Справочный материал Примеры Обратите внимание! Модели
1. Общее уравнение прямой на плоскости имеет вид: 
LaTeX formula: Ax+By+C=0 , (4.1)
где LaTeX formula: A^2+B^2\neq0 , а LaTeX formula: \overline{n}(A;B) – нормальный вектор этой прямой.
Если известна точка LaTeX formula: M(x_0;y_0) , принадлежащая прямой, и нормальный вектор прямой LaTeX formula: \overline{n}(A;B) , то уравнение этой прямой можно найти по формуле: 
LaTeX formula: A(x-x_0)+B(y-y_0)=0 . (4.2)
2. Уравнение прямой с угловым коэффициентомLaTeX formula: kимеет вид:
LaTeX formula: y=kx+b . (4.3)
Угловой коэффициент LaTeX formula: k прямой LaTeX formula: y=kx+b находят по формуле LaTeX formula: k=tg\alpha , где LaTeX formula: \alpha – угол наклона прямой к положительному направлению оси LaTeX formula: Ox . При этом:
1) если LaTeX formula: k> 0 , то функция монотонно возрастает; 
2) если LaTeX formula: k< 0 , то функция монотонно убывает;
3) если LaTeX formula: k= 0 , то функция примет вид LaTeX formula: y=b (семейство прямых, параллельных оси LaTeX formula: Ox ); 
4) если LaTeX formula: b=0 , то функция примет вид LaTeX formula: y=kx . Такую функциональную зависимость называют прямой пропорциональностью
Если известна точка LaTeX formula: M(x_0;y_0) , принадлежащая прямой, и угловой коэффициент LaTeX formula: k прямой, то уравнение этой прямой можно найти по формуле: 
LaTeX formula: y=y_0+k(x-x_0) . (4.4)
3. Каноническое уравнение прямой имеет вид: 
LaTeX formula: \frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_o}{n} , (4.5)
где LaTeX formula: M(x_0;y_0) – точка, принадлежащая этой прямой, а LaTeX formula: \overline{l}(m,n) – направляющий вектор прямой. 
Если известны координаты точек LaTeX formula: A(x_1;y_1) и LaTeX formula: B(x_2;y_2) , принадлежащих прямой, то уравнение этой прямой можно найти по формуле: 
LaTeX formula: \frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1} . (4.6)
4. Уравнение прямой в отрезках имеет вид: 
LaTeX formula: \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1 , (4.7)
где LaTeX formula: a и LaTeX formula: b – алгебраические величины отрезков, которые отсекает прямая на осях координат ( LaTeX formula: a на оси LaTeX formula: Ox и LaTeX formula: b на оси LaTeX formula: O_y ).
Например, если LaTeX formula: a=-7 , а LaTeX formula: b=17 , то LaTeX formula: \frac{x}{-7}+\frac{y}{17}=1 .
5. Чтобы записать параметрические уравнения прямой, можно воспользоваться равенством 4.5 или 4.6. Например, полагаяLaTeX formula: \frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=t , получим:
LaTeX formula: x=(x_2-x_1)t+x_1 (4.8.1) , LaTeX formula: y=(y_2-y_1)t+y_1 . (4.8.2)
Взаимное расположение прямых
Рассмотрим прямые LaTeX formula: y=k_1x+b_1 и LaTeX formula: y=k_2x+b_2 .
1. Прямые пересекаются, если 
LaTeX formula: k_1\neq k_2 . (4.9)
Например, прямые LaTeX formula: y=-2x+4 и LaTeX formula: y=5x-1 пересекаются, так как LaTeX formula: k_1=-2 , а LaTeX formula: k_2=5 и LaTeX formula: k_1\neq k_2 .  
Угол между прямыми находят по формуле:
LaTeX formula: tg\alpha=\left | \frac{k_2-k_1}{1+k_2k_1} \right | . (4.10)
2. Прямые перпендикулярны, если выполняется условие:
LaTeX formula: k_1k_2=-1 . (4.11)
Например, прямые LaTeX formula: y=-2x+4 и LaTeX formula: y=0,5x-1 перпендикулярны, так как LaTeX formula: k_1=-2 , а LaTeX formula: k_2=0,5 и LaTeX formula: -2 \cdot 0,5=-1 .  
