Основные понятия и определения /qualihelpy

Основные понятия и определения

Справочник / Студент / Векторы /

Справочный материал Примеры Обратите внимание! Модели

Вектором называют направленный отрезок. Начало и конец вектора обозначают двумя прописными буквами латинского алфавита или одной строчной буквой и записывают: $LaTeX formula: \overline{AB}$ или $LaTeX formula: \bar{a} .$

На рисунке 3.1 изображен вектор $LaTeX formula: \overline{AB}$ , у которого точка LaTeX formula: A

– начало, а точка LaTeX formula: B

– его конец, и вектор $LaTeX formula: \overline{CD}$ , у которого точка LaTeX formula: C

– его начало, а точка LaTeX formula: D

– его конец.

Нуль-вектором называют вектор, начало и конец которого совпадают. Нуль-вектор изображают точкой и записывают $LaTeX formula: \overline{OO}$ (рис. 3.1).

Единичным вектором называют вектор, длина которого равна единице.

Упорядоченную совокупность LaTeX formula: n

действительных чисел $LaTeX formula: x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{n}$ называют точкой, а сами эти числа – ее координатами. Записывают: $LaTeX formula: (x_{1};x_{2};x_{3};...;x_{n}).$ Множество таких всевозможных точек называют координатным n-мерным пространством и обозначают $LaTeX formula: R^{n}.$

Рассмотрим двумерное пространство с заданной в нем системой координат (рис. 3.2). На оси LaTeX formula: Ox

отложим единичный вектор $LaTeX formula: \bar{i}$ , начало которого совпадает с началом отсчета, а направление – с положительным направлением оси LaTeX formula: Ox

. Аналогичным образом отложим на оси LaTeX formula: Oy

вектор $LaTeX formula: \bar{j}$ . Векторы $LaTeX formula: \bar{i}$ и $LaTeX formula: \bar{j}$ называют координатными векторами (ортами) прямоугольной системы координат.

Любой вектор $LaTeX formula: \bar{a}$ на плоскости можно разложить по ортам: $LaTeX formula: \bar{a}=\overline{xi}+\overline{yj}.$

Говорят, что LaTeX formula: x

–координаты вектора $LaTeX formula: \bar{a}$ и записывают: $LaTeX formula: \bar{a}(x;y).$

Вектор, начало которого совпадает с началом отсчета, называют радиус-вектором. На рисунке 3.2 изображен радиус-вектор $LaTeX formula: \bar{a}=\overline{OA}.$

Рассмотрим трехмерное пространство с заданной в нем декартовой системой координат (рис. 3.3). Единичные векторы $LaTeX formula: \bar{i},\bar{j}$ и $LaTeX formula: \bar{k}$ –координатные векторы (орты) прямоугольной системы координат. Любой вектор $LaTeX formula: \bar{b}$ пространства можно разложить по ортам:

$LaTeX formula: \bar{b}=x\overline{i}+y\overline{j}+z\overline{k}.$ LaTeX formula: (3.2)

Говорят, что LaTeX formula: x,y

–координаты вектора $LaTeX formula: \overline{b}$ и записывают: $LaTeX formula: \bar{b}(x;y;z).$

Чтобы найти координаты вектора, необходимо из координат конца вектора вычесть соответствующие координаты его начала. Если вектор $LaTeX formula: \overline{AB}$ задан в двумерном пространстве, и точка $LaTeX formula: A(x_{1};y_{1})$ – его начало, а точка $LaTeX formula: B(x_{2};y_{2})$ – его конец, то он имеет две координаты $LaTeX formula: x_{2}-x_{1}$ и $LaTeX formula: y_{2}-y_{1}$ , которые записывают в круглых скобках вслед за названием вектора или без названия вектора: $LaTeX formula: \overline{AB}$ $LaTeX formula: (x_{2}-x_{1};y_{2}-y_{1})$ или $LaTeX formula: (x_{2}-x_{1};y_{2}-y_{1}).$

Если вектор задан в трехмерном пространстве и точка $LaTeX formula: A(x_{1};y_{1};z_{1})$ – его начало, а точка $LaTeX formula: B(x_{2};y_{2};z_{2})$ – его конец, то записывают: $LaTeX formula: \overline{AB} (x_{2}-x_{1};y_{2}-y_{1};z_{2}-z_{1}) .$

Координаты середины отрезка (середины вектора): если точки $LaTeX formula: A(a_{1};a_{2};a_{3})$ и $LaTeX formula: B(b_{1};b_{2};b_{3})$ – концы отрезка, а точка LaTeX formula: M

– его середина, то точка LaTeX formula: M

будет иметь координаты:

$LaTeX formula: M \left ( \frac{a_{1}+b_{1}}{2};\frac{a_{2}+b_{2}}{2}; \frac{a_{3}+b_{3}}{2}\right ).$ (3.3)

Длину вектора записывают $LaTeX formula: \overline{AB}$ и читают: модуль вектора или длина вектора $LaTeX formula: \overline{AB}$ .

Если известны координаты точек $LaTeX formula: A(a_{1};a_{2};a_{3})$ – начала и $LaTeX formula: B(b_{1};b_{2};b_{3})$ – конца вектора, то длину вектора (длину отрезка) находят по формуле:

$LaTeX formula: AB=\left |\overline{AB} \right |=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2}}.$ (3.4)

Если известны координаты вектора $LaTeX formula: \bar{a}(a_{1};a_{2};a_{3})$ , то длину вектора $LaTeX formula: \bar{a}$ находят по формуле:

$LaTeX formula: \left |\overline{a} \right |=\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}.$ (3.5)

Коллинеарными называют векторы, лежащие на параллельных прямых (или на одной прямой).

