Справочный материал Примеры Обратите внимание! Модели
Статистическими гипотезами называют предположения, выдвигаемые на основании выборочных исследований относительно характера или параметров распределения случайной величины в генеральной совокупности. 
Гипотеза называется параметрической, если в ней содержится некоторое утверждение относительно параметра известного распределения. 
Гипотеза называется непараметрической, если в ней содержится утверждение относительно вида распределения. 
Как правило, выдвигают основную (нулевую) гипотезу и альтернативную гипотезу  LaTeX formula: H_1 которая является логическим отрицанием гипотезы LaTeX formula: H_0 . 
Проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности
Приведем алгоритм проверки гипотезы  LaTeX formula: H_0  о согласии выборочного распределения с законом нормального распределения LaTeX formula: CBX при уровне значимости LaTeX formula: \alpha . 
Гипотезы: LaTeX formula: H_0:CBX\in N(\alpha ;\sigma ) ; LaTeX formula: H_0:CBX\notin N(\alpha ;\sigma ) .
1. Построим интервальный вариационный ряд для значений признака LaTeX formula: CBX:l – число интервалов;  LaTeX formula: m_i – число значений признака LaTeX formula: Xпопавших в  LaTeX formula: i--й интервалLaTeX formula: n – объем выборки .
2. Найдем точечные оценки параметров распределения:  LaTeX formula: a\approx \overline{X} и LaTeX formula: \sigma \approx s .
3. Запишем гипотетическую функцию нормального распределения:
LaTeX formula: F(x)=\frac{1}{2}+\Phi (\frac{x-a}{\sigma }) . (11.21)
4. Вычислим вероятности LaTeX formula: p_i  попадания LaTeX formula: CBX в частичный LaTeX formula: i-й интервал LaTeX formula: (\alpha_i ;\beta_i ) : 
LaTeX formula: p_i=P(\alpha _i<X<\beta _i)=\Phi (\frac{\beta _i-a}{\sigma })-\Phi(\frac{\alpha _i-a}{\sigma })(11.22) 
5. Вычислим теоретические частоты LaTeX formula: np_i . 
6Найдем LaTeX formula: \chi ^2 - статистику Пирсона:
LaTeX formula: \chi ^2=\sum_{i=1}^{l}\frac{(m_i-np_i)^2}{np_i}. (11.23)
7. По таблице  LaTeX formula: \chi ^2 - распределения при заданном уровне значимости  LaTeX formula: \alpha и числу степеней свободы  LaTeX formula: v=l-1-r (LaTeX formula: r=2 – число параметров проверяемого закона) найдем LaTeX formula: \chi ^2_{a,v} .
8. Сравним LaTeX formula: \chi ^2 и LaTeX formula: \chi ^2_{a,v} :
1) если LaTeX formula: \chi ^2<\chi ^2_{a,v} , то гипотеза  LaTeX formula: H_0 принимается
2) если LaTeX formula: \chi ^2\geq \chi ^2_{a,v , то гипотеза  LaTeX formula: H_0 отвергается.
Проверка гипотезы об отсутствии корреляционной связи
Из генеральной совокупности LaTeX formula: (X;Y) , имеющей нормальное распределение, извлечена выборка объема LaTeX formula: n и для нее найден выборочный коэффициент корреляции LaTeX formula: r_{XY}\neq 0 . 
ГипотезыLaTeX formula: H_0:R_{XY}=0 ; LaTeX formula: H_0:R_{XY}\neq 0 .
Проверим нулевую гипотезу о равенстве нулю коэффициента корреляции генеральной совокупности.
1. Вычислим наблюдаемое значение критерия LaTeX formula: T
LaTeX formula: T=\frac{r_{XY}\sqrt{n-2}}{\sqrt{1-r_{XY}^2}}(11.24)
2По заданному уровню значимости LaTeX formula: \alpha  и числу степеней свободы  LaTeX formula: v=n-2 по таблице критических точек распределения Стьюдента находим критическую точку односторонней критической области
 LaTeX formula: t_{\kappa \rho}=(\frac{\alpha }{2};v)(11.25)
3Сравниваем  LaTeX formula: T и LaTeX formula: t_{\kappa \rho} : 
1)  если LaTeX formula: \left | T \right |<t_{\kappa \rho} , то гипотезу LaTeX formula: H_0 принимаем
2)  если LaTeX formula: \left | T \right |>t_{\kappa \rho} , то гипотезу  LaTeX formula: H_0 отклоняем.
Пример 1. Из всех студентов факультета было случайным образом выбрано LaTeX formula: 32 человека и выписаны их экзаменационные оценки по дисциплине «Высшая математика»:
LaTeX formula: 1LaTeX formula: 7LaTeX formula: 7LaTeX formula: 3LaTeX formula: 8LaTeX formula: 7LaTeX formula: 4LaTeX formula: 1LaTeX formula: 3LaTeX formula: 7LaTeX formula: 2LaTeX formula: 3LaTeX formula: 5LaTeX formula: 6LaTeX formula: 4LaTeX formula: 5LaTeX formula: 6LaTeX formula: 7LaTeX formula: 8LaTeX formula: 5LaTeX formula: 9LaTeX formula: 5LaTeX formula: 4LaTeX formula: 6LaTeX formula: 8LaTeX formula: 4LaTeX formula: 6LaTeX formula: 1LaTeX formula: 4LaTeX formula: 5LaTeX formula: 1LaTeX formula: 6.
Необходимо проверить гипотезу LaTeX formula: H_0  о согласии выборочного распределения с законом нормального распределения LaTeX formula: CBX при уровне значимости LaTeX formula: \alpha =0,01 .
