Справочный материал Примеры Обратите внимание! Модели
Производной функции LaTeX formula: y=f(x) в данной точке называют предел отношения приращения функции к соответствующему приращению ее аргумента при условии, что последнее стремится к нулю, и записывают:
LaTeX formula: f'(x_{0})=\lim_{\Delta x\rightarrow \infty }\frac{\Delta f(x_{0})}{\Delta x}, (6.1)

где LaTeX formula: \Delta f(x_{0})=f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})=\Delta y  – приращение функции, а LaTeX formula: \Delta x – приращение ее аргумента в точке LaTeX formula: x_{0},LaTeX formula: x_{1}=x_{0}+\Delta x  (рис. 6.1).

Производная функции показывает скорость изменения функции при изменении ее аргумента. Операцию нахождения производной называют  дифференцированием .

Производной второго порядка (второй производной) функции LaTeX formula: y=f(x) называют производную ее первой производной и записывают: LaTeX formula: y''=(f'(x))' . Аналогично находят производную третьего порядка: LaTeX formula: y'''=(f''(x))'  . Производную порядка LaTeX formula: n записывают: LaTeX formula: y^{(n)}.

Рассмотрим функцию LaTeX formula: y=f(x) и прямую LaTeX formula: y=kx+b , которая является касательной к графику функции LaTeX formula: y=f(x) и проведена в точке с координатами LaTeX formula: (x_{0};f(x_{0}))  (рис. 6.2). 

Угловой коэффициент   LaTeX formula: k касательной находят по формуле: 

LaTeX formula: k=f'(x_{0}) или LaTeX formula: k= \ tg \alpha , (6.2)

где LaTeX formula: \alpha – угол между касательной и положительным направлением оси LaTeX formula: Ox  .

Равенство LaTeX formula: f'(x_{0})= \ tg \alpha выражает геометрический смысл производной .

Дифференциалом  LaTeX formula: dy функции LaTeX formula: y=f(x) называют произведение ее производной и приращения независимой переменной:

LaTeX formula: dy=f'(x)\cdot \Delta x.

Дифференциал функции можно найти по формуле:

LaTeX formula: dy=f'(x)\cdot d x, (6.3)

где LaTeX formula: dx= \Delta x  .

Действительно, например, при LaTeX formula: f(x)=x , получим: LaTeX formula: dx=1\cdot \Delta x=\Delta x  .

Геометрический смысл дифференциала : дифференциал функции равен приращению ординаты касательной к функции в точке, абсцисса которой получает приращение LaTeX formula: \Delta x  (рис. 6.3).

 

Основные правила дифференцирования

LaTeX formula: (k\cdot f(x))'=k\cdot f'(x) , где LaTeX formula: k  – число; (6.4)
LaTeX formula: (u+v)'=u'+v', где LaTeX formula: u=f_{1}(x) , LaTeX formula: v=f_{2}(x)  ; (6.5)
LaTeX formula: (u\cdot v)'=u'v+uv'; (6.6)
LaTeX formula: \left ( \frac{u}{v} \right )'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}; (6.7)

LaTeX formula: (f(g(x)))'=f'(g(x))\cdot g'(x). (6.8)

Производные элементарных и сложных функций

Таблица производных:


Производная неявной функции

Чтобы найти производную LaTeX formula: y' неявной функции LaTeX formula: F(x;y)=0, необходимо дифференцировать обе части равенстваLaTeX formula: F(x;y)=0  , считая, что LaTeX formula: x – независимая переменная, а LaTeX formula: y – зависимая от LaTeX formula: x переменная, и из полученного уравнения выразить явно LaTeX formula: y'  .

