Справочный материал Примеры Обратите внимание! Модели
Вектором называют направленный отрезок. Начало и конец вектора обозначают двумя прописными буквами латинского алфавита или одной строчной буквой и записывают: LaTeX formula: \overline{AB}  или  LaTeX formula: \bar{a} .
На рисунке 3.1 изображен вектор LaTeX formula: \overline{AB} , у которого точка LaTeX formula: A – начало, а точка LaTeX formula: B – его конец, и вектор LaTeX formula: \overline{CD}, у которого точка LaTeX formula: C – его начало, а точка LaTeX formula: D– его конец.
Нуль-вектором называют вектор, начало и конец которого совпадают. Нуль-вектор  изображают точкой и записывают  LaTeX formula: \overline{OO} (рис. 3.1).
Единичным вектором называют вектор, длина которого равна единице.
Упорядоченную совокупность LaTeX formula: n действительных чисел  LaTeX formula: x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{n}   называют точкой, а сами эти числа – ее координатами. Записывают: LaTeX formula: (x_{1};x_{2};x_{3};...;x_{n}). Множество таких всевозможных точек называют координатным n-мерным пространством и обозначают LaTeX formula: R^{n}.
Рассмотрим двумерное пространство с заданной в нем системой координат (рис. 3.2). На оси LaTeX formula: Ox отложим единичный вектор LaTeX formula: \bar{i} , начало которого совпадает с началом отсчета, а направление – с положительным направлением оси LaTeX formula: Ox. Аналогичным образом отложим на оси LaTeX formula: Oy вектор LaTeX formula: \bar{j}. Векторы LaTeX formula: \bar{i}  и LaTeX formula: \bar{j}называют координатными векторами (ортами) прямоугольной системы координат. 
 
Любой вектор LaTeX formula: \bar{a}  на плоскости можно разложить по ортам: LaTeX formula: \bar{a}=\overline{xi}+\overline{yj}.
Говорят, что LaTeX formula: x и LaTeX formula: yкоординаты вектора  LaTeX formula: \bar{a} и записывают: LaTeX formula: \bar{a}(x;y).
Вектор, начало которого совпадает с началом отсчета, называют радиус-вектором. На рисунке 3.2 изображен радиус-вектор LaTeX formula: \bar{a}=\overline{OA}.
Рассмотрим трехмерное пространство с заданной в нем декартовой системой координат (рис. 3.3). Единичные векторы LaTeX formula: \bar{i},\bar{j}   и  LaTeX formula: \bar{k}координатные векторы (орты) прямоугольной системы координат. Любой вектор   LaTeX formula: \bar{b}пространства можно разложить по ортам: 
LaTeX formula: \bar{b}=x\overline{i}+y\overline{j}+z\overline{k}. LaTeX formula: (3.2)
Говорят, что LaTeX formula: x,y и LaTeX formula: zкоординаты вектора LaTeX formula: \overline{b} и записывают: LaTeX formula: \bar{b}(x;y;z).
Чтобы найти координаты вектора, необходимо из координат конца вектора вычесть соответствующие координаты его начала. Если вектор LaTeX formula: \overline{AB}  задан в двумерном пространстве, и точка  LaTeX formula: A(x_{1};y_{1})– его начало, а точка LaTeX formula: B(x_{2};y_{2}) – его конец, то он имеет две координаты LaTeX formula: x_{2}-x_{1} и  LaTeX formula: y_{2}-y_{1}, которые записывают в круглых скобках вслед за названием вектора или без названия вектора: LaTeX formula: \overline{AB}LaTeX formula: (x_{2}-x_{1};y_{2}-y_{1})  или  LaTeX formula: (x_{2}-x_{1};y_{2}-y_{1}).
Если вектор задан в трехмерном пространстве и точка LaTeX formula: A(x_{1};y_{1};z_{1}) – его начало, а точка LaTeX formula: B(x_{2};y_{2};z_{2}) – его конец, то записывают:  LaTeX formula: \overline{AB} (x_{2}-x_{1};y_{2}-y_{1};z_{2}-z_{1}) .
