Справочный материал
Примеры
Обратите внимание!
Видео
Модели
Пройти тесты
. (11.10)
; (11.11)
. (11.12)
. (11.13)
, (11.14)
. (11.15)
, (11.16)
. (11.17)
, (11.18)
, (11.19)
. (11.20)

.
– число степеней свободы,
– уровень значимости.

Рассмотрим случайную величину
, имеющую нормальное распределение:
.


Точечные оценки.
Точечной оценкой математического ожидания
генеральной совокупности является выборочная средняя:


Точечной оценкой среднего квадратического отклонения
является эмпирический стандарт
.


Исправленную дисперсию находят по формуле:

Эмпирический стандарт находят по формуле:

где
,


Интервальные оценки
1. Доверительный интервал для оценки математического ожидания:

Если среднее квадратическое отклонение
известно, то


где
– корень уравнения
,
– объем выборки,
– доверительная вероятность.




Доверительный интервал, который покрывает неизвестный параметр
с надежностью
, имеет вид:



Если среднее квадратическое отклонение
неизвестно, то


где
– аргумент функции Стьюдента (см. вкладку Обратите внимание),
– точечная оценка
.



Доверительный интервал, который покрывает неизвестный параметр
с надежностью
, имеет вид:



2. Доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения нормально распределенной
, если
и
неизвестны:




где


Значения
и
определяются по таблице
-распределения (см. вкладку Обратите внимание).



Пример. Найдите точечные и интервальные оценки параметров нармального распределения:

Решение. 1. Найдем точечные оценки параметров распределения.
В качестве значений
возьмем середины интервалов:



По формуле
получим:
.


По формуле
получим:
.


2. С вероятностью 99% найдем доверительный интервал для математического ожидания СВХ.
3. С вероятностью
найдем доверительный интервал для среднего квадратического отклонения
.


По формуле 11.19 и таблице значений
-распределения (см. вкладку Обратите внимание) получим:
, откуда
.



Ответ:
;
; с надежностью
;
с надежностью
.





1. Случайная величина
распределена по нормальному закону с параметрами
и
, если ее функция распределения имеет вид:
. Записывают:
, причем
,
.







2. Распределение Стьюдента (t-распределение)



3. Таблица
- распределение