Производная функции, заданной параметрически

Производную функции LaTeX formula: \left\{\begin{matrix} x=f(t) & \\ y=g(t)& \end{matrix}\right. находят по формуле: 
LaTeX formula: y'_{x}=\frac{y'_{t}}{x'_{t}} (6.9)

Производная показательно-степенной функции

Чтобы найти производную показательно-степенной функции LaTeX formula: y=f(x)^{g(x)} необходимо: 
1) прологарифмировать обе части уравнения LaTeX formula: y=f(x)^{g(x)} :
LaTeX formula: \ln y=\ln f(x)^{g(x)};
2) согласно свойству логарифмов LaTeX formula: \log _{a}x^{n}=n\log _{a}x записать:
LaTeX formula: \ln y=g(x)\ln f(x);
3) найти производные левой и правой части последнего уравнения: LaTeX formula: (\ln y)'=(g(x)\ln f(x))'LaTeX formula: \frac{y'}{y}=(g(x)\ln f(x))' ;
4) выразить LaTeX formula: y' явноLaTeX formula: {y'=(g(x)\ln f(x))'\cdot y


Пример 1. Найдите дифференциал функции LaTeX formula: y=(6+\ln x)^{5} .
Решение . Воспользуемся таблицей производных  и формулой LaTeX formula: (g^{n}(x))'=ng^{n-1}(x)\cdot g'(x):
LaTeX formula: y'=5(6+\ln x)^{5-1}\cdot (6+\ln x)'=5(6+\ln x)^{4}\cdot \left ( 0+\frac{1}{x} \right )LaTeX formula: =\frac{5(6+\ln x)^{4}}{x}.
Согласно формуле 6.3 найдем дифференциал функции: LaTeX formula: dy=\frac{5(6+\ln x)^{4}dx}{x} .
Пример 2 Найдите производную функции LaTeX formula: x^{3}+y^{2}=e^{x+y} .
Решение . Применяя правила нахождения производной суммы 6.5 и, используя таблицу производных, получим:
LaTeX formula: (x^{3})'+(y^{2})'=e^{x+y}(x+y)',LaTeX formula: 3x^{2}+2yy'=e^{x+y}(1+y') .
Выразим явно LaTeX formula: y'LaTeX formula: 2yy'-e^{x+y}y'=e^{x+y}-3x^{2}LaTeX formula: y'=\frac{e^{x+y}-3x^{2}}{2y-e^{x+y}} .
Пример 3. Найдите производную функции LaTeX formula: y=\cos tLaTeX formula: x=2t+\cos t .
Решение . 1. Используя таблицу производных найдем:
LaTeX formula: y'=(\cos t)'=-\sin tLaTeX formula: x'_{t}=(2t)'+(\cos t)'=2-\sin t .
2. Согласно формуле 6.9 запишем: LaTeX formula: y'_{x}=-\frac{\sin t}{2-\sin t}.
Пример 4. Найдите производную функции LaTeX formula: y=x^{x} .

Решение. 1. Прологарифмируем обе части уравнения:

LaTeX formula: \ln y=\ln x^{x}, LaTeX formula: \ln y=x\cdot \ln x .

2. Используя формулу 6.6 и таблицу производных, найдем производные левой и правой части этого равенства:
LaTeX formula: (\ln y)'=(x)'\cdot \ln x+x\cdot (\ln x)', LaTeX formula: \frac{y'}{y}=1\cdot \ln x+x\cdot \frac{1}{x} ,  LaTeX formula: \frac{y'}{y}= \ln x+1.
3. Выразим явно
 LaTeX formula: y' :  LaTeX formula: y'=(\ln x+1)\cdot x^{x}.



1. Производная любого числа равна нулю, например: LaTeX formula: 3'=0LaTeX formula: (cos 1)'=0 ,  LaTeX formula: (\log _{5}2)'=0.
2. Различайте записи:
LaTeX formula: (ax)'=a(x)'=a\cdot 1=a и  LaTeX formula: (a+x)'=a'+x'=0+1=1.
3. Различайте производные:
1) степенной функции LaTeX formula: (x^{2})'=2x ;
2) показательной функции LaTeX formula: (2^{x})'=2^{x}\ln 2 .
3. Различайте: 1) LaTeX formula: \left ( \frac{k}{f(x)} \right )'=k\cdot \left ( \frac{1}{f(x)} \right )' ;

2) LaTeX formula: \left ( \frac{f(x)}{k} \right )'=\frac{1}{k}\cdot (f(x))';

3) LaTeX formula: \left ( \frac{g(x)}{f(x)} \right )'=\frac{g'(x)\cdot f(x)-g(x)\cdot f'(x)}{f^{2}(x)} .


formula