Справочный материал Примеры Обратите внимание! Модели
Числовой последовательностью называют выражение вида

LaTeX formula: a_{n}=f(n), где LaTeX formula: n\in N  . (5.1)

Подставляя в формулу LaTeX formula: a_{n}=f(n)  вместо LaTeX formula: n натуральные числа, получать последовательные члены данной последовательности 

LaTeX formula: \left \{ a_{n} \right \}=\left \{ a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n-1},a_{n},a_{n+1},... \right \}. (5.2)

При этом число LaTeX formula: a_{1} называют первым членом последовательности, LaTeX formula: a_{2} – вторым, LaTeX formula: a_{3} – третьим, LaTeX formula: a_{n} – LaTeX formula: n-ым ее членом и т. д., а число LaTeX formula: n – номером члена последовательности.

Способы задания числовой последовательности

1. Способ задания последовательности с помощью формулы, называют  аналитическим .

2. Если члены последовательности расположены в порядке возрастания их номера в таблице, то имеем  табличный способ задания последовательности.

Например:

3. Если задан первый член последовательности LaTeX formula: a_{1}  и указана формула, позволяющая по номеру LaTeX formula: n и предыдущему члену LaTeX formula: a_{n} найти следующий LaTeX formula: a_{n+1} ее член, то такой способ задания последовательности называют  рекуррентным .

Если для любого LaTeX formula: n\in N  выполняется условие:

а)  LaTeX formula: a_{n}< a_{n+1}, то последовательность возрастающая ;

б) если LaTeX formula: a_{n}> a_{n+1} , то последовательность убывающая ;

в) если LaTeX formula: a_{n}\leq a_{n+1} , то последовательность не убывающая ;

г) если  LaTeX formula: a_{n}\geq a_{n+1}, то последовательность не возрастающая .

Возрастающие, убывающие, невозрастающие и неубывающие последовательности являются  монотонными .

Например: 1) монотонная последовательность LaTeX formula: \left \{ a_{n} \right \}=\left \{ 1;10;100;1000;... \right \} возрастает; 2) монотонная последовательность LaTeX formula: \left \{ b_{n} \right \}=\left \{ 1;0,5;0,25;... \right \}  убывает; 3) монотонная последовательность LaTeX formula: 3; 4; 4; 5; 6; 6; 7; 8; 8;... не убывает.

Числовая последовательность может иметь как  бесконечное число членов, так и конечное  их число.

Например: 1) множество четных натуральных чисел бесконечно: LaTeX formula: 2; 4; 6; 8; 10;...

2) множество четных натуральных двузначных чисел конечно: LaTeX formula: 10; LaTeX formula: 12; LaTeX formula: 14; ...; LaTeX formula: 96; LaTeX formula: 98.



Пример 1. Запишем четыре первых члена числовой последовательности, которая задана формулойLaTeX formula: f(n)=\frac{2n}{n+2}  . 
Подставляя в формулу вместо LaTeX formula: n натуральные числа LaTeX formula: 1,2,3 и  LaTeX formula: 4,  получим: LaTeX formula: a_{1}=\frac{2}{3} ; LaTeX formula: a_{2}=\frac{4}{4}=1 ; LaTeX formula: a_{3}=\frac{6}{5}LaTeX formula: a_{4}=\frac{8}{6} и т.д. 
Пример 2.  Запишем четыре первых члена числовой последовательности, у которой LaTeX formula: b_{1}=-1 , а  LaTeX formula: b_{n+1}=b_{n}(n+2) :
LaTeX formula: b_{2}=b_{1}(2+1)=-1\cdot 3=-3LaTeX formula: b_{3}=b_{2}\cdot 5=-15 , LaTeX formula: b_{4}=-15\cdot 6=-90 и т. д.



Арифметическая и геометрическая прогрессии – числовые последовательности.
formula