Справочный материал Примеры Обратите внимание! Модели
Рассмотрим случайную величину LaTeX formula: X, имеющую нормальное распределение:  LaTeX formula: X\in N(a;\sigma )
Точечные оценки. 
Точечной оценкой математического ожидания LaTeX formula: a генеральной совокупности является выборочная средняя: 
LaTeX formula: a\approx \overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}m_{i}. (11.10)
Точечной оценкой среднего квадратического отклонения  LaTeX formula: \sigma является эмпирический стандарт LaTeX formula: s.
Исправленную дисперсию находят по формуле: 
LaTeX formula: s^{2} =\frac{n}{n-1}\bar{D}; (11.11)
Эмпирический стандарт находят по формуле: 
LaTeX formula: s=\sqrt{\frac{n}{n-1}\cdot \bar{D}}. (11.12)
где LaTeX formula: \bar{D}=\bar{X^{2}}-(\bar{X})^{2},  LaTeX formula: a\approx \overline{X^{2}}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}m_{i} 
Интервальные оценки 
1. Доверительный интервал для оценки математического ожидания:
LaTeX formula: \bar{X}-\delta < a< \bar{X}+\delta. (11.13)
Если среднее квадратическое отклонение LaTeX formula: \sigma  известно, то 
LaTeX formula: \delta =\frac{\sigma t_{\alpha }}{\sqrt{n}}, (11.14)
где  LaTeX formula: t_{\alpha } – корень уравнения  LaTeX formula: 2\phi (t)=\gammaLaTeX formula: n – объем выборки,  LaTeX formula: \gamma =1-\alpha – доверительная вероятность.
Доверительный интервал, который покрывает неизвестный параметр LaTeX formula: a с надежностью  LaTeX formula: \gamma, имеет вид:
LaTeX formula: I=\left ( \overline{X}-\frac{\sigma t_{\alpha }}{\sqrt{n}} ;\overline{X}+\frac{\sigma t_{\alpha }}{\sqrt{n}}\right ). (11.15)
Если среднее квадратическое отклонение LaTeX formula: \sigma  неизвестно, то 
LaTeX formula: \delta =\frac{t_{\gamma ,n-1}\cdot s}{\sqrt{n}}, (11.16)
где  LaTeX formula: {t_{\gamma ,n-1} – аргумент функции Стьюдента (см. вкладку Обратите внимание), LaTeX formula: s – точечная оценка  LaTeX formula: \sigma
Доверительный интервал, который покрывает неизвестный параметр LaTeX formula: a с надежностью  LaTeX formula: \gamma, имеет вид:
LaTeX formula: I=\left ( \bar{X}-\frac{t_{\gamma ,n-1}\cdot s}{\sqrt{n}};\bar{X}+\frac{t_{\gamma ,n-1}\cdot s}{\sqrt{n}}\right ). (11.17)
2. Доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения нормально распределенной LaTeX formula: CBX, если LaTeX formula: a и  LaTeX formula: \sigma неизвестны:
LaTeX formula: \frac{s\sqrt{n-1}}{\chi _{2}}< \sigma < \frac{s\sqrt{n-1}}{\chi _{1}}, (11.18)
где
LaTeX formula: \chi_{1}^{2}=\chi ^{2}\left ( \frac{1+\gamma }{2};n-1 \right ), (11.19) 
LaTeX formula: \chi_{2}^{2}=\chi ^{2}\left ( \frac{1-\gamma }{2};n-1 \right ). (11.20)
Значения  LaTeX formula: X_{1}^{2} и LaTeX formula: X_{2}^{2}  определяются по таблице  LaTeX formula: X^{2}-распределения (см. вкладку Обратите внимание).
Пример. Найдите точечные и интервальные оценки параметров нармального распределения:
Решение. 1. Найдем точечные оценки параметров распределения.
В качестве значений  LaTeX formula: x_{i} возьмем середины интервалов:
По формуле 11.10 найдем точечную оценку математического ожидания: 
 LaTeX formula: a\approx \overline{X}=\frac{1}{35}(2\cdot 5+4\cdot 8+6\cdot 9+8\cdot 8+10\cdot 5)=6.
По формуле  LaTeX formula: \overline{X^{2}}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}m_{i}  получим:  LaTeX formula: \overline{X^{2}}=\frac{1}{35}(4\cdot 5+16\cdot 8+36\cdot 9+64\cdot 8+100\cdot 5)=42,4.
По формуле  LaTeX formula: \overline{D}=\overline{X^{2}}-(\overline{X})^{2} получим:  LaTeX formula: \overline{D}=42,4-36=6,4.
По формуле 11.12 найдем эмпирический стандарт:  LaTeX formula: s=\sqrt{\frac{35}{34}\cdot 6,4}\approx 2,57.
2. С вероятностью 99% найдем доверительный интервал для математического ожидания СВХ.
По формуле 11.16 и таблице распределения Стьюдента (см. вкладку Обратите внимание) получим:  LaTeX formula: \delta =\frac{2,57\cdot t_{\frac{0,01}{2};34}}{\sqrt{35}}=\frac{2,57\cdot 2,75}{5,92}=1,19.
Согласно формуле 11.17 запишем:  LaTeX formula: 6-1,19< M(X)< 6+1,19,  LaTeX formula: 4,81< M(X)< 7,19.
3. С вероятностью LaTeX formula: 99\% найдем доверительный интервал для среднего квадратического отклонения LaTeX formula: CBX
По формуле 11.19 и таблице значений  LaTeX formula: \chi ^{2}-распределения (см. вкладку Обратите внимание) получим:  LaTeX formula: \chi_{1} ^{2}\left ( \frac{1,99}{2};34 \right )=13,78, откуда  LaTeX formula: \chi_{1} =3,71.
По формуле 11.20 и таблице значений  LaTeX formula: \chi ^{2}-распределения получим:  LaTeX formula: \chi_{2} ^{2}\left ( \frac{0,01}{2};33 \right )=53,67, откуда  . 
Согласно формуле 11.18 запишем:  LaTeX formula: \frac{2,57\sqrt{34}}{7,33}< \sigma < \frac{2,57\sqrt{34}}{3,71},  LaTeX formula: 2,04< \sigma < 4,04.
Ответ:  LaTeX formula: a=6;  LaTeX formula: s\approx 2,57;   с надежностью LaTeX formula: 0,99LaTeX formula: \sigma \in (2,04;4,04)  с надежностью LaTeX formula: 0,99.
1. Случайная величина LaTeX formula: X распределена по нормальному закону с параметрами LaTeX formula: a и  LaTeX formula: \sigma, если ее функция распределения имеет вид:  LaTeX formula: F(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }\int_{-\infty }^{x}e^{-\frac{(t-a)^{2}}{2\sigma ^{2}}}dt. Записывают:  LaTeX formula: X\in N(a;\sigma ), причем  LaTeX formula: a=M(X),  LaTeX formula: \sigma =\sqrt{D(X)}
2. Распределение Стьюдента (t-распределение)
  LaTeX formula: \nu – число степеней свободы,  LaTeX formula: \alpha –  уровень значимости.
3. Таблица LaTeX formula: X^{2} - распределение

formula