На рисунке 3.4 изображены коллинеарные векторы $LaTeX formula: \overline{a},\overline{b},\overline{c}$ и $LaTeX formula: \overline{d}$ LaTeX formula: .

Условие коллинеарности векторов: векторы $LaTeX formula: \bar{a}(a_{1};a_{2};a_{3})$ и $LaTeX formula: \bar{b}(b_{1};b_{2};b_{3})$ коллинеарны, если их соответствующие координаты пропорциональны, то есть если выполняется равенство

$LaTeX formula: \frac{a_{1}}{b_{1}}=\frac{a_{2}}{b_{2}}=\frac{a_{3}}{b_{3}}=k.$ (3.6)

При этом, если:

а)

, то векторы сонаправлены;

б)

, то векторы противоположно направлены.

Например: 1) На рисунке 3.4 векторы $LaTeX formula: \bar{a}$ и $LaTeX formula: \bar{c}$ , а также $LaTeX formula: \bar{b}$ и $LaTeX formula: \bar{d}$ сонаправлены. Записывают: $LaTeX formula: \bar{a}\uparrow\uparrow\bar{c}$ и $LaTeX formula: \bar{b}\uparrow\uparrow\bar{d} .$

2) На рисунке 3.4 вектор $LaTeX formula: \bar{a}$ и $LaTeX formula: \bar{d}$ , а также векторы $LaTeX formula: \bar{b}$ и $LaTeX formula: \bar{c}$ противоположно направлены. Записывают: $LaTeX formula: \bar{a}\uparrow\downarrow\bar{d}$ и $LaTeX formula: \bar{b}\uparrow\downarrow\bar{c}.$

Векторы, имеющие равные длины и противоположно направленные, называют противоположными.

Вектор, противоположный вектору $LaTeX formula: \overline{AB}$ , записывают: $LaTeX formula: -\overline{AB}$ или $LaTeX formula: \overline{BA}$ .

Вектор, противоположный вектору $LaTeX formula: \bar{a}$ , записывают: $LaTeX formula: -\bar{a}$ (рис. 3.5).

Векторы, лежащие в параллельных плоскостях (или в одной плоскости), называют компланарными.

На рисунке 3.6 изображен прямой параллелепипед. Векторы $LaTeX formula: \bar{b}$ , $LaTeX formula: \bar{c}$ и $LaTeX formula: \bar{d}$ , а также векторы $LaTeX formula: \bar{a}$ , $LaTeX formula: \bar{b}$ и $LaTeX formula: \bar{d}$ компланарны. Векторы $LaTeX formula: \bar{b}$ , $LaTeX formula: \bar{c}$ и $LaTeX formula: \bar{l}$ , а также векторы $LaTeX formula: \bar{a}$ , $LaTeX formula: \bar{b}$ и $LaTeX formula: \bar{l}$ не компланарны.

Условие компланарности трех векторов: векторы $LaTeX formula: \bar{a}(a_{1};a_{2};a_{3})$ , $LaTeX formula: \bar{b}(b_{1};b_{2};b_{3})$ и $LaTeX formula: \bar{c}(c_{1};c_{2};c_{3})$ компланарны, если определитель, составленный из координат этих векторов, равен нулю:

$LaTeX formula: \begin{vmatrix} a_{1} & b_{1} &c_{1} \\ a_{2} & b_{2} &c_{2} \\ a_{3} & b_{3} &c_{3} \end{vmatrix}=0.$ (3.7)

Пример 1. Найдите координаты вектора $LaTeX formula: \overline{DC}$ , если известны точки LaTeX formula: C(6;-2;3)

Решение. Вычитая из координат конца вектора соответствующие координаты его начала, получим: $LaTeX formula: \overline{DC}(6-5;-2+2;3+5).$

Ответ: $LaTeX formula: \overline{DC}(1;0;8).$

Пример 2. Известны координаты точки LaTeX formula: M(5;6;7)

, которая является серединой отрезка LaTeX formula: AB

, и координаты точки LaTeX formula: B(0;-10;1)

. Найдите координаты точки $LaTeX formula: A(a_{1};a_{2};a_{3}).$

Решение. Согласно формуле 3.3 запишем: $LaTeX formula: \frac{a_{1}+0}{2}=5,\frac{a_{2}-10}{2}=6$ и $LaTeX formula: \frac{a_{3}+1}{2}=7$ . Решая уравнения, получим: $LaTeX formula: a_{1}=10, a_{2}=22$ и $LaTeX formula: a_{3}=13ю$ .

Ответ:

Пример 3. Найдите модуль разности длин векторов $LaTeX formula: \bar{a}(-1;5;\sqrt{10})$ и $LaTeX formula: \bar{b}(0;6;-8).$

Решение. Согласно формуле 3.5 получим: $LaTeX formula: \left |\bar{a} \right |=\sqrt{1+25+10}=6;$ $LaTeX formula: \left |\bar{b} \right |=\sqrt{0+36+64}=10.$ Тогда $LaTeX formula: \left | 6-10 \right |=\left | -4 \right |=4.$

Ответ:

Пример 4. Векторы $LaTeX formula: \bar{a}(p ;45;15)$ и $LaTeX formula: \bar{b}(10 ;k;-3)$ коллинеарны. Найдите сумму чисел LaTeX formula: p

Решение. Согласно формуле 3.6 $LaTeX formula: \frac{p}{10}=\frac{45}{k}=\frac{15}{-3}=-5,$ откуда $LaTeX formula: \frac{p}{10}=-5$ и $LaTeX formula: \frac{45}{k}=-5.$ Следовательно, LaTeX formula: p=-50, k=-9, p+k=-59.