Справочный материал Примеры Обратите внимание! Модели
Функция  LaTeX formula: y=f(x) непрерывна в точке  LaTeX formula: a, если предел функции в точке равен значению функции в этой точке: 

LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow a}f(x)=f(a) . (5.20)

Например, функция LaTeX formula: f(x)=2x^{2}-3x непрерывна в точке LaTeX formula: x=1 и LaTeX formula: f(1)=2-3=-1, следовательно, LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow 1}(2x^{2}-3x)=-1  . 

Функция, непрерывная в каждой точке отрезка, непрерывна на этом отрезке.

Точка LaTeX formula: a является  точкой разрыва первого рода функции LaTeX formula: y=f(x), если в этой точке существуют левосторонний и правосторонний пределы функции, но они не равны: 

LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow a+0}f(x)\neq \lim_{x\rightarrow a-0}f(x).

Точка LaTeX formula: a является точкой разрыва второго рода функции LaTeX formula: y=f(x) , если хотя бы один из пределов LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow a+0}f(x) или LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow a-0}f(x) равен бесконечности или не существует. 


Пример 1.  На рисунке 5.8 изображен график функции, у которой LaTeX formula: a=2 – точка разрыва первого рода, так какLaTeX formula: \lim_{x\rightarrow 2-0}f(x)=2 , а LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow 2+0}f(x)=4  .

На рисунке 5.9 LaTeX formula: a=0 – точка разрыва второго рода функции LaTeX formula: y=\frac{2}{x}  , так как  LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow 0-0}\frac{2}{x}=-\infty, LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow 0+0}\frac{2}{x}=+\infty.





Если функция в точке LaTeX formula: a не определена, но LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow a+0}f(x)=\lim_{x\rightarrow a-0}f(x), то LaTeX formula: a – точка устранимого разрыва. Например, LaTeX formula: a=2 – точка устранимого разрыва функции LaTeX formula: y=\frac{x^{2}-4}{x-2} , так как LaTeX formula: \lim _{x\rightarrow 2-0}\frac{x^{2}-4}{x-2}=\lim _{x\rightarrow 2+0}\frac{x^{2}-4}{x-2}=4 (рис. 5.10).

formula