Справочный материал Примеры Обратите внимание! Модели
Исследовать систему линейных уравнений – значит, установить имеет ли эта система решения, а если имеет, то определить, сколько их. При этом можно руководствоваться следующими правилами:
  1.  Если ранг основной матрицы системы не равен рангу ее расширенной матрицы, то система не совместная.
  2.  Если ранг основной матрицы системы равен рангу ее расширенной матрицы, то система совместная. Причем, если ранг равен числу переменных системы, то система имеет единственное решение, а если ранг меньше числа неизвестных, то множество решений системы бесконечно.

Пример 1. Исследуйте систему линейных уравнений 
LaTeX formula: \left\{\begin{matrix} \! \! \! \! \! \! x-y+3z=2,\\ \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \!-2x+5y=0,\\ 2x-2y+6z=4.\\ \end{matrix}\right. 
Решение. 
  1. Запишем основную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к треугольному виду: 
LaTeX formula: A=\begin{pmatrix} 1& -1& 3& \\ \! \! \! \! -2& \; \; \; 5& 0& \\ 2& -2& 6& \\ \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1& \! \! \! -1& 3& \\ 0& 3& 6& \\ 0& 0& 0& \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 1& \! \! \! \! -1& 3& \\ 0& 1& 2& \\ 0& 0& 0& \end{pmatrix}.
Поскольку минор третьего порядка этой матрицы равен нулю, а среди ее миноров второго порядка есть миноры отличные от нуля, то ранг матрицы равен 2. 
2. Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к трапециевидному виду: 
LaTeX formula: \widetilde{A}=\begin{pmatrix} \begin{matrix} 1&-1 \\ \! \! \! \! -2&\; \; \; 5 \\ 2&-2 \\ \end{matrix}\left.\begin{matrix} \; \; \; 3& \\ \; \; \; 0& \\ \; \; \; 6& \\ \end{matrix}\right|\begin{matrix} 2\\ 0\\ 4\\ \end{matrix} \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} \begin{matrix} 1&-1 \\ 0&\; \; \; 3 \\ 1&-1 \\ \end{matrix}\left.\begin{matrix} \; \; \; 3& \\ \; \; \; 6& \\ \; \; \; 3& \\ \end{matrix}\right|\begin{matrix} 2\\ 4\\ 2\\ \end{matrix} \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} \begin{matrix} 1&-1 \\ 0& 3 \\ 0&0 \\ \end{matrix}\left.\begin{matrix} \; \; \; 3& \\ \; \; \; 6& \\ \; \; \; 0& \\ \end{matrix}\right|\begin{matrix} 2\\ 4\\ 0\\ \end{matrix} \end{pmatrix}.
Поскольку все миноры третьего порядка этой матрицы равны нулю, а среди ее миноров второго порядка есть миноры отличные от нуля, то ранг матрицы равен 2.
3. Так как LaTeX formula: r_{A}=r_{\widetilde{A}}=2, то система совместная. А так как система содержит три переменные и LaTeX formula: 3>r_{A}, то система неопределенная. 

Покажем, как можно найти решение неопределенной системы уравнений LaTeX formula: \left\{\begin{matrix} x-y+3z=2, & \\ \; \; \; 3y+6z=4.& \end{matrix}\right.
Полагая LaTeX formula: z=a , где LaTeX formula: a\epsilon R , получим: LaTeX formula: \left\{\begin{matrix} x-y+3a=2,& \\ \; \; \; \; 3y+6a=4.& \end{matrix}\right. Тогда LaTeX formula: y=\frac{4}{3}-2a, а LaTeX formula: x=\frac{10}{3}-5a.
Ответ: LaTeX formula: x=\frac{10}{3}-5aLaTeX formula: y=\frac{4}{3}-2aLaTeX formula: z=a, где LaTeX formula: a\epsilon R.
formula