Структурные средние выборки /qualihelpy

Структурные средние выборки

Справочник / Студент / Математическая статистика /

Справочный материал Примеры Обратите внимание! Модели

К структурным средним значениям выборки относят моду и медиану.

Мода $LaTeX formula: m_{0}$ – значение варианты, повторяющейся с наибольшей частотой.

Для интервального вариационного ряда:

$LaTeX formula: m_{0}=x_{i}+h\frac{m_{i}-m_{i-1}}{(m_{i}-m_{i-1})+(m_{i}-m_{i+1})}$ , (11.6)

где $LaTeX formula: x_{i}$ – начало модального интервала $LaTeX formula: (x_{i};x_{i+1})$ , т. е. интервала, которому соответствует наибольшая частота $LaTeX formula: m_{i}$ , LaTeX formula: h

– длина модального интервала, $LaTeX formula: m_{i-1}$ – частота предмодального интервала, $LaTeX formula: m_{i+1}$ – частота послемодального интервала.

Медиана $LaTeX formula: m_{e}$ – значение параметра, относительно которого статистическая совокупность делится на две равные части.

Для дискретного вариационного ряда:

1) если

– нечетно, то $LaTeX formula: m_{e}=a_{\frac{n+1}{2}}$ , (11.7)

где $LaTeX formula: a_{\frac{n+1}{2}}$ – значение варианты с порядковым номером $LaTeX formula: \frac{n+1}{2}$ ;

2) если

– четно, то $LaTeX formula: m_{e}=\frac{1}{2}\left ( a_{\frac{n}{2}} \right +a_{\frac{n}{2}+1})$ , (11.8)

где $LaTeX formula: a_{\frac{n}{2}} \right$ и $LaTeX formula: a_{\frac{n}{2}+1}$ – значения вариант с порядковыми номерами $LaTeX formula: \frac{n}{2}$ и $LaTeX formula: \frac{n}{2}+1}$ соответственно.

Для интервального вариационного ряда:

$LaTeX formula: m_{e}=x_{i}+\frac{h}{m_{Me}}\left ( \frac{n}{2} -\sum_{j=1}^{i-1}m_{j}\right )$ , (11.9)

где $LaTeX formula: x_{i}$ – начало медианного интервала $LaTeX formula: (x_{i};x_{i+1})$ , т. е. первого интервала, накопленная частота которого превышает или равна половине общей суммы абсолютных частот, LaTeX formula: h

– длина медианного интервала, $LaTeX formula: m_{Me}$ – частота медианного интервала, $LaTeX formula: \sum_{j=1}^{i-1}m_{j}$ – накопленная частота предмедианного интервала: $LaTeX formula: \sum_{j=1}^{i-1}m_{j}\right )< \frac{n}{2}< \sum_{j=1}^{i}m_{j}\right )$ .

Пример 1. Найдите моду и медиану статистического распределения:

Решение. Расположим значения признака в порядке возрастания:

1. Мода: $LaTeX formula: m_{0}=6$ значение варианты, повторяющейся с наибольшей частотой ( LaTeX formula: 5

раз).

2. Медиану найдем по формуле 11.7, так как LaTeX formula: n=25

– нечетное число: $LaTeX formula: m_{e}=a_{\frac{25+1}{2}}=a_{13}=5$ .

Ответ: $LaTeX formula: m_{0}=6$ ; $LaTeX formula: m_{e}=5$ .

Пример 2. Найдите моду и медиану дискретного вариационного ряда:

Решение. 1. Мода: $LaTeX formula: m_{0}=0,6$ значение варианты, повторяющейся с наибольшей частотой ( LaTeX formula: 8

раз).

2. Медиану найдем по формуле 11.8, так как LaTeX formula: n

– четное число:

$LaTeX formula: m_{e}=\frac{1}{2}\left ( a_{15}+a_{16} \right )=\frac{1}{2}\left ( 0,6+0,6 \right )=0,6$ .

Ответ: $LaTeX formula: m_{0}=0,6$ ; $LaTeX formula: m_{e}=0,6$ .

Пример 3. Найдите моду и медиану интервального вариационного ряда:

Решение. 1. Моду найдем по формуле 11.6 Модальный интервал: $LaTeX formula: \left [ 5;7 )$ , следовательно, $LaTeX formula: x_{i}=5$ , $LaTeX formula: m_{i}=9$ , LaTeX formula: h=7-5=2

, $LaTeX formula: m_{i-1}=8$ , $LaTeX formula: m_{i+1}=7$ . Тогда: $LaTeX formula: m_{0}=5+2\cdot \frac{9-8}{(9-8)+(9-7)}=5\frac{2}{3}$ .

2. Медиану найдем по формуле 11.9.

Найдем накопленные частоты:

Медианный интервал: $LaTeX formula: \left [ 5;7)$ , так как это первый интервал, накопленная частота которого превышает значение $LaTeX formula: \frac{n}{2}=\frac{36}{2}=18$ . Следовательно, $LaTeX formula: x_{i}=5$ , $LaTeX formula: m_{me}=9$ , LaTeX formula: h=7-5=2

, $LaTeX formula: \sum_{j=1}^{i-1}m_{j}=14$ . Тогда: $LaTeX formula: m_{e}=5+\frac{2}{9}\left ( 18-14 \right )=5\frac{8}{9}$ .

Ответ: $LaTeX formula: m_{0}=5\frac{2}{3}$ ; $LaTeX formula: m_{e}=5\frac{8}{9}$ .

1. Чтобы найти медиану дискретного вариационного ряда, варианты необходимо расположить в порядке возрастания.

2. Если объем выборки равен LaTeX formula: n

, то накопленная частота на последнем интервале также равна LaTeX formula: n

Программа для просмотра моделей (МК-плеер) Файлы для скачивания