Обратная матрица /qualihelpy

Обратная матрица

Справочник / Студент / Матрицы и определители /

Справочный материал Примеры Обратите внимание! Видео Модели Пройти тесты

Дана квадратная матрица $LaTeX formula: A= \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ ... & ... & ... & ... \\ a_{n1}& a_{n2} & ... & a_{nn} \end{bmatrix}$ .

Квадратная матрица $LaTeX formula: A^{-1}$ является обратной к квадратной матрице

, если $LaTeX formula: A^{-1}A=AA^{-1}=E$ .

Матрицу, обратную к матрице LaTeX formula: A

, находят по формуле:

$LaTeX formula: A^{-1}=\frac{1}{\left | A \right |}\begin{bmatrix} A_{11} & A_{21} & ... & A_{n1}\\ A_{12} & A_{22} & ... & A_{n2}\\ ... & ... & ... & ...\\ A_{1n} & A_{2n} & ... & A_{nn} \end{bmatrix}$ , (1.15)

где $LaTeX formula: A_{ij}$ – алгебраическое дополнение элемента матрицы

– определитель матрицы LaTeX formula: A

Решение матричных уравнений

1. Если матричное уравнение имеет вид LaTeX formula: AX=B

, то матрицу LaTeX formula: X

находят по формуле

$LaTeX formula: X=A^{-1}B$ . (1.16)

2. Если матричное уравнение имеет вид LaTeX formula: XA=B

, то матрицу LaTeX formula: X

находят по формуле

$LaTeX formula: X=BA^{-1}$ . (1.17)

Пример 1. Найдите матрицу, обратную матрице $LaTeX formula: A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2\\ 3 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ .

Решение. По формуле 1.12 найдем определитель данной матрицы: $LaTeX formula: |A|=1 \cdot 2 \cdot 1+0+0-0-0-0=2$ .

По формуле 1.14 найдем алгебраические дополнения элементов матрицы LaTeX formula: A

$LaTeX formula: A_{11}=(-1)^{1+1}\cdot \begin{vmatrix} 2 & 0\\ 0 & 1 \end{vmatrix} =2$ ; $LaTeX formula: A_{12}=(-1)^3\cdot \begin{vmatrix} 3 & 0\\ 0 & 1 \end{vmatrix} =-3$ ; $LaTeX formula: A_{13}=(-1)^4\cdot \begin{vmatrix} 3 & 2\\ 0 & 0 \end{vmatrix} =0$ ; $LaTeX formula: A_{21}=(-1)^3\cdot \begin{vmatrix} 0 & 2\\ 0 & 1 \end{vmatrix} =0$ ;

$LaTeX formula: A_{22}=(-1)^4\cdot \begin{vmatrix} 1 & 2\\ 0 & 1 \end{vmatrix} =1$ ; $LaTeX formula: A_{23}=(-1)^5\cdot \begin{vmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{vmatrix} =0$ ; $LaTeX formula: A_{31}=(-1)^4\cdot \begin{vmatrix} 0 & 2\\ 2 & 0 \end{vmatrix} =-4$ ; $LaTeX formula: A_{32}=(-1)^5\cdot \begin{vmatrix} 1 & 2\\ 3 & 0 \end{vmatrix} =6$ ;

$LaTeX formula: A_{33}=(-1)^6\cdot \begin{vmatrix} 1 & 0\\ 3 & 2 \end{vmatrix} =2$ .

По формуле 1.15 получим:

$LaTeX formula: A^{-1}= \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 2 & 0 & -4\\ -3 & 1 & 6\\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & -2\\ -1,5 & 0,5 & 3\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ .

Проверка:

$LaTeX formula: A \cdot A^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2\\ 3 & 2 & 0\\ 0& 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2\\ -1/5 & 0,5 & 3\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=$ $LaTeX formula: \begin{pmatrix} 1+0+0 & 0+0+0 & -2+0+2\\ 3-3+0 & 0+1+0 & -6+6+0\\ 0+0+0 & 0+0+0 & 0+0+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=E$

Ответ: $LaTeX formula: A^{-1}= \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2\\ -1,5 & 0,5 & 3\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ .

Пример 2. Решите матричное уравнение LaTeX formula: AX=B

, если $LaTeX formula: B=\begin{bmatrix} 0 & 1\\ 4 & -1 \end{bmatrix}$ , а $LaTeX formula: A=\begin{bmatrix} 0 & -1\\ 2 & 1 \end{bmatrix}$ .

Решение. Согласно формуле 1.16 запишем: $LaTeX formula: X=A^{-1}B$ .

1. Найдем матрицу, обратную к матрице LaTeX formula: A

, по формуле:

$LaTeX formula: A^{-1}=\frac{1}{\left | A \right |}\begin{bmatrix} A_{11} & A_{21}\\ A_{12} & A_{22} \end{bmatrix}$ .

Найдем определитель матрицы LaTeX formula: A

$LaTeX formula: \left | A \right |=\begin{vmatrix} 0 & -1\\ 2 & 1 \end{vmatrix} =0 \cdot 1 - 2 \cdot (-1)=2$ .

По формуле 1.14 найдем алгебраические дополнения элементов матрицы LaTeX formula: A

$LaTeX formula: A_{11}=(-1)^{1+1}M_{11}=1 \cdot 1 = 1$ ; $LaTeX formula: A_{12}=(-1)^{1+2}M_{12}=-1 \cdot 2=-2$ ;

$LaTeX formula: A_{21}=(-1)^{2+1}M_{21}=-1 \cdot (-1)=1$ ; $LaTeX formula: A_{22}=(-1)^{2+2}M_{22}=1 \cdot 0=0$ .

Запишем: $LaTeX formula: A^{-1}=\frac{1}{2}\begin{bmatrix} 1 & 1\\ -2 & 0 \end{bmatrix}$ .

2. Найдем матрицу LaTeX formula: X

$LaTeX formula: X=A^{-1}B=\frac{1}{2}\cdot \begin{bmatrix} 1 & 1\\ -2 & 0 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 0 & 1\\ 4 & -1 \end{bmatrix} =$ $LaTeX formula: \frac{1}{2} \cdot \begin{bmatrix} 1\cdot 0+1\cdot 4 & 1\cdot 1+1\cdot(-1)\\ -2\cdot 1+0\cdot 4 & -2\cdot 1+0\cdot(-1) \end{bmatrix} = \frac{1}{2} \cdot \begin{bmatrix} 4 & 0\\ -2 & -2 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 2 & 0\\ -1 & -1 \end{bmatrix}$ .

Ответ: $LaTeX formula: X=\begin{bmatrix} 2 & 0\\ -1 & -1 \end{bmatrix}$ .

Если определитель матрицы равен нулю, то говорят, что матрица вырождена. Вырожденная матрица обратной матрицы не имеет.

Обратная матрица

Программа для просмотра моделей (МК-плеер) Файлы для скачивания M_6_Обратная_матрица

Обратная матрица