Справочный материал Примеры Обратите внимание! Модели
Число LaTeX formula: \lambda называют собственным значением (собственным числом) матрицы LaTeX formula: A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ ... & ... & ... & ... \\ a_{n1}& a_{n2} & ... & a_{nn} \end{bmatrix} , если существует ненулевой вектор LaTeX formula: \bar{x}\in R^n , для которого выполняется равенство LaTeX formula: A\bar{x}=\lambda \bar{x} . (1.18)
Вектор LaTeX formula: \bar{x} называют собственным вектором матрицы LaTeX formula: A , соответствующим данному собственному значению LaTeX formula: \lambda.
Собственные числа LaTeX formula: \lambda_{1} , LaTeX formula: \lambda_{2} , LaTeX formula: \lambda_{3} , … , LaTeX formula: \lambda_{n} матрицы (1.2) находят, решая уравнение LaTeX formula: \left | A-\lambda E \right |=0 или
LaTeX formula: \begin{vmatrix} a_{11}-\lambda & a_{12} & ... & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22}-\lambda & ... & a_{2n}\\ ... & ... & ... & ...\\ a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn}-\lambda \end{vmatrix} =0 . (1.19)
Собственный вектор LaTeX formula: \bar{x_i}=(x_{1i};x_{2i};...;x_{ni})^T , соответствующий собственному значению LaTeX formula: \lambda_i , находят, решая однородную систему линейных алгебраических уравнений LaTeX formula: (A-\lambda_i E)\bar{x_i}=0 . (1.20)

Пример 1. Найдите собственные значения и собственные векторы матрицы LaTeX formula: \begin{bmatrix} 5 & 2\\ 3 & 0 \end{bmatrix} .
Решение. Согласно формуле 1.19 запишем: LaTeX formula: \begin{vmatrix} 5-\lambda & 2\\ 3 & -\lambda \end{vmatrix}=0 , откуда LaTeX formula: -\lambda(5-\lambda)-6=0 , LaTeX formula: \lambda^2-5\lambda-6=0 , LaTeX formula: \lambda_{1}=-1 , LaTeX formula: \lambda_{2}=6 .
Найдем собственный вектор LaTeX formula: \bar{x_1}(x_1;x_2) , соответствующий собственному числу LaTeX formula: \lambda_1=-1 . Для этого согласно формуле 1.20 составим и решим систему уравнений: LaTeX formula: \begin{bmatrix} 6 & 2\\ 3 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x_1\\ x_2 \end{bmatrix}=0 , LaTeX formula: \left\{\begin{matrix} 6x_1+2x_2=0,\\ 3x_1+x_2=0 ; \end{matrix}\right. \left\{\begin{matrix} 3x_1+x_2=0,\\ 3x_1+x_2=0. \end{matrix}\right.     
Пусть LaTeX formula: x_1=c (LaTeX formula: c– любое отличное от нуля действительное число), тогда LaTeX formula: x_2=-3c . Полагая, например, LaTeX formula: c=1 , запишем:LaTeX formula: \bar{x_1}(1;-3) .
Аналогично найдем собственный вектор LaTeX formula: \bar{x_2}(x_1;x_2) , соответствующий собственному числу LaTeX formula: \lambda_2=6 : 
LaTeX formula: \begin{bmatrix} -1 & 2\\ 3 & -6 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x_1\\ x_2 \end{bmatrix}=0 , LaTeX formula: \left\{\begin{matrix} -x_1+2x_2=0,\\ 3x_1-6x_2=0 ; \end{matrix}\right. \left\{\begin{matrix} x_1-2x_2=0,\\ x_1-2x_2=0. \end{matrix}\right. 
Пусть LaTeX formula: x_2=c , тогда LaTeX formula: x_1=2c . Полагая, например, LaTeX formula: c=1 , запишем: LaTeX formula: \bar{x_2}(2;1) .
Ответ: LaTeX formula: \lambda_{1}=-1 , LaTeX formula: \lambda_{2}=6 , LaTeX formula: \bar{x_1}(1;-3) , LaTeX formula: \bar{x_2}(2;1) .

Каждому собственному числу матрицы может соответствовать множество коллинеарных собственных векторов.
formula