3. Прямые параллельны, если 
LaTeX formula: k_1=k_2 и LaTeX formula: b_1\neq b_2 . (4.12)
Например, прямые LaTeX formula: y=5x-1 и LaTeX formula: y=5x+1 параллельны, так как LaTeX formula: k_1=k_2=5 и LaTeX formula: b_1\neq b_2 .  
4. Прямые совпадают, если:
LaTeX formula: k_1=k_2 и LaTeX formula: b_1=b_2 . (4.13)
Например, прямые LaTeX formula: 4x-8y=32 и LaTeX formula: y=0,5x-4 совпадают.
Расстояние от точки LaTeX formula: M(x_0;y_0) до прямой LaTeX formula: Ax+By+C=0 находят по формуле:
LaTeX formula: d=\frac{\left | Ax_0+By_0+C \right |}{\sqrt{A^2+B^2}} . (4. 14) 

Пример 1. Запишите в общем виде уравнение прямой, если известно, что ей принадлежат точки LaTeX formula: A(2;-4) и LaTeX formula: B(-5;3) .
Решение. Уравнение данной прямой найдем по формуле 4.6:
LaTeX formula: \frac{x-2}{-5-2}=\frac{y+4}{3+4} , LaTeX formula: \frac{x-2}{-7}=\frac{y+4}{7} , LaTeX formula: x-2=-y-4 , LaTeX formula: x+y+2=0 .
Ответ: LaTeX formula: x+y+2=0 .
Пример 2. Запишите уравнение прямой, если известно, что эта прямая проходит через точку LaTeX formula: K(4;-3) и параллельна прямой LaTeX formula: 6x-3y+4=0 .
Решение. Запишем уравнение данной прямой в виде 4.3
LaTeX formula: 3y=6x+4,LaTeX formula: y=2x+\frac{4}{3} .
Так как искомая прямая LaTeX formula: y=kx+b параллельна данной прямой, то выполняется равенство 4.12, следовательно, LaTeX formula: k=2 .
Согласно формуле 4.4 запишем: LaTeX formula: y=-3+2(x-4) . 
Ответ: LaTeX formula: y=2x-11 .
Пример 3. Запишите параметрические уравнения прямой, которая проходит через точку LaTeX formula: K(4;-3) перпендикулярно прямой LaTeX formula: 2x-5y+1=0 . 
Решение. 1. Так как искомая прямая перпендикулярна прямой LaTeX formula: 2x-5y+1=0 , то нормальный вектор прямой 4.1 имеет вид: LaTeX formula: \overline{n}(2;-5). Этот вектор будет направляющим вектором искомой прямой: LaTeX formula: \overline{l}(2;-5) . 
2. Согласно формуле 4.5 запишем уравнение искомой прямой: 
LaTeX formula: \frac{x-4}{2}=\frac{y+3}{-5} .
3. Найдем параметрические уравнения 4.8.1 и 4.8.2 этой прямой. Полагая LaTeX formula: \frac{x-4}{2}=\frac{y+3}{-5}=t , получим LaTeX formula: \frac{x-4}{2}=t и LaTeX formula: \frac{y+3}{-5}=t . 
Ответ: LaTeX formula: x=2t+4 , а LaTeX formula: y=-5t-3 . 
Пример 4. Найдите расстояние от точки LaTeX formula: M(1;-2) до прямой LaTeX formula: 2x-y-5=0 .
Решение. Согласно формуле 4.14 получим: LaTeX formula: d=\frac{\left | 2+2-5 \right |}{\sqrt{4+1}}=\frac{1}{\sqrt{5}} .
Ответ:LaTeX formula: 0,2 \sqrt5.

Координаты направляющего вектора прямой 4.5 определяются с точностью до постоянного множителя LaTeX formula: c\neq 0 : LaTeX formula: \overline{l}(cm,cn) . Например, LaTeX formula: \overline{l_1}(3;-4) и LaTeX formula: \overline{l_2}(-3;4) , а также LaTeX formula: \overline{l_3}(6;-8) – направляющие векторы прямой LaTeX formula: \frac{x-5}{3}=\frac{y}{-4} . 
formula