Справочный материал Примеры Обратите внимание! Модели
Линейным уравнением с LaTeX formula: n переменными называют уравнение вида 
LaTeX formula: a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+...+a_{n}x_{n}=b, (2.1)
где LaTeX formula: a_{i}\epsilon RLaTeX formula: i=\overline{1,n}LaTeX formula: \sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}\neq 0LaTeX formula: b\epsilon R
Числа LaTeX formula: a_{i} называют коэффициентами при переменных, а число LaTeX formula: b – свободным членом.
Запись LaTeX formula: \sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}\neq 0 означает, что все коэффициенты при переменных одновременно не могут быть равны нулю. 
Системой линейных уравнений называют множество линейных уравнений с LaTeX formula: n неизвестными (LaTeX formula: n\geqslant 2), для которых требуется найти значения неизвестных, удовлетворяющих всем уравнениям системы.
Система, состоящая из LaTeX formula: m уравнений и содержащая LaTeX formula: n переменных уравнений, имеет вид:
LaTeX formula: \left\{\begin{matrix} a_{11}x_{1} &+ a_{12}x_{2}&+ ...&+ a_{1n}x_{n}&=b_{1}, \\ a_{21}x_{1}&+ a_{22}x_{2}&+ ...&+ a_{2n}x_{n}&=b_{2}, \\ .& .& . & . &.\\ a_{m1}x_{1}&+ a_{m2}x_{2}&+ ...&+ a_{mn}x_{n}&=b_{m}. \end{matrix}\right. (2.2)
Числа LaTeX formula: a_{ij} называют коэффициентами при переменных, а числа LaTeX formula: b_{i} – свободными членами LaTeX formula: \left ( i=1,2,...,m, j=1,2,...,n \right ).
Если все свободные члены равны нулю, то такая система уравнений называется однородной.
Матрицы системы (2.2):
1) искомая матрица Х системы состоит из переменных:
LaTeX formula: X=\left [ x_{1}\; \; \; \; \; x_{2}\; \; \; \; \; ...\; \; \; \; \; x_{n} \right ]^{T}; (2.3)
2) основная матрица системы А состоит из коэффициентов при переменных:
LaTeX formula: A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12}& \cdots& a_{1n}& \\ a_{21}& a_{22}& \cdots& a_{2n}& \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}& \end{bmatrix}; (2.4)
3) матрица-столбец В состоит из свободных членов системы:
LaTeX formula: B=\left [ b_{1}\; \; \; \; \; b_{2}\; \; \; \; \;\cdots \; \; \; \; \; b_{n} \right ]^{^{T}} ; (2.5)
4) расширенная матрица системы состоит из коэффициентов при переменных и свободных членов:
LaTeX formula: \widetilde{A}=\begin{bmatrix} \left.\begin{matrix} a_{11}\; \; \; a_{12}\; \; \; \cdots \; \; \; a_{1n}\\ a_{21}\; \; \; a_{22}\; \; \; \cdots \; \; \; a_{2n}\\ \vdots \; \; \; \; \; \; \;\; \; \vdots \; \; \; \cdots \; \; \;\; \; \vdots \\ a_{m1}\; \; \; a_{m2}\; \; \; \cdots \; \; \; a_{mn}\\ \end{matrix}\right|\begin{matrix} b_{1}\\ b_{2}\\ \vdots \\ b_{m}\\ \end{matrix} \end{bmatrix}\left.. (2.6)
Решением системы является упорядоченная совокупность чисел, при подстановке которых в систему каждое из ее уравнений обращается в верное равенство. 
Решить систему уравнений – значит найти все ее решения или показать, что эта система решений не имеет.
Система, которая имеет хотя бы одно решение, называется совместной. Если система имеет только одно решение, то она называется определенной, а если имеет бесконечно много решений – неопределенной.
Система, которая не имеет ни одного решения, называется несовместной.
Пример 1. Запишем матрицы системы уравнений
LaTeX formula: \left\{\begin{matrix} x_{1}-x_{2}+3x_{3}=1,\\ 2x_{2}+3x_{3}=-8,\; \; \; \\ 7x_{1}-5x_{2}=0.\; \; \; \; \; \; \end{matrix}\right. 
1) основная матрица 2.4 системы: LaTeX formula: A=\begin{pmatrix} 1& -1& 3& \\ 0& \, \, \, \, 2& 3& \\ 7& -5& 0& \end{pmatrix};
2) искомая матрица 2.3 системы: LaTeX formula: X=\begin{pmatrix} x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3}\\ \end{pmatrix};
3) матрица свободных членов 2.5 системы: LaTeX formula: B=\begin{pmatrix} \, \, \, \, 1\\ -8\\ \, \, \, \, 0\\ \end{pmatrix};
4) расширенная матрица 2.6 системы: LaTeX formula: \widetilde{A}=\begin{pmatrix} \begin{matrix} 1&-1 \\ 0&\; \; \; 2 \\ 7&-5 \\ \end{matrix}\left.\begin{matrix} \; \; \; 3& \\ \; \; \; 3& \\ \; \; \; 0& \\ \end{matrix}\right|\begin{matrix} 1\\ -8\\ 0\\ \end{matrix} \end{pmatrix}.
Пример 2. Убедимся в том, что совокупность чисел LaTeX formula: x_{1}=2LaTeX formula: x_{2}=0 и LaTeX formula: x_{3}=-1 образуют решение системы уравнений LaTeX formula: \left\{\begin{matrix} x_{1}-x_{2}+3x_{3}=-1,\\ \! \! \! \! \! \! \! \! \! 2x_{2}+3x_{3}=-3,\\ \! \! \! \! \! \! \! 7x_{1}-25x_{2}=15.\\ \end{matrix}\right.
Действительно, LaTeX formula: \left\{\begin{matrix} 2-0-3=-1,\\ \! \! \! \! \! \! \! \! \! 0-3=-3,\\ \! \! \! \! \! \! \! \! \! 14-0=14.\\ \end{matrix}\right.
Однородная система линейных уравнений всегда совместна.
formula