Справочный материал Примеры Обратите внимание! Модели
Линейные действия над векторами
К линейным действиям с векторами относят сложение векторов, вычитание векторов и умножение вектора на число.
Сложение векторов с заданными координатами
Чтобы сложить (вычесть) векторы LaTeX formula: \bar{a}(a_{1};a_{2};a_{3})  и  LaTeX formula: \bar{b}(b_{1};b_{2};b_{3}),необходимо сложить (вычесть) их соответствующие координаты:
LaTeX formula: \bar{a}(a_{1};a_{2};a_{3}) + \bar{b}(b_{1};b_{2};b_{3})= (a_{1}+b_{1};a_{2}+b_{2};a_{3}+b_{3}). (3.8)
Умножение вектора на число
Чтобы умножить вектор LaTeX formula: \bar{a}(a_{1};a_{2};a_{3})  на число LaTeX formula: k, необходимо каждую координату вектора LaTeX formula: \bar{a}  умножить на это число:
LaTeX formula: \bar{k}\cdot (a_{1};a_{2};a_{3})=(ka_{1};ka_{2};ka_{3}). (3.9)
Сочетая действия сложения и вычитания векторов, а также умножение вектора на число, получим линейную комбинацию векторов. 
Аналогично выполняются линейные действия над LaTeX formula: n-мерными векторами. 
Скалярное произведение векторов
Скалярным произведением векторов LaTeX formula: \bar{a}  и  LaTeX formula: \bar{b} называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:
 LaTeX formula: \bar{a}\cdot \bar{b}=\left |\bar{a} \right |\cdot \left |\bar{b} \right |\cdot cos \alpha . (3.10)
Угол между векторами  LaTeX formula: \bar{a}  и  LaTeX formula: \bar{b}   находят по формуле:
LaTeX formula: cos \alpha = \frac{\bar{a}\cdot \bar{b}}{\left |\bar{a} \right |\cdot \left |\bar{b} \right |}(3.11)
Векторы  LaTeX formula: \bar{a}  и  LaTeX formula: \bar{b}   перпендикулярны, если угол между ними равен LaTeX formula: 90^{\circ} . Поскольку  LaTeX formula: cos 90^{\circ} =0, то скалярное произведение перпендикулярных векторов равно нулю.  
Проекцией вектора LaTeX formula: \bar{a} на вектор  LaTeX formula: \bar{b}  называют длину отрезка, концами которого являются основания перпендикуляров, опущенных из начала и конца вектора LaTeX formula: \bar{a}  на вектор  LaTeX formula: \bar{b} 
Записывают: прLaTeX formula: _{\bar{b}}\bar{a}.  На рисунке 3.7  прLaTeX formula: _{\bar{b}}\bar{a}LaTeX formula: =AB . 
Проекцию вектора LaTeX formula: \bar{a} на вектор LaTeX formula: \bar{b} находят по формуле:  
прLaTeX formula: _{\bar{b}}\bar{a} LaTeX formula: =\left |\bar{a} \right |cos \alpha , (3.12) 
где LaTeX formula: \alpha – угол между векторами LaTeX formula: \bar{a} и LaTeX formula: \bar{b}.
Свойства скалярного произведения:
1) LaTeX formula: \bar{a} \cdot \bar{b} = \bar{b} \cdot \bar{a};
2) LaTeX formula: \alpha \bar{a}\cdot \bar{b}=\alpha (\bar{a}\cdot \bar{b}), где LaTeX formula: \alpha \in R;
3) LaTeX formula: \left (\bar{a}+\bar{b} \right )\cdot \bar{c}=\bar{a}\cdot \bar{c}+\bar{b}\cdot \bar{c};
4) LaTeX formula: \bar{a}^{2}=\left |\bar{a} \right |^{2} .
Скалярное произведение векторов LaTeX formula: \bar{a}(a_{1};a_{2};a_{3})  и  LaTeX formula: \bar{b}(b_{1};b_{2};b_{3}) можно найти и по формуле:
LaTeX formula: \bar{a}\cdot \bar{b}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}. (3.13)
Аналогично в LaTeX formula: n-мерном пространстве:
LaTeX formula: \bar{a}\cdot \bar{b}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+...+a_{n}b_{n}. (3.13.1)
Векторное произведение векторов
Векторным произведением векторов LaTeX formula: \bar{a}(a_{1};a_{2};a_{3}) и  LaTeX formula: \bar{b}(b_{1};b_{2};b_{3}) называют третий вектор LaTeX formula: \bar{d}, который перпендикулярен как вектору LaTeX formula: \bar{a} , так и вектору LaTeX formula: \bar{b}.
Векторное произведение векторов LaTeX formula: \bar{a}  и LaTeX formula: \bar{b}  находят по формуле: 
LaTeX formula: \bar{d}=\bar{a}\times \bar{b}=\begin{vmatrix} \bar{i} & \bar{j} & \bar{k}\\ a_{1} & a_{2} & a_{3}\\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{vmatrix}, (3.14)
где векторы  LaTeX formula: \bar{i} , \bar{j}  и LaTeX formula: \bar{k} – орты.
Площадь параллелограмма, построенного на векторах LaTeX formula: \bar{a} и LaTeX formula: \bar{b}, находят по формуле: 
LaTeX formula: S=\left |\bar{a}\times \bar{b} \right |. (3.15)
Площадь треугольника, построенного на этих же векторах, находят по формуле: 
LaTeX formula: S=\frac{1}{2}\left |\bar{a}\times \bar{b} \right |. (3.16)
Смешанное произведение векторов
Рассмотрим векторы LaTeX formula: \bar{a}(a_{1};a_{2};a_{3}) , LaTeX formula: \bar{b}(b_{1};b_{2};b_{3}) и LaTeX formula: \bar{c}(c_{1};c_{2};c_{3}). 
