Справочный материал Примеры Обратите внимание! Модели

1. Раскрытие неопределенности вида LaTeX formula: \frac{0}{0}  .

Такая неопределенность может возникнуть при нахождении предела дробно-рациональных функций LaTeX formula: y=\frac{f(x)}{g(x)} при LaTeX formula: x\rightarrow a. Чтобы раскрыть эту неопределенность, необходимо сократить дробь на критический множительLaTeX formula: x-a  . Для этого, как правило, необходимо раскладывать числитель и знаменатель дроби на множители. 

Разложить многочлены на множители можно различными способами:

1) вынесением общего множителя за скобки;

2) способом группировки;

3) с помощью формул сокращенного умножения:

разности квадратов LaTeX formula: a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)  , (5.21)

квадрата суммы (разности) LaTeX formula: a^{2}\pm 2ab+b^{2}=(a\pm b)^{2}, (5.22)

суммы (разности) кубов LaTeX formula: a^{3}\pm b^{3}=(a\pm b)(a^{2}\mp ab+b^{2});  (5.23)

4) с помощью  формулы разложения квадратного трехчлена на множители: 

 LaTeX formula: ax^{2}+bx+c=a(x-x_{1})(x-x_{2}); (5.24)

3) с помощью деления многочленов уголком.

Если имеем  дробно-иррациональную функцию , то предварительно необходимо умножить числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное выражению, содержащему радикал.

2. Раскрытие неопределенности вида LaTeX formula: \frac{\infty }{\infty }  .

Такая неопределенность может возникнуть при нахождении предела  дробно-рациональных и дробно-иррациональных функций при LaTeX formula: x\rightarrow \infty  .

Чтобы раскрыть эту неопределенность необходимо числитель и знаменатель дроби разделить на высшую степень переменной знаменателя.

3. Замечательные пределы

Первый замечательный предел

LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1  или LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin kx}{kx}=1 (5.25)

Формулу 5.25 применяют при раскрытии неопределенностей вида  LaTeX formula: \frac{0}{0}.

Второй замечательный предел: LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow 0}\left ( 1+x \right )^{\frac{1}{x}}=e

  LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow 0}\left ( 1+x \right )^{\frac{1}{x}}=e (5.26) илиLaTeX formula: \lim_{x\rightarrow \infty }\left ( 1+\frac{1}{x} \right )^{x}=e  (5.27)

Формулы 5.26 и 5.27 применяют при раскрытии неопределенностей вида  LaTeX formula: 1^{\infty }

Пример 1 .Вычислите LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow 3}\frac{x^{2}-9}{x^{2}-4x+3}  .

Решение. Так как LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow 3}\frac{x^{2}-9}{x^{2}-4x+3}=\frac{9-9}{9-12+3}=\frac{0}{0} , то необходимо сократить дробь на критический множитель LaTeX formula: x-3  . Для этого разложим числитель и знаменатель дроби на множители.

1) Согласно формуле разности квадратов 5.21 запишем: 

LaTeX formula: x^{2}-9=(x-3)(x+3).

2) Найдем корни квадратного трехчлена, записанного в знаменателе дроби: LaTeX formula: D=16-12=4LaTeX formula: x_{1}=\frac{4-2}{2}=1 , LaTeX formula: x_{2}=\frac{4+2}{2}=3.

Согласно формуле 5.24 запишем:

LaTeX formula: x^{2}-4x+3=(x-1)(x-3).

Получим: LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow 3}\frac{(x-3)(x+3)}{(x-1)(x-3)}=\lim_{x\rightarrow 3}\frac{x+3}{x-1}=\frac{3+3}{3-1}=3  .

Ответ: LaTeX formula: 3.

Пример 2 . Вычислите LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow 1}\frac{1-\sqrt{x}}{x^{3}-1}  .

Решение. Так как LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow 1}\frac{1-\sqrt{x}}{x^{3}-1}=\frac{1-\sqrt{1}}{1-1}=\frac{0}{0}, то необходимо сократить дробь на критический множитель LaTeX formula: x-1  .

1. Умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное выражению, записанному в числителе дроби, и применим формулы разности квадратов 5.21 и разности кубов 5.23 : 

LaTeX formula: \lim _{x\rightarrow 1}\frac{(1-\sqrt{x})(1+\sqrt{x})}{(x^{3}-1)(1+\sqrt{x})}=\lim _{x\rightarrow 1}\frac{1-x}{(x-1)(x^{2}+x+1)(1+\sqrt{x})}= LaTeX formula: -\lim _{x\rightarrow 1}\frac{1}{(x^{2}+x+1)(1+\sqrt{x})}=-\frac{1}{6}.

Ответ: LaTeX formula: -\frac{1}{6}  .

Пример 3 . Вычислите LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow \infty }\frac{3x^{2}-7x}{x^{2}-2}  .

Решение. Так как имеем неопределенность вида LaTeX formula: \frac{\infty }{\infty }, то разделим числитель и знаменатель дроби на LaTeX formula: x^{2} . Получим:

LaTeX formula: \lim _{x\rightarrow \infty }\frac{\frac{3x^{2}}{x^{2}}+\frac{7x}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}-\frac{2}{x^{2}}}=\frac{\lim _{x\rightarrow \infty }3+\lim _{x\rightarrow \infty }\frac{7}{x}}{\lim _{x\rightarrow \infty }1-\lim _{x\rightarrow \infty }\frac{2}{x^{2}}}=\frac{3+0}{1-0}=3.

Ответ:  LaTeX formula: 3.

Пример 4 . Вычислите LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow 0 }\frac{\sin 5x}{x}  .

Решение.  Имеем неопределенность вида LaTeX formula: \frac{0}{0}  .

Умножим числитель и знаменатель дроби на число LaTeX formula: 5 и применим первый замечательный предел 5.25:LaTeX formula: \lim _{x\rightarrow 0}\frac{5\sin 5x}{5x}=5\lim _{x\rightarrow 0}\frac{\sin 5x}{5x}=5\cdot 1=5.

Ответ: LaTeX formula: 5.

Пример 5 . ВычислитеLaTeX formula: \lim_{x\rightarrow \infty }\left ( \frac{x+3}{x-2} \right )^{x}  .

Решение. Имеем неопределенность вида LaTeX formula: 1^{\infty }  . Чтобы воспользоваться формулой 5.27, выполним преобразования: 

LaTeX formula: \frac{x+3+2-2}{x-2}=\frac{(x-2)+5}{x-2}=\frac{x-2}{x-2}+\frac{5}{x-2}=1+\frac{5}{x-2}.

Запишем:LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow \infty }\left ( 1+\frac{5}{x-2} \right )^{x} . Умножим показатель степени на  LaTeX formula: \frac{5}{x-2}и на LaTeX formula: \frac{x-2}{5} . Получим:

LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow \infty }\left ( 1+\frac{5}{x-2} \right )^{x\cdot \frac{5}{x-2}\cdot \frac{x-2}{5}}=LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow \infty }\left ( \left ( 1+\frac{5}{x-2} \right ) ^{\frac{x-2}{5}}\right )^{\frac{5x}{x-2}}LaTeX formula: =e^{\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{5x}{x-2}}.

Вычислим предел: LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow \infty }\frac{5x}{x-2}=\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{\frac{5x}{x}}{\frac{x}{x}-\frac{2}{x}}=\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{5}{1-\frac{2}{x}}=\frac{5}{1-0}=5.

Ответ: LaTeX formula: e^{5}.

Чтобы найти предел функции непрерывной в точке LaTeX formula: a, необходимо найти значение этой функции в точке LaTeX formula: a (см. 5.20). 


formula