Справочный материал Примеры Обратите внимание! Модели
Определитель матрицы
Для определителя матрицы употребляются обозначения: LaTeX formula: \left | A \right | , LaTeX formula: detA , LaTeX formula: \Delta .
Определитель квадратной матрицы – это число, которое находят по формулам: 
LaTeX formula: \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} =a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21} ; (1.11)
LaTeX formula: \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} =a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{21}a_{32}a_{13}LaTeX formula: -a_{13}a_{22}a_{31}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{23}a_{32}a_{11} ; (1.12)
LaTeX formula: \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n}\\ ... & ... & ... & ...\\ a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn} \end{vmatrix} =a_{11}A_{11}+a_{12}A_{12}+...a_{1n}A_{1n} , (1.13)
где LaTeX formula: A_{ij} – алгебраическое дополнение элемента LaTeX formula: a_{ij} матрицы LaTeX formula: A.
Замечание. В формуле 1.13 определитель разложен по элементам первой строки. Тот же результат получим, если разложим определитель по элементам любой строки или любого столбца.
Минор
Минор LaTeX formula: M_{ij} элемента LaTeX formula: a_{ij} квадратной матрицы – это определитель этой матрицы, у которого отсутствует LaTeX formula: i-я строка и LaTeX formula: j-й столбец. 
Алгебраическое дополнение
Алгебраическое дополнение LaTeX formula: A_{ij} элемента LaTeX formula: a_{ij} квадратной матрицы находят по формуле: 
LaTeX formula: A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij} . (1.14)
Свойства определителей
1. Определитель не изменится при замене всех его строк соответствующими столбцами.
Например, LaTeX formula: \begin{vmatrix} 2& 4 & 5\\ 0& 1 & 3\\ -7& 6 & 8 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 2 & 0 & -7\\ 4& 1 & 6\\ 5& 3 & 8 \end{vmatrix} .
2. При перестановке двух соседних строк (столбцов) определитель меняет знак. 
Например,  LaTeX formula: \begin{vmatrix} 1 & 0\\ -2 & 3 \end{vmatrix} = - \begin{vmatrix} -2 & 3\\ 1 & 0 \end{vmatrix} .
3. Определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами) равен нулю.
Например, LaTeX formula: \begin{vmatrix} 2 & 4 & 2\\ 0 & 1 & 0\\ -7 & 6 & -7 \end{vmatrix}=0 .
4. Общий множитель строки (столбца) можно выносить за знак определителя.
Например, LaTeX formula: \begin{vmatrix} 1 & 4 & 2\\ 0 & 2 & 0\\ -7 & 14 & -7 \end{vmatrix}=-7\cdot \begin{vmatrix} 1 & 4 & 2\\ 0 & 2 & 0\\ 1 & -2 & 1 \end{vmatrix}= -14\cdot \begin{vmatrix} 1 & 2 & 2\\ 0 & 1 & 0\\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix} .
5. Если все элементы некоторой строки (столбца) равны нулю, то определитель равен нулю.
Например, LaTeX formula: \begin{vmatrix} 2 & 4 & 2\\ 0 & 0 & 0\\ -7 & 14 & -7 \end{vmatrix}=0 .
6. Если к элементам некоторой строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), предварительно умножив их на одно и то же отличное от нуля число, то определитель не изменится.
Например, LaTeX formula: \begin{vmatrix} 1 & 0\\ -2 & 3 \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 1+2\cdot(-2) & 0+2\cdot 3\\ -2 & 3 \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} -3 & 6\\ -2& 3 \end{vmatrix}=3 .
Ранг матрицы
Если в матрице произвольным образом выбратьLaTeX formula: sстрок иLaTeX formula: sстолбцов и из элементов, стоящих на пересечении этих строк и столбцов, составить определитель, то получим минор порядкаLaTeX formula: sэтой матрицы. 
Рангом матрицы называют наибольший из порядков отличных от нуля ее миноров.
Ранг матрицы LaTeX formula: A обозначают: LaTeX formula: r , или LaTeX formula: r_A , или LaTeX formula: rang & A .
Свойства ранга матрицы: 
1. Ранги матрицы LaTeX formula: A и матрицы LaTeX formula: A^T равны.
2. Ранг матрицы не изменится, если из нее вычеркнуть или приписать к ней нулевую строку или нулевой столбец.
3. Ранг матрицы не изменится, если выполнить элементарные преобразования матрицы.

