Справочный материал Примеры Обратите внимание! Модели
Взаимное расположение плоскостей
Рассмотрим две плоскости LaTeX formula: A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0 и LaTeX formula: A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0 с нормальными векторами LaTeX formula: n_1 и LaTeX formula: n_2 .
1. Плоскости параллельны, если 
LaTeX formula: \frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}\neq \frac{D_1}{D_2} . (4.36)
Например, плоскости LaTeX formula: 2x+6y-3z=7 и LaTeX formula: x+3y-1,5z=8 параллельны.
2. Плоскости перпендикулярны, если 
LaTeX formula: \overline{n_1}\cdot \overline{n_2}=0 . (4.37)
3. Угол LaTeX formula: \alpha между плоскостями находят по формуле: 
LaTeX formula: \cos \alpha=\frac{\overline{n_1}\cdot \overline{n_2}}{\left | \overline{n_1} \right |\cdot \left | \overline{n_2} \right |} . (4.38)
Взаимное расположение прямых 
Рассмотрим две прямые, записанные в каноническом виде 
LaTeX formula: \frac{x-x_1}{m_1}=\frac{y-y_1}{n_1}=\frac{z-z_1}{p_1} и LaTeX formula: \frac{x-x_2}{m_2}=\frac{y-y_2}{n_2}=\frac{z-z_2}{p_2} ,
где LaTeX formula: M_1(x_1;y_1;z_1) и LaTeX formula: M_2(x_2;y_2;z_2) – точки, принадлежащие этим прямым, а LaTeX formula: \overline{l_1}(m_1;n_1;p_1) и LaTeX formula: \overline{l_2}(m_2;n_2;p_2) – направляющие векторы этих прямых.
1. Прямые параллельны, если параллельны их направляющие векторы: 
LaTeX formula: \frac{m_1}{m_2}=\frac{n_1}{n_2}=\frac{p_1}{p_2} . (4.39)
Например, прямые LaTeX formula: \frac{x}{3}=\frac{y-1}{4}=\frac{z+1}{5} и LaTeX formula: \frac{x}{6}=\frac{y}{8}=\frac{z-4}{10} параллельны.
2. Прямые перпендикулярны, если перпендикулярны их направляющие векторы: 
LaTeX formula: m_1m_2+n_1n_2+p_1p_2=0 . (4.40)
Например, прямые LaTeX formula: \frac{x}{3}=\frac{y-1}{4}=\frac{z+1}{-2} и LaTeX formula: \frac{x}{6}=\frac{y}{-2}=\frac{z-1}{5} перпендикулярны.
3. УголLaTeX formula: \alphaмежду прямыми находят по формуле: 
LaTeX formula: \cos \alpha=\frac{\overline{l_1}\cdot \overline{l_2}}{\left | \overline{l_1} \right |\cdot \left | \overline{l_2} \right |} . (4.41)
4. Прямые скрещиваются, если они лежат в разных плоскостях, то есть векторы LaTeX formula: \overline{l_1} , LaTeX formula: \overline{l_2} и LaTeX formula: \overline{r}(x_2-x_1;y_2-y_1;z_2-z_1) не компланарны:
LaTeX formula: \begin{vmatrix} m_1 & n_1 & p_1\\ m_2 & n_2 & p_2\\ x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \end{vmatrix} \neq 0 . (4.42)
Взаимное расположение прямой и плоскости 
Рассмотрим прямую LaTeX formula: \frac{x-x_0}{l}=\frac{y-y_0}{m}=\frac{z-z_0}{n} и плоскость LaTeX formula: Ax+By+Cz+D=0 . 
1. Прямая параллельна плоскости, если 
LaTeX formula: Al+Bm+Cn=0 . (4.43)
Например, прямая LaTeX formula: \frac{x}{3}=\frac{y-1}{4}=\frac{z+1}{5} параллельна плоскости LaTeX formula: x-2y+z+10=0 .
2. Прямая перпендикулярна плоскости, если 
LaTeX formula: \frac{A}{l}=\frac{B}{m}=\frac{C}{n} . (4.44)
Например, прямая LaTeX formula: \frac{x}{3}=\frac{y-1}{4}=\frac{z+1}{5} перпендикулярна плоскости LaTeX formula: 9x+12y+15z+10=0 .
3. УголLaTeX formula: \alphaмежду прямой и плоскостью находят по формуле:
LaTeX formula: \sin \alpha =\frac{Al+Bm+Cn}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}\cdot \sqrt{l^2+m^2+n^2}} . (4.45)
Расстояние от точки LaTeX formula: M(x_0;y_0;z_0) до плоскости LaTeX formula: Ax+By+Cz+D=0 с нормальным вектором LaTeX formula: \overline{n}(A;B;C) находят по формуле: 
LaTeX formula: d=\frac{\left | Ax_0+By_0+Cz_0+D \right |}{\left | \overline{n} \right |} . (4.46)