Решение. 1. Построим интервальный вариационный ряд для значений признака LaTeX formula: CBX
LaTeX formula: x_{min}=1 , LaTeX formula: x_{max}=9 , LaTeX formula: R=9-1=8 , LaTeX formula: l=5 , LaTeX formula: h=8:5=1,6 . 
2. Найдем точечные оценки параметров распределения. 
По формуле 11.10 получим: 
 LaTeX formula: a\approx \overline{X}=\frac{1}{32}(1,8\cdot 5+3,4\cdot 8+5\cdot 5+6,6\cdot 10+8,2\cdot 4)=5 – средняя оценка.
По формуле 11.4 получим: 
LaTeX formula: \overline{X}^2=\frac{1}{32}(8,24+92,48+125+435,6+268,96)=29,07 .
По формуле 11.3 получим: LaTeX formula: \overline{D}=29,07-25=4,07 .
По формуле 11.12 найдем эмпирический стандарт: LaTeX formula: s=\sqrt{\frac{32}{31}\cdot 4,07}\approx 2,049 .
3. По формуле 11.22 и таблице значений функции Лапласа (см. вкладку Обратите внимание) вычислим вероятности  LaTeX formula: p_i попадания LaTeX formula: CBX в частичный LaTeX formula: i-й интервал: 
LaTeX formula: p_1=P(-\infty <X<2,6)=\Phi (\frac{2,6-5}{2,049})-\Phi (-\infty )=LaTeX formula: \Phi (-1,17)+\Phi (\infty )=-0,375+0,5=0,121 ;
LaTeX formula: p_2=\Phi (\frac{4,2-5}{2,049})-\Phi (-1,17)=\Phi (-0,39 )+0,379=-0,1517+0,379=0,2273 LaTeX formula: =0,2273;
LaTeX formula: p_3=\Phi (\frac{5,8-5}{2,049})-\Phi (-0,39)=\Phi (0,39 )+0,1517=0,1517+0,1517=0,3034 LaTeX formula: 0,3034;
LaTeX formula: p_4=\Phi (\frac{7,4-5}{2,049})-\Phi (0,39)=\Phi (1,17 )-0,1517=0,2273 ;
LaTeX formula: p_5=\Phi (+\infty)-\Phi (1,17)=0,5-0,379=0,121 .
4. Все расчеты представим в таблице: 
5. По формуле 11.23 получим: LaTeX formula: \chi ^2=3,7069 . По таблице LaTeX formula: \chi ^2 -распределения (см. вкладку Обратите внимание) при заданном уровне значимости LaTeX formula: \alpha =0,01 и числу степеней свободы LaTeX formula: v=5-1-2=2  получим: LaTeX formula: \chi ^2_{0,01;2}=9,21 . Поскольку LaTeX formula: \chi ^2<\chi ^2_{\alpha ;v} , то гипотеза  LaTeX formula: H_0 принимается. Следовательно, оценки студентов распределены нормально, а функция распределения 11.21 имеет вид: LaTeX formula: F(x)=\frac{1}{2}+\Phi (\frac{x-5}{2,049}) . 
ОтветLaTeX formula: CBX\in N(5;2,049) .
Пример 2. Проверьте на уровне значимость LaTeX formula: 0,01 гипотезу о равенстве нулю коэффициента корреляции генеральной совокупности, если выборочный коэффициент корреляции равен LaTeX formula: 0,95, а объем выборки равен LaTeX formula: 42.
РешениеLaTeX formula: H_0:R_{XY}=0 ; LaTeX formula: H_1:R_{XY}\neq 0 .
1. По формуле 11.24 вычислим наблюдаемое значение критерия: LaTeX formula: T=\frac{0,95\sqrt{42-2}}{\sqrt{1-(0,95)^2}}\approx 19,25 .
2. По заданному уровню значимости LaTeX formula: \alpha =0,01  и числу степеней свободы  LaTeX formula: v=40-2=38 по формуле 11.25 и таблице критических точек распределения Стьюдента (см. вкладку Обратите внимание) находим критическую точку односторонней критической области: LaTeX formula: t_{\kappa \rho }(\frac{0,01}{2};40)=2,704 .
3. Так как если LaTeX formula: \left | T \right |>t_{\kappa \rho } , то гипотезу LaTeX formula: H_0  отклоняем и принимаем гипотезу LaTeX formula: H_1:R_{XY}\neq 0 . 
ОтветLaTeX formula: R_{XY}\neq 0 .
1. Проверяя гипотезу о нормальном распределении LaTeX formula: CBX, первый промежуток интервального вариационного ряда  LaTeX formula: [x_1;x_2)  заменяем интервалом LaTeX formula: (-\infty ;x_2) , а последний отрезок  LaTeX formula: [x_{k-1};x_k] – промежутком LaTeX formula: [x_{k-1};+\infty )
2. Точечная оценка математического ожидания:
LaTeX formula: a\approx \overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_im_i . (11.10)
Точечная оценка среднего квадратического отклонения (эмпирический стандарт): 
LaTeX formula: s=\sqrt{\frac{n}{n-1}\cdot \overline{D}} . (11.12)
где LaTeX formula: \overline{D}=\overline{X^2}-(\overline{X})^2 , (11.3)                          
LaTeX formula: \overline{X^2}=\frac{1}{n}\sum_{i-1}^{n}x_i^2m_i . (11.4)
3. Распределение Стьюдента (t-распределение)
LaTeX formula: v - число степеней свободы, LaTeX formula: \alpha - уровень значимости.
4. Таблица LaTeX formula: \chi^2 -распределение
5. Таблица значений функции  LaTeX formula: \Phi (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\int_{0}^{x}e^{\frac{t^2}{2}}dt
formula