Справочный материал Примеры Обратите внимание! Модели
1. Общее уравнение плоскости имеет вид: 
LaTeX formula: Ax+By+Cz+D=0 , (4.27) 
где LaTeX formula: \overline{n}(A;B;C) – нормальный вектор этой плоскости.
Например, LaTeX formula: \overline{n}(2;-3;6) – нормальный вектор плоскости LaTeX formula: 2x-3y+6z=5 .
2. Если известна точка LaTeX formula: M(x_0;y_0;z_0) , принадлежащая плоскости, и нормальный вектор этой плоскости LaTeX formula: \overline{n}(A;B;C) , то уравнение плоскости задают в виде:
LaTeX formula: A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0 . (4.28)
3. Если известны три точки LaTeX formula: M_1(x_1;y_1;z_1) , LaTeX formula: M_2(x_2;y_2;z_2) и LaTeX formula: M_3(x_3;y_3;z_3) , принадлежащие плоскости, то уравнение этой плоскости можно найти по формуле: 
LaTeX formula: \begin{vmatrix} x-x_1 & y-y_1 & z-z_1\\ x_2-x_1 &y_2-y_1 & z_2-z_1\\ x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3-z_1 \end{vmatrix}=0 . (4.29)
4. Если известно, что вектор LaTeX formula: \overline{l}(m;n;p) параллелен плоскости, проходящей через точки LaTeX formula: M_1(x_1;y_1;z_1) и LaTeX formula: M_2(x_2;y_2;z_2) , то уравнение этой плоскости можно найти по формуле:
LaTeX formula: \begin{vmatrix} x-x_1 & y-y_1 & z-z_1\\ x_2-x_1 &y_2-y_1 & z_2-z_1\\ m & n & p \end{vmatrix}=0 . (4.30)
5. Уравнение плоскости в отрезках имеет вид: 
LaTeX formula: \frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1 , (4.31)
где LaTeX formula: a , LaTeX formula: b и LaTeX formula: c – алгебраические величины отрезков, которые отсекает плоскость на осях координат ( LaTeX formula: a на оси LaTeX formula: O_x , LaTeX formula: b на LaTeX formula: O_y и LaTeX formula: c на LaTeX formula: O_z ).

Пример 1. Найдите уравнение плоскости, проходящей через точку LaTeX formula: M(-2;1;-6) параллельно плоскости LaTeX formula: 3x+y-2z-1=0.
Решение. Так как искомая плоскость параллельна плоскости LaTeX formula: 3x+y-2z-1=0 , то нормальный вектор этой плоскости LaTeX formula: \overline{n}(3;1;-2) является нормалью и искомой плоскости.
Согласно формуле 4.28 запишем уравнение искомой плоскости: 
LaTeX formula: 3(x+2)+(y-1)-2(z+6)=0 , LaTeX formula: 3x+6+y-1-2z-12=0 , LaTeX formula: 3x+y-2z-7=0 .
Ответ: LaTeX formula: 3x+y-2z-7=0 .  
Пример 2. Найдите  уравнение плоскости, проходящей через точки LaTeX formula: A(-2;0;1) , LaTeX formula: B(0;-3;-1) и LaTeX formula: C(-2;-5;0) .
Решение. Согласно формуле 4.29 получим:
LaTeX formula: \begin{vmatrix} x+2 & y-0 & z-1\\ 0+2 &-3-0 & -1-1\\ -2+2 & -5-0 & 0-1 \end{vmatrix}=0,LaTeX formula: \begin{vmatrix} x+2 & y & z-1\\ 2 &-3 & -2\\ 0 & -5 & -1 \end{vmatrix}=0 ,
LaTeX formula: 3(x+2)+0-10(z-1)-0-10(x+2)+2y=0 , LaTeX formula: 3x+6-10z+10-10x-20+2y=0LaTeX formula: -7x+2y-10z-4=0 .
Ответ: LaTeX formula: 7x-2y+10z+4=0 .  
Пример 3. Запишите уравнение плоскости, проходящей через точки LaTeX formula: A(2;0;-1) и LaTeX formula: B(0;3;-1) перпендикулярно плоскости LaTeX formula: x+2y+4=0 .
Решение. Так как искомая плоскость перпендикулярна плоскости LaTeX formula: x+2y+4=0 , то нормальный вектор этой плоскости LaTeX formula: \overline{n}(1;2;0) является направляющим вектором LaTeX formula: \overline{l}(1;2;0) искомой плоскости. Согласно формуле 4.30 получим:
LaTeX formula: \begin{vmatrix} x-2 & y-0 & z+1\\ 0-2 &3-0 & -1+1\\ 1 & 2 & 0 \end{vmatrix}=0,LaTeX formula: \begin{vmatrix} x-2 & y-0 & z+1\\ -2 &3 & 0\\ 1 & 2 & 0 \end{vmatrix}=0 ,
откудаLaTeX formula: 0+0-4(z+1)-3(z+1)-0-0=0,LaTeX formula: 7(z+1)=0,LaTeX formula: z=-1 .
Ответ: LaTeX formula: z=-1 .  

Если LaTeX formula: D=0 , то плоскость LaTeX formula: Ax+By+Cz=0 проходит через начало координат. 
Если LaTeX formula: C=0 , то плоскость LaTeX formula: Ax+By+D=0 параллельна оси LaTeX formula: Oz . 
Если LaTeX formula: C=0 и LaTeX formula: D=0 , то плоскость LaTeX formula: Ax+By=0 проходит через ось LaTeX formula: Oz . 
Если LaTeX formula: C=0 и, LaTeX formula: B=0  то плоскость LaTeX formula: Ax+D=0 параллельна плоскости LaTeX formula: Oyz . 
Если LaTeX formula: C=0 , LaTeX formula: B=0 и LaTeX formula: D=0 , то плоскость LaTeX formula: x=0 – координатная плоскость LaTeX formula: Oyz .

formula