

где – приращение функции, а
– приращение ее аргумента в точке
,
(рис. 6.1).
Производная функции показывает скорость изменения функции при изменении ее аргумента. Операцию нахождения производной называют дифференцированием .
Производной второго порядка
(второй производной) функции называют производную ее первой производной и записывают:
. Аналогично находят производную третьего порядка:
. Производную порядка
записывают:
.
Рассмотрим функцию и прямую
, которая является касательной к графику функции
и проведена в точке с координатами
(рис. 6.2).
Угловой коэффициент
касательной находят по формуле:


где – угол между касательной и положительным направлением оси
.
Равенство выражает
геометрический смысл производной .
Дифференциалом функции
называют произведение ее производной и приращения независимой переменной:
.
Дифференциал функции можно найти по формуле:
, (6.3)
где .
Действительно, например, при , получим:
.
Геометрический смысл дифференциала
: дифференциал функции равен приращению ординаты касательной к функции в точке, абсцисса которой получает приращение (рис. 6.3).
Основные правила дифференцирования







. (6.8)
Производные элементарных и сложных функций
Таблица производных:
Производная неявной функции
Чтобы найти производную неявной функции
, необходимо дифференцировать обе части равенства
, считая, что
– независимая переменная, а
– зависимая от
переменная, и из полученного уравнения выразить явно
.
Производная функции, заданной параметрически
Производную функции находят по формуле:
(6.9)
Производная показательно-степенной функции
Чтобы найти производную показательно-степенной функции необходимо:
1) прологарифмировать обе части уравнения :
;
2) согласно свойству логарифмов записать:
;
3) найти производные левой и правой части последнего уравнения: ,
;
4) выразить явно:

Решение . Воспользуемся таблицей производных и формулой



Согласно формуле 6.3 найдем дифференциал функции:

Пример 2. Найдите производную функции

Решение . Применяя правила нахождения производной суммы 6.5 и, используя таблицу производных, получим:


Выразим явно



Пример 3. Найдите производную функции


Решение . 1. Используя таблицу производных найдем:


2. Согласно формуле 6.9 запишем:

Пример 4. Найдите производную функции

Решение. 1. Прологарифмируем обе части уравнения:
,
.



3. Выразим явно





2. Различайте записи:


3. Различайте производные:
1) степенной функции

2) показательной функции

3. Различайте: 1)

2) ;
3) .