Справочный материал Примеры Обратите внимание! Модели
К структурным средним значениям выборки относят моду и медиану.
Мода  LaTeX formula: m_{0} – значение варианты, повторяющейся с наибольшей частотой. 
Для интервального вариационного ряда:
LaTeX formula: m_{0}=x_{i}+h\frac{m_{i}-m_{i-1}}{(m_{i}-m_{i-1})+(m_{i}-m_{i+1})}, (11.6)
где   LaTeX formula: x_{i} – начало модального интервала  LaTeX formula: (x_{i};x_{i+1}), т. е. интервала, которому соответствует наибольшая частота  LaTeX formula: m_{i}LaTeX formula: h – длина модального интервала,  LaTeX formula: m_{i-1}– частота предмодального интервала,  LaTeX formula: m_{i+1}– частота послемодального интервала.
Медиана   LaTeX formula: m_{e}– значение параметра, относительно которого статистическая совокупность делится на две равные части.
Для дискретного вариационного ряда: 
1) если LaTeX formula: n – нечетно, то LaTeX formula: m_{e}=a_{\frac{n+1}{2}}, (11.7)
где LaTeX formula: a_{\frac{n+1}{2}}  – значение варианты с порядковым номером  LaTeX formula: \frac{n+1}{2};
2) если LaTeX formula: n – четно, то   LaTeX formula: m_{e}=\frac{1}{2}\left ( a_{\frac{n}{2}} \right +a_{\frac{n}{2}+1}), (11.8)
где LaTeX formula: a_{\frac{n}{2}} \right  и LaTeX formula: a_{\frac{n}{2}+1}  – значения вариант с порядковыми номерами  LaTeX formula: \frac{n}{2} и  LaTeX formula: \frac{n}{2}+1} соответственно.
Для интервального вариационного ряда: 
LaTeX formula: m_{e}=x_{i}+\frac{h}{m_{Me}}\left ( \frac{n}{2} -\sum_{j=1}^{i-1}m_{j}\right ), (11.9)
где  LaTeX formula: x_{i} – начало медианного интервала  LaTeX formula: (x_{i};x_{i+1}), т. е. первого интервала, накопленная частота которого превышает или равна половине общей суммы абсолютных частот, LaTeX formula: h – длина медианного интервала, LaTeX formula: m_{Me}  – частота медианного интервала, LaTeX formula: \sum_{j=1}^{i-1}m_{j}– накопленная частота предмедианного интервала:LaTeX formula: \sum_{j=1}^{i-1}m_{j}\right )< \frac{n}{2}< \sum_{j=1}^{i}m_{j}\right ) .
Пример 1. Найдите моду и медиану статистического распределения:
LaTeX formula: 6  LaTeX formula: 1  LaTeX formula: 5  LaTeX formula: 3  LaTeX formula: 9  LaTeX formula: 6   LaTeX formula: 4  LaTeX formula: 1  LaTeX formula: 6  LaTeX formula: 5   LaTeX formula: 3  LaTeX formula: 7  LaTeX formula: 8  LaTeX formula: 7  LaTeX formula: 8  LaTeX formula: 6  LaTeX formula: 5  LaTeX formula: 4  LaTeX formula: 3  LaTeX formula: 2  LaTeX formula: 9  LaTeX formula: 1  LaTeX formula: 4  LaTeX formula: 4  LaTeX formula: 6.
Решение. Расположим значения признака в порядке возрастания: 
LaTeX formula: 1  LaTeX formula: 1  LaTeX formula: 1  LaTeX formula: 2  LaTeX formula: 3  LaTeX formula: 3  LaTeX formula: 3  LaTeX formula: 4  LaTeX formula: 4  LaTeX formula: 4  LaTeX formula: 4  LaTeX formula: 5  LaTeX formula: 5  LaTeX formula: 5  LaTeX formula: 6  LaTeX formula: 6  LaTeX formula: 6  LaTeX formula: 6  LaTeX formula: 6  LaTeX formula: 7  LaTeX formula: 7  LaTeX formula: 8  LaTeX formula: 8  LaTeX formula: 9  LaTeX formula: 9.
1. Мода: LaTeX formula: m_{0}=6  значение варианты, повторяющейся с наибольшей частотой (LaTeX formula: 5 раз).
2. Медиану найдем по формуле 11.7, так как LaTeX formula: n=25  – нечетное число: LaTeX formula: m_{e}=a_{\frac{25+1}{2}}=a_{13}=5.
Ответ:  LaTeX formula: m_{0}=6LaTeX formula: m_{e}=5.

Пример 2. Найдите моду и медиану дискретного вариационного ряда:
Решение. 1. Мода: LaTeX formula: m_{0}=0,6  значение варианты, повторяющейся с наибольшей частотой (LaTeX formula: 8 раз).
2. Медиану найдем по формуле 11.8, так как LaTeX formula: n – четное число: 
LaTeX formula: m_{e}=\frac{1}{2}\left ( a_{15}+a_{16} \right )=\frac{1}{2}\left ( 0,6+0,6 \right )=0,6.
Ответ:  LaTeX formula: m_{0}=0,6;  LaTeX formula: m_{e}=0,6.

Пример 3.  Найдите моду и медиану интервального вариационного ряда:
Решение. 1. Моду найдем по формуле 11.6 Модальный интервал:  LaTeX formula: \left [ 5;7 ), следовательно,  LaTeX formula: x_{i}=5,  LaTeX formula: m_{i}=9,LaTeX formula: h=7-5=2,  LaTeX formula: m_{i-1}=8LaTeX formula: m_{i+1}=7. Тогда:  LaTeX formula: m_{0}=5+2\cdot \frac{9-8}{(9-8)+(9-7)}=5\frac{2}{3}.
2. Медиану найдем по формуле 11.9
Найдем накопленные частоты:
Медианный интервал:  LaTeX formula: \left [ 5;7), так как это первый интервал, накопленная частота которого превышает значение  LaTeX formula: \frac{n}{2}=\frac{36}{2}=18. Следовательно,  LaTeX formula: x_{i}=5,  LaTeX formula: m_{me}=9,  LaTeX formula: h=7-5=2,  LaTeX formula: \sum_{j=1}^{i-1}m_{j}=14. Тогда:  LaTeX formula: m_{e}=5+\frac{2}{9}\left ( 18-14 \right )=5\frac{8}{9}.
Ответ:  LaTeX formula: m_{0}=5\frac{2}{3};  LaTeX formula: m_{e}=5\frac{8}{9}.
1. Чтобы найти медиану дискретного вариационного ряда, варианты необходимо расположить в порядке возрастания.
2. Если объем выборки равен LaTeX formula: n, то накопленная частота на последнем интервале также равна LaTeX formula: n:
formula