Координаты середины отрезка (середины вектора): если точки LaTeX formula: A(a_{1};a_{2};a_{3})  и LaTeX formula: B(b_{1};b_{2};b_{3}) – концы отрезка, а точка LaTeX formula: M– его середина, то точка LaTeX formula: M будет иметь координаты:
LaTeX formula: M \left ( \frac{a_{1}+b_{1}}{2};\frac{a_{2}+b_{2}}{2}; \frac{a_{3}+b_{3}}{2}\right ). (3.3)  
Длину вектора записывают LaTeX formula: \overline{AB}  и читают: модуль вектора или длина вектора  LaTeX formula: \overline{AB}
Если известны координаты точек LaTeX formula: A(a_{1};a_{2};a_{3}) – начала и LaTeX formula: B(b_{1};b_{2};b_{3}) – конца вектора, то длину вектора (длину отрезка) находят по формуле:
LaTeX formula: AB=\left |\overline{AB} \right |=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2}}. (3.4)
Если известны координаты вектора LaTeX formula: \bar{a}(a_{1};a_{2};a_{3}), то длину вектора  LaTeX formula: \bar{a} находят по формуле:
LaTeX formula: \left |\overline{a} \right |=\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}. (3.5)
Коллинеарными называют векторы, лежащие на параллельных прямых (или на одной прямой).
 
На рисунке 3.4 изображены коллинеарные векторы  LaTeX formula: \overline{a},\overline{b},\overline{c}  и LaTeX formula: \overline{d} LaTeX formula: .
Условие коллинеарности  векторов: векторы LaTeX formula: \bar{a}(a_{1};a_{2};a_{3})  и LaTeX formula: \bar{b}(b_{1};b_{2};b_{3}) коллинеарны, если их соответствующие координаты пропорциональны, то есть если выполняется равенство
LaTeX formula: \frac{a_{1}}{b_{1}}=\frac{a_{2}}{b_{2}}=\frac{a_{3}}{b_{3}}=k. (3.6)
При этом, если:
а) LaTeX formula: k>0 , то векторы сонаправлены; 
б) LaTeX formula: k<0 , то векторы противоположно направлены. 
Например: 1) На рисунке 3.4 векторы LaTeX formula: \bar{a}  и LaTeX formula: \bar{c} , а также LaTeX formula: \bar{b}  и LaTeX formula: \bar{d} сонаправлены. Записывают:  LaTeX formula: \bar{a}\uparrow\uparrow\bar{c} и LaTeX formula: \bar{b}\uparrow\uparrow\bar{d} .
2) На рисунке 3.4 вектор LaTeX formula: \bar{a}  и  LaTeX formula: \bar{d}, а также векторы LaTeX formula: \bar{b}  и LaTeX formula: \bar{c}  противоположно направлены. Записывают: LaTeX formula: \bar{a}\uparrow\downarrow\bar{d}  и  LaTeX formula: \bar{b}\uparrow\downarrow\bar{c}.
Векторы, имеющие равные длины и противоположно направленные, называют противоположными
 
Вектор, противоположный вектору LaTeX formula: \overline{AB} , записывают:  LaTeX formula: -\overline{AB} или  LaTeX formula: \overline{BA}
Вектор, противоположный вектору LaTeX formula: \bar{a} , записывают:  LaTeX formula: -\bar{a} (рис. 3.5).
Векторы, лежащие в параллельных плоскостях (или в одной плоскости), называют компланарными.
На рисунке 3.6 изображен прямой параллелепипед. Векторы  LaTeX formula: \bar{b},LaTeX formula: \bar{c} и LaTeX formula: \bar{d} , а также векторы LaTeX formula: \bar{a} , LaTeX formula: \bar{b} и  LaTeX formula: \bar{d} компланарны. Векторы   LaTeX formula: \bar{b},LaTeX formula: \bar{c} и LaTeX formula: \bar{l}, а также векторы  LaTeX formula: \bar{a} , LaTeX formula: \bar{b}  и LaTeX formula: \bar{l}  не компланарны.