Смешанным произведением этих векторов называют число, которое получено в результате скалярного умножения вектора LaTeX formula: \bar{c}  на векторное произведение векторов  LaTeX formula: \bar{a} и  LaTeX formula: \bar{b}.
Смешанное произведение векторов LaTeX formula: \bar{a} и LaTeX formula: \bar{b}  и LaTeX formula: \bar{c}  находят по формуле: 
LaTeX formula: \left ( \bar{c}, \bar{a}\times \bar{b} \right )=\begin{vmatrix} {c}_{1} & {c}_{2} & {c}_{3}\\ {a}_{1} & {a}_{2} & {a}_{3}\\ {b}_{1}& {b}_{2} & {b}_{3} \end{vmatrix}. (3.17)
Объем параллелепипеда, построенного на векторах LaTeX formula: \bar{a} , LaTeX formula: \bar{b}   и  LaTeX formula: \bar{c}, находят по формуле: 
LaTeX formula: V= \left |\left ( \bar{c}, \bar{a}\times \bar{b} \right ) \right |. (3.18)
Объем пирамиды, построенной на векторах LaTeX formula: \bar{a} , LaTeX formula: \bar{b}   и  LaTeX formula: \bar{c}, находят по формуле: 
LaTeX formula: V= \frac{1}{6}\left |\left ( \bar{c}, \bar{a}\times \bar{b} \right ) \right |. (3.19)
Пример 1.  Найдите вектор LaTeX formula: \bar{c}=2\bar{a}-3\bar{b},если известно, что LaTeX formula: \bar{a}=(-3;4;-1)  и  LaTeX formula: \bar{b}=(-1;0;9). 
Решение. Согласно формулам 3.8 и 3.9 получим:  LaTeX formula: \bar{c}=2(-3;4;-1)-3(-1;0;9)=(-6;8;-2)+(3;0;-9)=LaTeX formula: (-3;8;-11).
Ответ:  LaTeX formula: \bar{c}=(-3;8;-11).
Пример 2. Найдите скалярное произведение векторов LaTeX formula: \bar{a}  и LaTeX formula: \bar{b} , если известно, что  LaTeX formula: \left | \bar{a} \right |=3LaTeX formula: \left | \bar{b} \right |=6  и  LaTeX formula: \alpha =45^{\circ}
Решение. Согласно формуле 3.10 получим: 
LaTeX formula: \bar{a}\cdot \bar{b}=3\cdot 6\cdot cos45^{\circ}=18\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=9\sqrt{2}.
Ответ: LaTeX formula: 9\sqrt{2}.
Пример 3. Найдите скалярное произведение векторов LaTeX formula: \bar{b}=(-2;3;0)  и  LaTeX formula: \bar{c}=(1;3;-5).
Решение. Согласно формуле 3.13 запишем: 
LaTeX formula: \bar{b}\cdot \bar{c}=-2\cdot 1+3\cdot 3+0\cdot (-5)=7.
Ответ: LaTeX formula: 7.
Пример 4. Найдите угол между векторами LaTeX formula: \bar{a}=(0;3) и LaTeX formula: \bar{b}=(-5;1).
Решение. Согласно формуле 3.11 получим:
LaTeX formula: cos \alpha =\frac{0\cdot (-5)+3\cdot 1 }{\sqrt{0^{2}+3^{2}}\cdot \sqrt{(-5)^{2}+1^{2}}}=\frac{3}{3\cdot \sqrt{26}}=\frac{1}{\sqrt{26}}LaTeX formula: .
Ответ: LaTeX formula: \alpha =arccos \frac{1}{\sqrt{26}} .
Пример 5. Найдите векторное произведение векторов  LaTeX formula: \bar{a}=(0;-3;2) и LaTeX formula: \bar{b}=(-1;1;2).
Решение. Согласно формуле 3.14 запишем: 
LaTeX formula: \bar{d}=\begin{vmatrix} \bar{i} & \bar{j} & \bar{k}\\ 0& -3 &2 \\ -1& 1 & 2 \end{vmatrix}=\bar{i}\begin{vmatrix} -3 & 2\\ 1 & 2 \end{vmatrix}-\bar{j}\begin{vmatrix} 0 & 2\\ -1 & 2 \end{vmatrix}+\bar{k}\begin{vmatrix} 0 & -3\\ -1 & 1 \end{vmatrix}=LaTeX formula: -8\bar{i}-2\bar{j}-3\bar{k}.
Ответ: LaTeX formula: \bar{d}(-8;-2;-3).
Пример 6. Найдите смешанное произведение векторов LaTeX formula: \bar{a}=(0;-3;5) , LaTeX formula: \bar{b}=(0;0;7) и LaTeX formula: \bar{c}=(-1;5;1) . 
Решение. Согласно формуле 3.17 запишем:
LaTeX formula: \left ( \bar{c}, \bar{a}\times \bar{b} \right )=LaTeX formula: \begin{vmatrix} -1 & 5 & 1\\ 0 & -3& 5\\ 0 &0 & 7 \end{vmatrix}=-1\cdot (-3)\cdot 7=21.
Ответ: LaTeX formula: 21.
1. Множество всех LaTeX formula: n-мерных векторов, в котором для любых двух векторов определена их сумма, и для любого действительного числа определено произведение вектора на это число, называется действительным LaTeX formula: n-мерным векторным арифметическим пространством LaTeX formula: R^{n}.
2. Пространство LaTeX formula: R^{n}  со скалярным произведением (3.13.1) называют евклидовым.
formula