Справочный материал
Примеры
Обратите внимание!
Видео
Модели
Пройти тесты
Определитель матрицы
Для определителя матрицы употребляются обозначения: , , .
Определитель квадратной матрицы – это число, которое находят по формулам:
; (1.11)
; (1.12)
, (1.13)
где – алгебраическое дополнение элемента матрицы .
Замечание. В формуле 1.13 определитель разложен по элементам первой строки. Тот же результат получим, если разложим определитель по элементам любой строки или любого столбца.
Минор
Минор элемента квадратной матрицы – это определитель этой матрицы, у которого отсутствует -я строка и -й столбец.
Алгебраическое дополнение
Алгебраическое дополнение элемента квадратной матрицы находят по формуле:
. (1.14)
Свойства определителей
1. Определитель не изменится при замене всех его строк соответствующими столбцами.
Например, .
2. При перестановке двух соседних строк (столбцов) определитель меняет знак.
Например, .
3. Определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами) равен нулю.
Например, .
4. Общий множитель строки (столбца) можно выносить за знак определителя.
Например, .
5. Если все элементы некоторой строки (столбца) равны нулю, то определитель равен нулю.
Например, .
6. Если к элементам некоторой строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), предварительно умножив их на одно и то же отличное от нуля число, то определитель не изменится.
Например, .
Ранг матрицы
Если в матрице произвольным образом выбратьстрок истолбцов и из элементов, стоящих на пересечении этих строк и столбцов, составить определитель, то получим минор порядкаэтой матрицы.
Рангом матрицы называют наибольший из порядков отличных от нуля ее миноров.
Ранг матрицы обозначают: , или , или .
Свойства ранга матрицы:
1. Ранги матрицы и матрицы равны.
2. Ранг матрицы не изменится, если из нее вычеркнуть или приписать к ней нулевую строку или нулевой столбец.
3. Ранг матрицы не изменится, если выполнить элементарные преобразования матрицы.
Пример 2. Найдем определитель матрицы . Применяя формулу 1.12, получим: .
Пример 3. Найдем миноры и матрицы . Согласно определению минора получим:
1) ; 2) .
Пример 4. Найдем алгебраические дополнения и матрицы . Согласно формуле 1.14 получим:
1) ;
2) .
Пример 5. Найдем определитель матрицы , применяя формулу 1.13.
Разложим определитель по элементам первой строки:
.
Пример 6. Найдем ранги матриц и .
1. Вычислим минор второго порядка матрицы :
.
Поскольку минор второго порядка не равен нулю, то ранг матрицы равен двум.
2. Вычислим минор второго порядка матрицы :
.
Поскольку минор второго порядка равен нулю, то ранг матрицы меньше двух. Так как все миноры первого порядка (элементы матрицы) отличны от нуля, то ранг матрицы равен.
1. Определитель матрицы третьего порядка можно вычислить по формуле:
.
2. Определитель треугольной матрицы равен произведению ее диагональных элементов:
.
3. Матрица, определитель которой равен нулю, называется вырожденной.
Определитель матрицы второго порядка
Определитель матрицы третьего порядка
Ранг матрицы
Минор матрицы
Минор элемента матрицы