Условие компланарности трех векторов: векторы LaTeX formula: \bar{a}(a_{1};a_{2};a_{3}) , LaTeX formula: \bar{b}(b_{1};b_{2};b_{3})  и  LaTeX formula: \bar{c}(c_{1};c_{2};c_{3}) компланарны, если определитель, составленный из координат этих векторов, равен нулю:
 LaTeX formula: \begin{vmatrix} a_{1} & b_{1} &c_{1} \\ a_{2} & b_{2} &c_{2} \\ a_{3} & b_{3} &c_{3} \end{vmatrix}=0. (3.7)
Пример 1. Найдите координаты вектора LaTeX formula: \overline{DC} , если известны точки LaTeX formula: C(6;-2;3)  и LaTeX formula: D(5;-2;-5) .
Решение.  Вычитая из координат конца вектора соответствующие координаты его начала, получим: LaTeX formula: \overline{DC}(6-5;-2+2;3+5).
Ответ:  LaTeX formula: \overline{DC}(1;0;8).
Пример 2. Известны координаты точки LaTeX formula: M(5;6;7) , которая является серединой отрезка LaTeX formula: AB, и координаты точки LaTeX formula: B(0;-10;1) . Найдите координаты точки LaTeX formula: A(a_{1};a_{2};a_{3}).
Решение.  Согласно формуле 3.3 запишем:  LaTeX formula: \frac{a_{1}+0}{2}=5,\frac{a_{2}-10}{2}=6 и  LaTeX formula: \frac{a_{3}+1}{2}=7. Решая уравнения, получим:  LaTeX formula: a_{1}=10, a_{2}=22 и LaTeX formula: a_{3}=13ю  .
Ответ:  LaTeX formula: A(10;22;13).
Пример 3. Найдите модуль разности длин векторов LaTeX formula: \bar{a}(-1;5;\sqrt{10})  и  LaTeX formula: \bar{b}(0;6;-8).
Решение.  Согласно формуле 3.5 получим: LaTeX formula: \left |\bar{a} \right |=\sqrt{1+25+10}=6;LaTeX formula: \left |\bar{b} \right |=\sqrt{0+36+64}=10. Тогда LaTeX formula: \left | 6-10 \right |=\left | -4 \right |=4.
Ответ: LaTeX formula: 4.
Пример 4. Векторы  LaTeX formula: \bar{a}(p ;45;15) и LaTeX formula: \bar{b}(10 ;k;-3) коллинеарны. Найдите сумму чисел LaTeX formula: pи LaTeX formula: k.
Решение.  Согласно формуле 3.6   LaTeX formula: \frac{p}{10}=\frac{45}{k}=\frac{15}{-3}=-5, откуда LaTeX formula: \frac{p}{10}=-5 и  LaTeX formula: \frac{45}{k}=-5. Следовательно, LaTeX formula: p=-50, k=-9, p+k=-59.
Ответ: LaTeX formula: -59.
Пример 5. Найдите значение LaTeX formula: x, если известно, что векторы LaTeX formula: \bar{a}(1;0;-3), \bar{b}(5;x;-6)  и LaTeX formula: \bar{c}(1;1;2) компланарны.
Решение.  Согласно формуле 3.7 составим и решим уравнение:  
LaTeX formula: \begin{vmatrix} 1& 5& 1\\ 0 & x & 1\\ -3 & -6 &2 \end{vmatrix}=0,  LaTeX formula: 2x-15+0+3x-0+6=0,    LaTeX formula: 5x=9,   LaTeX formula: x=1,8.
Ответ: LaTeX formula: 1,8.
1.  Аналогично находят координаты и длину LaTeX formula: n-мерного вектора LaTeX formula: \bar{a}(a_{1};a_{2};...;a_{n}).
2.  Различайте модуль числа и модуль вектора. Например:
1) найдем модули чисел LaTeX formula: a=3,b=0 и LaTeX formula: c=-5:
LaTeX formula: \left |a \right |=\left |3 \right |=3, \left |b \right |=\left |0 \right |=0,\left |c \right |=\left |-5 \right |=5;
2) найдем модуль вектора LaTeX formula: \overline{a}(3;0;-5) по формуле 3.5 :
LaTeX formula: \left |\overline{a} \right |=\sqrt{3^2+0^2+(-5)^2}=\sqrt{9+0+25}=\sqrt{34}.

formula