Справочный материал Примеры Обратите внимание! Модели
Дана квадратная матрица LaTeX formula: A= \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ ... & ... & ... & ... \\ a_{n1}& a_{n2} & ... & a_{nn} \end{bmatrix} .
Квадратная матрица LaTeX formula: A^{-1} является обратной к квадратной матрице LaTeX formula: A , если LaTeX formula: A^{-1}A=AA^{-1}=E . 
Матрицу, обратную к матрице LaTeX formula: A, находят по формуле:
LaTeX formula: A^{-1}=\frac{1}{\left | A \right |}\begin{bmatrix} A_{11} & A_{21} & ... & A_{n1}\\ A_{12} & A_{22} & ... & A_{n2}\\ ... & ... & ... & ...\\ A_{1n} & A_{2n} & ... & A_{nn} \end{bmatrix} , (1.15)
где LaTeX formula: A_{ij} – алгебраическое дополнение элемента матрицы LaTeX formula: ALaTeX formula: |A| – определитель матрицы LaTeX formula: A.
Решение матричных уравнений
1. Если матричное уравнение имеет вид LaTeX formula: AX=B , то матрицу LaTeX formula: X находят по формуле
LaTeX formula: X=A^{-1}B . (1.16)
2. Если матричное уравнение имеет вид LaTeX formula: XA=B , то матрицу LaTeX formula: X находят по формуле
LaTeX formula: X=BA^{-1} . (1.17)
Пример 1. Найдите матрицу, обратную матрице LaTeX formula: A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2\\ 3 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Решение. По формуле 1.12 найдем определитель данной матрицы: LaTeX formula: |A|=1 \cdot 2 \cdot 1+0+0-0-0-0=2.
По формуле 1.14 найдем алгебраические дополнения элементов матрицы LaTeX formula: A:
LaTeX formula: A_{11}=(-1)^{1+1}\cdot \begin{vmatrix} 2 & 0\\ 0 & 1 \end{vmatrix} =2LaTeX formula: A_{12}=(-1)^3\cdot \begin{vmatrix} 3 & 0\\ 0 & 1 \end{vmatrix} =-3LaTeX formula: A_{13}=(-1)^4\cdot \begin{vmatrix} 3 & 2\\ 0 & 0 \end{vmatrix} =0LaTeX formula: A_{21}=(-1)^3\cdot \begin{vmatrix} 0 & 2\\ 0 & 1 \end{vmatrix} =0;
LaTeX formula: A_{22}=(-1)^4\cdot \begin{vmatrix} 1 & 2\\ 0 & 1 \end{vmatrix} =1LaTeX formula: A_{23}=(-1)^5\cdot \begin{vmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{vmatrix} =0LaTeX formula: A_{31}=(-1)^4\cdot \begin{vmatrix} 0 & 2\\ 2 & 0 \end{vmatrix} =-4LaTeX formula: A_{32}=(-1)^5\cdot \begin{vmatrix} 1 & 2\\ 3 & 0 \end{vmatrix} =6;
LaTeX formula: A_{33}=(-1)^6\cdot \begin{vmatrix} 1 & 0\\ 3 & 2 \end{vmatrix} =2.
По формуле 1.15 получим: 
LaTeX formula: A^{-1}= \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 2 & 0 & -4\\ -3 & 1 & 6\\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & -2\\ -1,5 & 0,5 & 3\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Проверка: 
LaTeX formula: A \cdot A^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2\\ 3 & 2 & 0\\ 0& 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2\\ -1/5 & 0,5 & 3\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}= LaTeX formula: \begin{pmatrix} 1+0+0 & 0+0+0 & -2+0+2\\ 3-3+0 & 0+1+0 & -6+6+0\\ 0+0+0 & 0+0+0 & 0+0+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=E
Ответ: LaTeX formula: A^{-1}= \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2\\ -1,5 & 0,5 & 3\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Пример 2. Решите матричное уравнение LaTeX formula: AX=B , если LaTeX formula: B=\begin{bmatrix} 0 & 1\\ 4 & -1 \end{bmatrix} , а LaTeX formula: A=\begin{bmatrix} 0 & -1\\ 2 & 1 \end{bmatrix} .
Решение. Согласно формуле 1.16 запишем: LaTeX formula: X=A^{-1}B .
1. Найдем матрицу, обратную к матрице LaTeX formula: A, по формуле: 
LaTeX formula: A^{-1}=\frac{1}{\left | A \right |}\begin{bmatrix} A_{11} & A_{21}\\ A_{12} & A_{22} \end{bmatrix} .
Найдем определитель матрицы LaTeX formula: A
LaTeX formula: \left | A \right |=\begin{vmatrix} 0 & -1\\ 2 & 1 \end{vmatrix} =0 \cdot 1 - 2 \cdot (-1)=2 .
По формуле 1.14 найдем алгебраические дополнения элементов матрицы LaTeX formula: A:
LaTeX formula: A_{11}=(-1)^{1+1}M_{11}=1 \cdot 1 = 1 ; LaTeX formula: A_{12}=(-1)^{1+2}M_{12}=-1 \cdot 2=-2 ;
LaTeX formula: A_{21}=(-1)^{2+1}M_{21}=-1 \cdot (-1)=1 ; LaTeX formula: A_{22}=(-1)^{2+2}M_{22}=1 \cdot 0=0 .
Запишем: LaTeX formula: A^{-1}=\frac{1}{2}\begin{bmatrix} 1 & 1\\ -2 & 0 \end{bmatrix} .
2. Найдем матрицу LaTeX formula: X :
LaTeX formula: X=A^{-1}B=\frac{1}{2}\cdot \begin{bmatrix} 1 & 1\\ -2 & 0 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 0 & 1\\ 4 & -1 \end{bmatrix} =LaTeX formula: \frac{1}{2} \cdot \begin{bmatrix} 1\cdot 0+1\cdot 4 & 1\cdot 1+1\cdot(-1)\\ -2\cdot 1+0\cdot 4 & -2\cdot 1+0\cdot(-1) \end{bmatrix} = \frac{1}{2} \cdot \begin{bmatrix} 4 & 0\\ -2 & -2 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 2 & 0\\ -1 & -1 \end{bmatrix} .
Ответ: LaTeX formula: X=\begin{bmatrix} 2 & 0\\ -1 & -1 \end{bmatrix} .

Если определитель матрицы равен нулю, то говорят, что матрица вырождена. Вырожденная матрица обратной матрицы не имеет.
formula