Справочный материал Примеры Обратите внимание! Модели

Асимптотой  линии называют прямую, к которой неограниченно приближается данная линия, когда ее точка неограниченно удаляется от начала координат.

Виды асимптот:

1) вертикальные  – параллельные оси LaTeX formula: Oy;

2)  наклонные – пересекающие ось LaTeX formula: Oy;

3)  горизонтальные – параллельные оси LaTeX formula: Ox.

Например, график функции LaTeX formula: y=arctg x  имеет две горизонтальные асимптоты LaTeX formula: y=\pm 0,5\pi  (рис. 5.11) , а график функции LaTeX formula: y=\frac{x^{2}+1}{x}  – вертикальную асимптоту LaTeX formula: x=0  и наклонную асимптоту LaTeX formula: y=x  (рис. 5.12).

1.  Уравнение вертикальной асимптоты графика функции LaTeX formula: y=f(x) имеет вид LaTeX formula: x=a , при условии, что выполняется хотя бы одно из условий:LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow a-0}f(x)=\infty  , LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow a+0}f(x)=\infty  .

2.  Уравнение наклонной асимптоты   графика функции LaTeX formula: y=f(x)  имеет вид LaTeX formula: y=kx+b , где 

LaTeX formula: k=\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{f(x)}{x}, (5.28)

LaTeX formula: b=\lim_{x\rightarrow \infty }(f(x)-kx)  . (5.29)





Пример 1. Найдите асимптоты функции LaTeX formula: f(x)=\frac{x^{2}+2}{x}.

Решение . 1. Найдем область определения функции:

LaTeX formula: D(f)=R/x\neq 0.

2. Найдем вертикальную асимптоту графика функции. Так как точка LaTeX formula: 0 является точкой разрыва функции, то прямая LaTeX formula: x=0является вертикальной асимптотой ее графика. Действительно 

LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow 0}\frac{x^{2}+2}{x}=\infty.

3. Уравнение наклонной асимптоты графика функции будем искать в виде  LaTeX formula: y=kx+b. По формулам 5.28 и 5.29 найдем LaTeX formula: k и LaTeX formula: b

LaTeX formula: k=\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{x^{2}+2}{x^{2}}=\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{1+\frac{2}{x^{2}}}{1}=\frac{1+0}{1}=1;

LaTeX formula: b=\lim_{x\rightarrow \infty }\left ( \frac{x^{2}-2}{x}-x \right )=\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{x^{2}+2-x^{2}}{x}=\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{2}{x}=0.

Наклонная асимптота:  LaTeX formula: y=x.

Ответ: LaTeX formula: x=0 , LaTeX formula: y=x .


     Если LaTeX formula: k=0 , то получим горизонтальную асимптоту  LaTeX formula: y=b .
formula