Справочный материал Примеры Обратите внимание! Модели
Матрицей размеров LaTeX formula: n\times m называют систему чисел, записанных в виде прямоугольной таблицы, имеющейLaTeX formula: nстрок иLaTeX formula: mстолбцов: 
LaTeX formula: \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1m} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2m} \\ ... & ... & ... & ... \\ a_{n1}& a_{n2} & ... & a_{nm} \end{bmatrix} , LaTeX formula: \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1m} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2m} \\ ... & ... & ... & ... \\ a_{n1}& a_{n2} & ... & a_{nm} \end{pmatrix} , LaTeX formula: \begin{Vmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1m} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2m} \\ ... & ... & ... & ... \\ a_{n1}& a_{n2} & ... & a_{nm} \end{Vmatrix}. (1.1)
Числа LaTeX formula: a_{ij} называют элементами матрицы  1.1, где LaTeX formula: i=1,2,3,...,n , LaTeX formula: j=1,2,3,...,m . 
Числа LaTeX formula: i и LaTeX formula: j называют индексами элемента LaTeX formula: a_{ij}
Матрицу обозначают одной заглавной буквой LaTeX formula: A , LaTeX formula: B , LaTeX formula: CLaTeX formula: D и т. д.
Для матрицы употребляют и другие обозначения: 
LaTeX formula: \left [ a_{ij} \right ] , LaTeX formula: \left ( a_{ij} \right ) , LaTeX formula: \left \| a_{ij} \right \|  .
Матрицы называют равными, если они имеют одинаковые размеры и их соответствующие элементы равны. 
Виды матриц 
1. Квадратная матрица порядкаLaTeX formula: nсодержитLaTeX formula: nстрок иLaTeX formula: nстолбцов:
 LaTeX formula: A_{n \times n} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ ... & ... & ... & ... \\ a_{n1}& a_{n2} & ... & a_{nn} \end{bmatrix} ; (1.2)
Например, LaTeX formula: A=\begin{pmatrix} 3 & 1\\ -2 & -3 \end{pmatrix} – квадратная матрица второго порядка. 
В квадратной матрице различают главную и побочную диагонали. Покажем это на примере квадратной матрицы третьего порядка:
LaTeX formula: A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31}& a_{32} & a_{33} \end{bmatrix} . 
Диагональ, содержащую элементы LaTeX formula: a_{11},LaTeX formula: a_{22} и LaTeX formula: a_{33}, называют главной, а диагональ, содержащую элементы LaTeX formula: a_{13} , LaTeX formula: a_{22}  и LaTeX formula: a_{31} , называют побочной
Например, главная диагональ матрицы LaTeX formula: A = \begin{bmatrix} 4 & -7 & -2 \\ 3 & 2 & 5 \\ 0 & 9 & 8 \end{bmatrix} содержит числа LaTeX formula: 4LaTeX formula: 2 и LaTeX formula: 8, а побочная диагональ содержит числа LaTeX formula: 0LaTeX formula: 2 и LaTeX formula: -2.
2. Треугольная матрица – это квадратная матрица, которая содержит под главной диагональю (или над главной диагональю) только нули: 
LaTeX formula: A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1m} \\ 0 & a_{22} & ... & a_{2m} \\ ... & ... & ... & ... \\ 0 & 0 & ... & a_{nn} \end{bmatrix} или LaTeX formula: A=\begin{bmatrix} a_{11} & 0 & ... & 0 \\ a_{21} & a_{22} & ... & 0 \\ ... & ... & ... & ... \\ a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nm} \end{bmatrix} . (1.3)
3. Диагональная матрица – это квадратная матрица, у которой элементы, не стоящие на главной диагонали – нули: 
LaTeX formula: D_{n \times n}=\begin{bmatrix} a_{11} & 0 & ... & 0 \\ 0 & a_{22} & ... & 0 \\ ... & ... & ... & ... \\ 0 & 0 & ... & a_{nn} \end{bmatrix} . (1.4)
4. Единичная матрица – это диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали – единицы: 
LaTeX formula: E_{n \times n}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & ... & 0 \\ 0 & 1 & ... & 0 \\ ... & ... & ... & ... \\ 0 & 0 & ... & 1 \end{bmatrix} . (1.5)
5. Нулевая матрица – это матрица, у которой все элементы нули: 
LaTeX formula: O_{m \times n}=\begin{bmatrix} 0 & 0 & ... & 0 \\ 0 & 0 & ... & 0 \\ ... & ... & ... & ... \\ 0 & 0 & ... & 0 \end{bmatrix} . (1.6)
6. Матрица-строка содержит только одну строку: 
LaTeX formula: A_{1 \times n}=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \end{bmatrix} . (1.7)
7. Матрица-столбец содержит только один столбец: 
LaTeX formula: A_{n \times 1}=\begin{bmatrix} a_{11}\\ a_{21}\\ ...\\ a_{n1} \end{bmatrix} . (1.8)
Пример 1. Виды матриц:
1) матрицы LaTeX formula: \begin{bmatrix} 0 & 0\\ 0 & 0\\ 0& 0 \end{bmatrix} и LaTeX formula: \begin{bmatrix} 0 & 0\\ 0 & 0 \end{bmatrix} – нулевые;
2) матрицы LaTeX formula: \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} и LaTeX formula: \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} – единичные;
3) матрицы LaTeX formula: \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & -2 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} и LaTeX formula: \begin{pmatrix} 4 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} – диагональные;
4) матрицы LaTeX formula: A=\begin{bmatrix} 4 & 0 & -2\\ 0 & 2 & 5\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} и LaTeX formula: B=\begin{bmatrix} 4 & 0 & 0\\ -1 & 2 & 0\\ 0 & 3 & 1 \end{bmatrix} – треугольные.

1. Диагональная, единичная и треугольная матрицы – квадратные.
2. Матрицы LaTeX formula: A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 4 & -2\\ 0 & 5 & 6 & 8\\ 0 & 0 & 3 & 2 \end{bmatrix} и LaTeX formula: B=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 3& 5 & 0 & 0\\ 4 & 7 & 3 & 0 \end{bmatrix} называют квазитреугольными или трапециевидными.

formula