Справочный материал Примеры Обратите внимание! Модели

Теоремы о дифференцируемых функциях

Рассмотрим функции LaTeX formula: f(x) и LaTeX formula: g(x), которые непрерывны на отрезке LaTeX formula: [a;b] и дифференцируемы на интервале LaTeX formula: (a;b).
Теорема Ферма : если функция LaTeX formula: f(x) в точке LaTeX formula: x_{0}\in (a;b) имеет локальный экстремум, то LaTeX formula: f'(x_{0})=0 .
Геометрический смысл теоремы: касательная к графику функции в точке LaTeX formula: x_{0} параллельна оси абсцисс. 

Теорема Лагранжа:  LaTeX formula: \frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(x_{0}), где LaTeX formula: x_{0}\in (a;b).

Геометрический смысл теоремы: касательная к графику функции в точке LaTeX formula: x_{0}\in (a;b)  параллельна секущей, соединяющей концы графика этой функции.

Теорема Ролля: если LaTeX formula: f(a)=f(b) и  LaTeX formula: x_{0}\in (a;b), то LaTeX formula: f'(x_{0})=0.

Геометрический смысл теоремы: у графика функции существует точка, в которой касательная параллельна оси абсцисс.

Теорема Коши: если LaTeX formula: x_{0}\in (a;b) , то LaTeX formula: \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(x_{0})}{g'(x_{0})}.

Исследование функции с помощью первой производной

С помощью производной функции можно определить характер монотонности функции, точки экстремума, а также ее наибольшее и наименьшее значение на заданном промежутке.

Достаточное условие возрастания (убывания) функции:

а) если на заданном промежутке LaTeX formula: f'(x)> 0  , то функция возрастает на этом промежутке;

б) если LaTeX formula: f'(x)< 0  , то функция убывает на этом промежутке.

Экстремум функции

Максимумом (минимумом) функции LaTeX formula: y=f(x)  называют такое ее значение, которое больше (меньше) всех ее других значений в окрестности рассматриваемой точки.

Максимум и минимум функции имеют локальный характер, поскольку отдельные минимумы некоторой функции могут оказаться больше максимумов той же функции (рис. 6.4).

Максимум и минимум функции называются  экстремумом функции . Значение аргумента, при котором достигается экстремум, называется точкой экстремума . На рисунке 6.4 значения LaTeX formula: x_{1},LaTeX formula: x_{2} ,LaTeX formula: x_{3} ,LaTeX formula: x_{4}  и LaTeX formula: x_{5} являются точками экстремума рассматриваемой функции.

 

Критическими точками функции называют те значения аргумента, при которых производная функции равна нулю или не существует. Критические точки функции находят, решая уравнение: LaTeX formula: f'(x)=0.

Алгоритм нахождения точек экстремума функции:

1) находим область определения функции LaTeX formula: y=f(x) ;
2) находим
LaTeX formula: f'(x);

3) находим критические точки функции, решая уравнение LaTeX formula: f'(x)=0;

4) наносим критические точки на область определения функции;

5) определяем знак производной функции на полученных промежутках;

6) определяем точки экстремума функции по правилу: 
если при переходе через критическую точку производная меняет знак c «+» на «–», то имеем точку максимума, а если с «–» на «+», то имеем точку минимума.

Рассмотрим функцию LaTeX formula: y=f(x)  на отрезке LaTeX formula: [a;b]. Свое наибольшее и наименьшее значение она может принимать либо на концах отрезка, либо в точках экстремума.

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений функции LaTeX formula: y=f(x)на заданном отрезке:  

1) находим LaTeX formula: f'(x);

2) находим критические точки функции, решая уравнение LaTeX formula: f'(x)=0;

3) находим значение функции на концах отрезка и в критических точках, принадлежащих данному отрезку;

4) определяем наибольшее и наименьшее значение из полученных.

Исследование функции с помощью второй производной

Критическими точками второго рода функции LaTeX formula: y=f(x) называют те значения аргумента, при которых вторая производная этой функции равна нулю или не существует.

Критические точки второго рода функции LaTeX formula: y=f(x)находят, решая уравнение LaTeX formula: f''(x)=0.