Пример 1. Найдем определитель матрицы LaTeX formula: \begin{bmatrix} 11 & -2\\ 6 & 1 \end{bmatrix} . Применяя формулу 1.11, получим:LaTeX formula: \Delta =\begin{vmatrix} 11 & -2\\ 6 & 1 \end{vmatrix}=11\cdot 1-(-2)\cdot 6=11+12=23 .
Пример 2. Найдем определитель матрицы LaTeX formula: A=\begin{bmatrix} 1 & 7 & 0\\ -3 & 5 & 1\\ 0 & 4 & 2 \end{bmatrix} . Применяя формулу 1.12, получим:LaTeX formula: detA=1\cdot 5\cdot 2+7\cdot 1\cdot 0+(-3)\cdot 4\cdot 0-0\cdot 5\cdot 0-7\cdot (-3)\cdot 2-1\cdot 4 \cdot 1=LaTeX formula: =48 .
Пример 3. Найдем миноры LaTeX formula: M_{11} и LaTeX formula: M_{32} матрицы LaTeX formula: A=\begin{bmatrix} 1 & 7 & 0\\ -3 & 5 & 1\\ 0 & 4 & 2 \end{bmatrix} . Согласно определению минора получим: 
1) LaTeX formula: M_{11}=\begin{vmatrix} 5 & 1\\ 4 & 2 \end{vmatrix}=5\cdot 2-1\cdot 4=6 ; 2) LaTeX formula: M_{32}=\begin{vmatrix} 1 & 0\\ -3 & 1 \end{vmatrix}=1\cdot 1+3\cdot 0=1 .
Пример 4. Найдем алгебраические дополнения LaTeX formula: A_{22} и LaTeX formula: A_{23} матрицы LaTeX formula: A=\begin{bmatrix} 1 & 7 & 0\\ -3 & 5 & 1\\ 0 & 4 & 2 \end{bmatrix} . Согласно формуле 1.14 получим: 
1) LaTeX formula: A_{22}= (-1)^4\cdot \begin{vmatrix} 1 & 0\\ 0& 2 \end{vmatrix}=2-0=2 ; 
2) LaTeX formula: A_{23}= (-1)^5\cdot \begin{vmatrix} 1 & 7\\ 0 & 4 \end{vmatrix}=-1\cdot (4-0)=-4 .
Пример 5. Найдем определитель матрицы LaTeX formula: A=\begin{bmatrix} 1 & -2 &0 \\ -3 & 5 & 1\\ 0 & 4 & 2 \end{bmatrix} , применяя формулу 1.13
Разложим определитель по элементам первой строки: 
LaTeX formula: \left | A \right |=1\cdot A_{11}-2\cdot A_{12}+0\cdot A_{13}=1^2\cdot \begin{vmatrix} 5 & 1 \\ 4 & 2 \end{vmatrix}-2\cdot (-1)^3\cdot \begin{vmatrix} -3 & 1\\ 0 & 2 \end{vmatrix}=6+2\cdot(-6)=LaTeX formula: =-6 .
Пример 6. Найдем ранги матриц LaTeX formula: A=\begin{bmatrix} 2 & -1\\ 4 & 2 \end{bmatrix} и LaTeX formula: B=\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 2 \end{bmatrix} . 
1. Вычислим минор второго порядка матрицы LaTeX formula: A :
LaTeX formula: \begin{vmatrix} 2 & -1\\ 4 & 2 \end{vmatrix}=4+4=8 . 
Поскольку минор второго порядка не равен нулю, то ранг матрицы равен двум.
2. Вычислим минор второго порядка матрицы LaTeX formula: B :
LaTeX formula: \begin{vmatrix} 2 & 1\\ 4 & 2 \end{vmatrix}=4-4=0 . 
Поскольку минор второго порядка равен нулю, то ранг матрицы меньше двух. Так как все миноры первого порядка (элементы матрицы) отличны от нуля, то ранг матрицы равенLaTeX formula: 1.

1. Определитель матрицы третьего порядка можно вычислить по формуле:
LaTeX formula: \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} =a_{11}\begin{vmatrix} a_{22} & a_{23}\\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}-a_{12}\begin{vmatrix} a_{21} & a_{23}\\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} +a_{13}\begin{vmatrix} a_{21} & a_{22}\\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} . 
2. Определитель треугольной матрицы равен произведению ее диагональных элементов:
LaTeX formula: \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ 0 & a_{22} & a_{23}\\ 0 & 0 & a_{33} \end{vmatrix} =a_{11}a_{22}a_{33} .
3. Матрица, определитель которой равен нулю, называется вырожденной.

formula