Пример 1. Найдите угол между прямыми LaTeX formula: \frac{x}{2}=\frac{y-5}{5}=z+3 и LaTeX formula: 2-x=\frac{y-5}{2}=\frac{z+3}{5} .
Решение. 1. Запишем направляющие векторы данных прямых 4.33
LaTeX formula: \overline{l_1}(2;5;1) и LaTeX formula: \overline{l_2}(-1;2;5) .
2. Найдем скалярное произведение направляющих векторов прямых: LaTeX formula: \overline{l_1}\cdot \overline{l_2}=-2+10+5=13 . 
3. Найдем длины направляющих векторов прямых: LaTeX formula: \left | \overline{l_1} \right |=\sqrt{4+25+1}=\sqrt{30} , LaTeX formula: \left | \overline{l_2} \right |=\sqrt{1+4+25}=\sqrt{30} .
4 . Согласно формуле 4.41 получим: LaTeX formula: \cos \alpha =\frac{13}{30} , LaTeX formula: \alpha=arccos \frac{13}{30} .
Ответ: LaTeX formula: \alpha=arccos \frac{13}{30} . 
Пример 2. Найдите произведение значенийLaTeX formula: kиLaTeX formula: p, при которых прямая LaTeX formula: \frac{x-2}{p}=\frac{y-5}{-2}=\frac{z}{k} перпендикулярна плоскости LaTeX formula: 3x+2y-z=0 .
Решение. Согласно условию задачи запишем: 
LaTeX formula: A=3 , LaTeX formula: B=2 , LaTeX formula: C=-1 , LaTeX formula: l=p , LaTeX formula: m=-2 , LaTeX formula: n=k .
Подставляя эти значения в формулу 4.44, получим: LaTeX formula: \frac{3}{p}=\frac{2}{-2}=\frac{-1}{k}  .
Тогда LaTeX formula: \frac{3}{p}=-1 и LaTeX formula: \frac{-1}{k}=-1 , откуда LaTeX formula: p=-3 , LaTeX formula: k=1 , а LaTeX formula: pk=-3 .
Ответ: LaTeX formula: -3
Пример 3. Найдите расстояние между плоскостями LaTeX formula: 3x-2y+4z+1=0 и LaTeX formula: 1,5x-y+2z-3=0 .
Решение. 1. Запишем нормальные векторы данных плоскостей: LaTeX formula: \overline{n_1}(3;-2;4) , LaTeX formula: \overline{n_2}=(1,5;-1;2) . Плоскости параллельны, так как выполняется условие 4.36LaTeX formula: \frac{3}{1,5}=\frac{-2}{-1}=\frac{4}{2}\neq \frac{1}{-3} .
2. Найдем любую точку, принадлежащую плоскости LaTeX formula: 3x-2y+4z+1=0 . Например, полагая LaTeX formula: y=-1 , а LaTeX formula: z=0 , получим LaTeX formula: x=-1 . 
3. Найдем расстояние от точки LaTeX formula: M(-1;-1;0) до плоскости LaTeX formula: 1,5x-y+2z-3=0 . Согласно формуле 4.46 запишем: 
LaTeX formula: d=\frac{\left | 1,5\cdot -1-1\cdot(-1)+2\cdot 0-3) \right |}{\sqrt{2,25+1+4}}=\frac{\left | -3,5 \right |}{0,5\sqrt{29}}=\frac{7}{\sqrt{29}} .
Ответ: LaTeX formula: \frac{7}{\sqrt{29}} .

1. Скалярное произведение векторов LaTeX formula: \bar{a}=(a_1; a_2; a_3) и LaTeX formula: \bar{b}=(b_1; b_2; b_3) находят по формуле: LaTeX formula: \bar{a} \cdot \bar{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.
2. Длину вектора LaTeX formula: \bar{a}=(a_1; a_2; a_3) находят по формуле: LaTeX formula: \left | \bar{a} \right |=\sqrt{{a_1}^2+{a_2}^2+{a_3}^2}.

formula