность в частное, например, LaTeX formula: \left ( \frac{1}{x-1} -\frac{1}{\ln x}\right ) при LaTeX formula: x\rightarrow 1;

в) при раскрытии неопределенности вида LaTeX formula: 0\cdot \infty, преобразовав произведение в частное, например, функциюLaTeX formula: (\sin x-x)\ln x при LaTeX formula: x\rightarrow0  преобразуем так: LaTeX formula: \frac{lnx}{\frac{1}{sinx-x}}  ;

г) при раскрытии неопределенностей вида LaTeX formula: 1^{\infty }LaTeX formula: 0^{0} и LaTeX formula: \infty ^{0}, выполнив предварительное логарифмирование по формуле 

LaTeX formula: (f(x))^{g(x)}=e^{g(x)\ln f(x)}, например, функцию LaTeX formula: (\ln x)^{2-2x} при LaTeX formula: x\rightarrow 1 (неопределенность вида LaTeX formula: 0^{0} ) преобразуем так: LaTeX formula: e^{(2-2x)\ln (\ln x)}.
Пример 1 . Найдите уравнение касательной к графику функции LaTeX formula: f(x)=\frac{2-x}{3+x} в точке с абсциссой LaTeX formula: x_{0}=1.
Решение . 1. Найдем значение функции в точке LaTeX formula: x_{0}=1LaTeX formula: f(1)=\frac{1}{4} .
2. Используя формулу LaTeX formula: \left ( \frac{u}{v} \right )'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}} найдем производную функции: LaTeX formula: f'(x)=\frac{(2-x)'(3+x)-(2-x)(3+x)'}{(3+x)^{2}}=\frac{-3-x-2+x}{(3+x)^{2}}=LaTeX formula: -LaTeX formula: \frac{5}{(3+x)^{2}}.
3. Найдем значение производной в точке LaTeX formula: x_{0}=1LaTeX formula: f'(1)=-\frac{5}{16} .
4. Согласно формуле 6.10 запишем уравнение касательной: 
LaTeX formula: y=\frac{1}{4}-\frac{5}{16}(x-1), LaTeX formula: y=\frac{1}{4}-\frac{5}{16}x+\frac{5}{16}, LaTeX formula: y=-\frac{5}{16}x+\frac{9}{16}.
ОтветLaTeX formula: y=-\frac{5}{16}x+\frac{9}{16} .

Пример 2. Найдите приближенно LaTeX formula: \sqrt{3,9}.

 Решение . 1. Согласно формуле 6.12 запишем: 

LaTeX formula: f(4-0,1)\approx f(4)+f'(4)\cdot (-0,1)

2. Имеем функцию LaTeX formula: f(x)=\sqrt{x} . Тогда LaTeX formula: f(4)=\sqrt{4}=2 .
3. Найдем ее производную: LaTeX formula: f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}} . Тогда  LaTeX formula: f'(4)=\frac{1}{2\sqrt{4}}=0,25.
4. Получим: LaTeX formula: \sqrt{3,9}\approx 2+0,25\cdot (-0,1)=2-0,025=1,975 .
Ответ : LaTeX formula: 1,975.
Пример 3. Вычислите пределLaTeX formula: \lim_{x\rightarrow \infty }\frac{2x+\ln x}{2x+x^{2}} .
Решение . Имеем неопределенность вида LaTeX formula: \frac{\infty }{\infty }  . Применим правило 6.13:LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow \infty }\frac{(2x+\ln x)'}{(2x+x^{2})'}=\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{2+\frac{1}{x}}{2+2x}=\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{2x+1}{2x+2x^{2}}
Снова имеем неопределенность вида LaTeX formula: \frac{\infty }{\infty }  . Еще раз применим правило6.13:LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow \infty }\frac{(2x+1)'}{(2x+2x^{2})'}=\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{2}{2+4x}=0 .
Ответ : 0.

1. Правило 6.13 применяют в случаях наличия неопределенностей вида LaTeX formula: \frac{0 }{0 } и LaTeX formula: \frac{\infty }{\infty }  , но при условии, что пред елLaTeX formula: \frac{f'(x) }{g'(x) } существует или равен бесконечности.
2. Если частное LaTeX formula: \frac{f'(x) }{g'(x)} в свою очередь дает неопределенность вида LaTeX formula: \frac{0 }{0 } или LaTeX formula: \frac{\infty }{\infty } , то можно несколько раз применять правило Лопиталя-Бернулли, но при условии, что все пределы существуют.

formula