Справочный материал
Примеры
Обратите внимание!
Видео
Модели
Пройти тесты
Рассмотрим случайную величину , имеющую нормальное распределение: .
Точечные оценки.
Точечной оценкой математического ожидания генеральной совокупности является выборочная средняя:
. (11.10)
Точечной оценкой среднего квадратического отклонения является эмпирический стандарт .
Исправленную дисперсию находят по формуле:
; (11.11)
Эмпирический стандарт находят по формуле:
. (11.12)
где ,
Интервальные оценки
1. Доверительный интервал для оценки математического ожидания:
. (11.13)
Если среднее квадратическое отклонение известно, то
, (11.14)
где – корень уравнения , – объем выборки, – доверительная вероятность.
Доверительный интервал, который покрывает неизвестный параметр с надежностью , имеет вид:
. (11.15)
Если среднее квадратическое отклонение неизвестно, то
, (11.16)
где – аргумент функции Стьюдента (см. вкладку Обратите внимание), – точечная оценка .
Доверительный интервал, который покрывает неизвестный параметр с надежностью , имеет вид:
. (11.17)
2. Доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения нормально распределенной , если и неизвестны:
, (11.18)
где
, (11.19)
. (11.20)
Значения и определяются по таблице -распределения (см. вкладку Обратите внимание).
Пример. Найдите точечные и интервальные оценки параметров нармального распределения:
Решение. 1. Найдем точечные оценки параметров распределения.
В качестве значений возьмем середины интервалов:
.
По формуле получим: .
По формуле получим: .
2. С вероятностью 99% найдем доверительный интервал для математического ожидания СВХ.
3. С вероятностью найдем доверительный интервал для среднего квадратического отклонения .
По формуле 11.19 и таблице значений -распределения (см. вкладку Обратите внимание) получим: , откуда .
Ответ: ; ; с надежностью ; с надежностью .
1. Случайная величина распределена по нормальному закону с параметрами и , если ее функция распределения имеет вид: . Записывают: , причем , .
2. Распределение Стьюдента (t-распределение)
– число степеней свободы, – уровень значимости.
3. Таблица - распределение