Справочный материал Примеры Обратите внимание! Модели
Составим линейную комбинацию LaTeX formula: n-мерных векторов  LaTeX formula: \overline{a}_{1},\overline{a}_{2},...,\overline{a}_{m}:
LaTeX formula: \alpha _{1}\overline{a}_{1}+\alpha _{2}\overline{a}_{2}+...+\alpha _{m}\overline{a}_{m}=\overline{b}.
ЕслиLaTeX formula: \overline{b}=\overline{0}  и LaTeX formula: \sum_{i=1}^{m}a_{i}^{2}\neq 0 , то векторы линейно зависимы и не образуют базис.  Если  LaTeX formula: \overline{b}\neq \overline{0} и LaTeX formula: \sum_{i=1}^{m}\alpha _{i}^{2}\neq 0 , то векторы линейно независимы и образуют базис. 
Рассмотрим трехмерное линейное векторное пространство. 
Если векторы  LaTeX formula: \bar{a}(\alpha _{1};\alpha _{2};\alpha _{3}),\bar{b}(b_{1};b_{2};a_{3})и LaTeX formula: \bar{c}(c_{1};c_{2};c_{3})  образуют базис, то определитель, составленный из координат этих векторов, не равен нулю:
 LaTeX formula: \begin{vmatrix} a_{1} & b_{1} &c_{1} \\ a_{2} & b_{2}& c_{2}\\ a_{3} & b_{3}& c_{3} \end{vmatrix}\neq 0. (3.20)
Любой вектор  LaTeX formula: \bar{d}(d_{1};d_{2};d_{3}) можно разложить по этому базису:
LaTeX formula: \bar{d}=a_{1}\bar{a}+a_{2}\bar{b}+a_{3}\bar{c}, (3.21)
где LaTeX formula: \alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3}  – коэффициенты разложения и LaTeX formula: \alpha_{1}^2+\alpha_{2}^2+\alpha_{3}^2\neq 0.
Коэффициенты разложения находят, решая систему уравнений:
LaTeX formula: \left\{\begin{matrix} a_{1} \alpha _{1} +& b_{1}\alpha _{2} &+c_{1}\alpha _{3} = d_{1} , \\ a_{2}\alpha _{1}+ & b_{2}\alpha _{2} & +c_{2}\alpha _{3} =d_{2},\\ a_{3} \alpha _{1} +& b_{3}\alpha _{2} & +c_{3}\alpha _{3} =d_{3}. \end{matrix}\right. (3.22)
Пример 1. Если векторы  LaTeX formula: \bar{a}(0;-3;5),\bar{b}(0;0;1)  и  LaTeX formula: \bar{c}(-1;5;1) образуют базис, то разложите вектор LaTeX formula: \bar{b}(0;0;1) по этому базису .
Решение. 1. Убедимся в том, что векторы LaTeX formula: \bar{a},\bar{b} и LaTeX formula: \bar{c} образуют базис. Составим определитель 3.20 из координат этих векторов (по столбцам) и найдем его значение:  LaTeX formula: \Delta =\begin{vmatrix} 0& 0 &-1 \\ -3 & 0 & 5\\ 5 & 1 & 1 \end{vmatrix}=3\neq 0.
2. Решим систему уравнений 3.22:
 LaTeX formula: \left\{\begin{array}{lcl} -a_{3} =2,\\ -3a_{1}+5a_{3}=-1, & \\ 5a_{1} +a_{2}+a_{3}=4; \end{array} \right. \left\{\begin{array}{lcl} a_{3} =-2,\\ a_{1}=-3, & \\ 5a_{1} +a_{2}=6; \end{array} \right. \left\{\begin{array}{lcl} a_{3} =-2,\\ a_{1}=-3, & \\ a_{2}=21. \end{array} \right.
Ответ:   LaTeX formula: \bar{d} = -3\bar{a}+21\bar{b}-2\bar{c}.
Определитель основной матрицы системы 3.22 составляется из координат векторов по столбцам.
formula