Матрицы: основные понятия и определения /qualihelpy

Матрицы: основные понятия и определения

Справочник / Студент / Матрицы и определители /

Справочный материал Примеры Обратите внимание! Модели

Матрицей размеров $LaTeX formula: n\times m$ называют систему чисел, записанных в виде прямоугольной таблицы, имеющей

строк и

столбцов:

$LaTeX formula: \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1m} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2m} \\ ... & ... & ... & ... \\ a_{n1}& a_{n2} & ... & a_{nm} \end{bmatrix}$ , $LaTeX formula: \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1m} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2m} \\ ... & ... & ... & ... \\ a_{n1}& a_{n2} & ... & a_{nm} \end{pmatrix}$ , $LaTeX formula: \begin{Vmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1m} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2m} \\ ... & ... & ... & ... \\ a_{n1}& a_{n2} & ... & a_{nm} \end{Vmatrix}$ . (1.1)

Числа $LaTeX formula: a_{ij}$ называют элементами матрицы 1.1, где LaTeX formula: i=1,2,3,...,n

Числа

называют индексами элемента $LaTeX formula: a_{ij}$ .

Матрицу обозначают одной заглавной буквой LaTeX formula: A

и т. д.

Для матрицы употребляют и другие обозначения:

$LaTeX formula: \left [ a_{ij} \right ]$ , $LaTeX formula: \left ( a_{ij} \right )$ , $LaTeX formula: \left \| a_{ij} \right \|$ .

Матрицы называют равными, если они имеют одинаковые размеры и их соответствующие элементы равны.

Виды матриц

1. Квадратная матрица порядка LaTeX formula: n

содержит

строк и

столбцов:

$LaTeX formula: A_{n \times n} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ ... & ... & ... & ... \\ a_{n1}& a_{n2} & ... & a_{nn} \end{bmatrix}$ ; (1.2)

Например, $LaTeX formula: A=\begin{pmatrix} 3 & 1\\ -2 & -3 \end{pmatrix}$ – квадратная матрица второго порядка.

В квадратной матрице различают главную и побочную диагонали. Покажем это на примере квадратной матрицы третьего порядка:

$LaTeX formula: A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31}& a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}$ .

Диагональ, содержащую элементы $LaTeX formula: a_{11}$ , $LaTeX formula: a_{22}$ и $LaTeX formula: a_{33}$ , называют главной, а диагональ, содержащую элементы $LaTeX formula: a_{13}$ , $LaTeX formula: a_{22}$ и $LaTeX formula: a_{31}$ , называют побочной.

Например, главная диагональ матрицы $LaTeX formula: A = \begin{bmatrix} 4 & -7 & -2 \\ 3 & 2 & 5 \\ 0 & 9 & 8 \end{bmatrix}$ содержит числа LaTeX formula: 4

, а побочная диагональ содержит числа LaTeX formula: 0

2. Треугольная матрица – это квадратная матрица, которая содержит под главной диагональю (или над главной диагональю) только нули:

$LaTeX formula: A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1m} \\ 0 & a_{22} & ... & a_{2m} \\ ... & ... & ... & ... \\ 0 & 0 & ... & a_{nn} \end{bmatrix}$ или $LaTeX formula: A=\begin{bmatrix} a_{11} & 0 & ... & 0 \\ a_{21} & a_{22} & ... & 0 \\ ... & ... & ... & ... \\ a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nm} \end{bmatrix}$ . (1.3)

3. Диагональная матрица – это квадратная матрица, у которой элементы, не стоящие на главной диагонали – нули:

$LaTeX formula: D_{n \times n}=\begin{bmatrix} a_{11} & 0 & ... & 0 \\ 0 & a_{22} & ... & 0 \\ ... & ... & ... & ... \\ 0 & 0 & ... & a_{nn} \end{bmatrix}$ . (1.4)

4. Единичная матрица – это диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали – единицы:

$LaTeX formula: E_{n \times n}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & ... & 0 \\ 0 & 1 & ... & 0 \\ ... & ... & ... & ... \\ 0 & 0 & ... & 1 \end{bmatrix}$ . (1.5)

5. Нулевая матрица – это матрица, у которой все элементы нули:

$LaTeX formula: O_{m \times n}=\begin{bmatrix} 0 & 0 & ... & 0 \\ 0 & 0 & ... & 0 \\ ... & ... & ... & ... \\ 0 & 0 & ... & 0 \end{bmatrix}$ . (1.6)

6. Матрица-строка содержит только одну строку:

$LaTeX formula: A_{1 \times n}=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \end{bmatrix}$ . (1.7)

7. Матрица-столбец содержит только один столбец:

$LaTeX formula: A_{n \times 1}=\begin{bmatrix} a_{11}\\ a_{21}\\ ...\\ a_{n1} \end{bmatrix}$ . (1.8)

Пример 1. Виды матриц:

1) матрицы $LaTeX formula: \begin{bmatrix} 0 & 0\\ 0 & 0\\ 0& 0 \end{bmatrix}$ и $LaTeX formula: \begin{bmatrix} 0 & 0\\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ – нулевые;

2) матрицы $LaTeX formula: \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ и $LaTeX formula: \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ – единичные;

3) матрицы $LaTeX formula: \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & -2 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ и $LaTeX formula: \begin{pmatrix} 4 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ – диагональные;

4) матрицы $LaTeX formula: A=\begin{bmatrix} 4 & 0 & -2\\ 0 & 2 & 5\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ и $LaTeX formula: B=\begin{bmatrix} 4 & 0 & 0\\ -1 & 2 & 0\\ 0 & 3 & 1 \end{bmatrix}$ – треугольные.

1. Диагональная, единичная и треугольная матрицы – квадратные.

2. Матрицы $LaTeX formula: A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 4 & -2\\ 0 & 5 & 6 & 8\\ 0 & 0 & 3 & 2 \end{bmatrix}$ и $LaTeX formula: B=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 3& 5 & 0 & 0\\ 4 & 7 & 3 & 0 \end{bmatrix}$ называют квазитреугольными или трапециевидными.

Программа для просмотра моделей (МК-плеер) Файлы для скачивания m_1_виды_матриц