Если при переходе через критическую точку второго рода вторая производная функции меняет знак, то имеем точку перегиба  графика функции.

Если на некотором промежутке выполняется неравенство LaTeX formula: f''(x)> 0, то функция LaTeX formula: y=f(x) вогнута на этом промежутке, а если LaTeX formula: f''(x)< 0, то функция выпукла на этом промежутке.

Пример 1. Найдите промежутки монотонности и точки экстремума функции LaTeX formula: y=\frac{x^{3}}{3}-2x^{2}-5x+1 .
Решение . Используя таблицу производных найдем производную функции: LaTeX formula: y'=x^{2}-4x-5 . Найдем критические точки: LaTeX formula: x^{2}-4x-5=0 ,LaTeX formula: x_{1}=-1 ,LaTeX formula: x_{2}=5  . Нанесем числа LaTeX formula: -1 и LaTeX formula: 5 на координатную прямую и установим знаки производной на полученных промежутках: 
Ответ : На промежутках LaTeX formula: (-\infty ;-1) и LaTeX formula: (5;+\infty ) функция возрастает. На промежутке LaTeX formula: (-1;5) функция убывает. Точки экстремума: LaTeX formula: x_{max}=-1LaTeX formula: x_{min}=5
Пример 2. Найдите точки перегиба и промежутки выпуклости и вогнутости графика функцииLaTeX formula: y=\frac{x^{3}}{3}-2x^{2}-5x-23
Решение . 1. Используя таблицу производных найдем первую производную функции: LaTeX formula: y'=x^{2}-4x-5 .
2. Используя таблицу производных найдем вторую производную функции: LaTeX formula: y''=2x-4 .
3. Найдем критические точки второго рода: LaTeX formula: 2x-4=0LaTeX formula: x=2 .
4. Нанесем точку LaTeX formula: x=2 на область определения данной функции и установим знаки ее второй производной на полученных промежутках:
Ответ : На промежутке LaTeX formula: (-\infty ;2) функция выпукла вверх; на промежутке LaTeX formula: (2;+\infty ) функция выпукла вниз; LaTeX formula: x=2 – точка перегиба графика функции.
Пример 3. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции LaTeX formula: y=x\ln x на отрезке LaTeX formula: [1;e] .
Решение . 1. По формуле LaTeX formula: (u\cdot v)'=u'v+uv' найдем производную данной функции: LaTeX formula: y'=x'\ln x+x(\ln x)'=\ln x+1.
2. Найдем критические точки функции, решая уравнение LaTeX formula: \ln x+1=0 , откуда LaTeX formula: \ln x=-1 , LaTeX formula: x=e^{-1}.
3. Найдем значение функции на концах отрезка LaTeX formula: [1;e] и в критической точке LaTeX formula: x=e^{-1} , поскольку она принадлежит данному отрезку: LaTeX formula: f(1)=1\cdot 0=0 , LaTeX formula: f(e^{-1})=e^{-1}\ln e^{-1}=-e^{-1}  ,  LaTeX formula: f(e)=e\ln e=e.

ОтветLaTeX formula: y_{min}=LaTeX formula: f(e^{-1})=-e^{-1},  LaTeX formula: y_{max}=f(e)=e.



Приведем схему полного исследования функции LaTeX formula: y=f(x)
1. Находим область определения функции.
2. Определяем, является ли функция четной или нечетной.
3. Выясняем, является ли функция периодической.
4. Находим точки пересечения графика функции с осью ординат.
5. Находим нули функции (точки пересечения графика функции с осью абсцисс).
6. Проводим исследование функции с помощью первой производной:
а) находим критические точки первого рода;
б) находим промежутки возрастания и убывания функции;
в) находим точки экстремума функции и значение функции в точках экстремума.
7. Проводим исследование функции с помощью второй производной:
а) находим критические точки второго рода;
б) находим промежутки выпуклости и вогнутости функции;
в) находим точки перегиба графика функции.
8. Находим асимптоты графика функции.
9. Строим график функции.
10. Находим промежутки знакопостоянства функции: промежутки, на которых функция положительна и промежутки, на которых функция отрицательна.
11. Находим область значений функции.


formula