Справочный материал
Примеры
Обратите внимание!
Видео
Модели
Пройти тесты


(3.3)
; (3.3.1)
; (3.3.2)
. (3.3.3)
(3.4)
(3.5) 
(3.6) 
(3.7)

;
;
.


;
;
.
div class="video-container">
Вектором называют направленный отрезок. Начало и конец вектора обозначают двумя прописными буквами латинского алфавита или одной строчной буквой и записывают:
или 


На рисунке 3.1 изображен вектор
, у которого точка
– начало, а точка
– его конец, и вектор
, у которого точка
– его начало, а точка
– его конец.







Нуль-вектором называют вектор, начало и конец которого совпадают. Нуль-вектор изображают точкой и записывают
(рис. 3.1).

Единичным вектором называют вектор, длина которого равна единице.
Упорядоченную совокупность
действительных чисел
называют точкой, а сами эти числа – ее координатами. Записывают:
Множество таких всевозможных точек называют координатным n-мерным пространством и обозначают 




Рассмотрим двумерное пространство с заданной в нем системой координат (рис. 3.2). На оси
отложим единичный вектор
, начало которого совпадает с началом отсчета, а направление – с положительным направлением оси
. Аналогичным образом отложим на оси
вектор
. Векторы
и
называют координатными векторами (ортами) прямоугольной системы координат.








Любой вектор
на плоскости можно разложить по ортам: 


Говорят, что
и
–координаты вектора
и записывают: 




Вектор, начало которого совпадает с началом отсчета, называют радиус-вектором. На рисунке 3.2 изображен радиус-вектор 

Рассмотрим трехмерное пространство с заданной в нем декартовой системой координат (рис. 3.3). Единичные векторы
и
–координатные векторы (орты) прямоугольной системы координат. Любой вектор
пространства можно разложить по ортам:





Говорят, что
и
–координаты вектора
и записывают: 




Чтобы найти координаты вектора, необходимо из координат конца вектора вычесть соответствующие координаты его начала. Если вектор
задан в двумерном пространстве, и точка
– его начало, а точка
– его конец, то он имеет две координаты
и
, которые записывают в круглых скобках вслед за названием вектора или без названия вектора: 
или 








Если вектор задан в трехмерном пространстве и точка
– его начало, а точка
– его конец, то записывают: 



Координаты середины вектора (середины вектора): если точки
и
– концы отрезка, а точка
– его середина, то точка
будет иметь координаты:





Деление отрезка в заданном отношении. Если точки
и
– концы отрезка
, а точка
делит этот отрезок в отношении
(считая от точки
), то координаты точки
находят по формулам:










Длина вектора. Длину вектора записывают
и читают: модуль вектора или длина вектора
.


Если известны координаты точек
– начала и
– конца вектора, то длину вектора (длину отрезка) находят по формуле:



Если известны координаты вектора
, то длину вектора
находят по формуле:



Коллинеарными называют векторы, лежащие на параллельных прямых (или на одной прямой).

На рисунке 3.4 изображены коллинеарные векторы
и




Условие коллинеарности векторов: векторы
и
коллинеарны, если их соответствующие координаты пропорциональны, то есть если выполняется равенство



При этом, если:
а)
, то векторы сонаправлены;

б)
, то векторы противоположно направлены.

Например: 1) На рисунке 3.4 векторы
и
, а также
и
сонаправлены. Записывают:
и 






2) На рисунке 3.4 вектор
и
, а также векторы
и
противоположно направлены. Записывают:
и 






Векторы, имеющие равные длины и противоположно направленные, называют противоположными.

Вектор, противоположный вектору
, записывают:
или
.



Вектор, противоположный вектору
, записывают:
(рис. 3.5).


Векторы, лежащие в параллельных плоскостях (или в одной плоскости), называют компланарными.

На рисунке 3.6 изображен прямой параллелепипед. Векторы
,
и
, а также векторы
,
и
компланарны. Векторы
,
и
, а также векторы
,
и
не компланарны.












Условие компланарности трех векторов: векторы
,
и
компланарны, если определитель, составленный из координат этих векторов, равен нулю:




Пример 1. Найдите координаты вектора
, если известны точки
и
.



Решение. Вычитая из координат конца вектора соответствующие координаты его начала, получим: 

Ответ: 

Пример 2. Известны координаты точки
, которая является серединой отрезка
, и координаты точки
. Найдите координаты точки 




Ответ: 

Пример 3. Найдите модуль разности длин векторов
и 


Ответ: 

Пример 4. Векторы
и
коллинеарны. Найдите сумму чисел
и 




Ответ: 

Пример 5. Найдите значение
если известно, что векторы
и
компланарны.



Решение. Согласно формуле 3.7 составим и решим уравнение:




Ответ: 

Пример 6. Найдите координаты точки
, если известны координаты концов отрезка
и
, а точка
делит отрезок
в отношении 2 : 3, считая от точки
.

.png)
.png)



.png)
.png)
.png)
Ответ: .png)
.png)
1. Аналогично находят координаты и длину
-мерного вектора 


2. Различайте модуль числа и модуль вектора. Например:
1) найдем модули чисел
и 



2) найдем модуль вектора
по формуле 3.5 :


3. Если точки
и
— концы отрезка
, а точка
делит этот отрезок в отношении
(считая от точки
), то координаты точки
находят по формулам:




.png)





Длина вектора
Координаты вектора
Сложение матриц
Деление отрезка в заданном отношении