Справочный материал Примеры Обратите внимание! Модели
Математическая статистика изучает методы сбора, обработки и интерпретации результатов опытов (экспериментов).
Генеральной совокупностью называют множество однородных объектов с характерными для них признаками. 
Выборочной совокупностью (выборкой) называют подмножество объектов генеральной совокупности, извлеченных из нее случайным образом. 
Случайная величина LaTeX formula: X – наблюдаемые (полученные экспериментально) значения некоторого признака, характерного для всех объектов совокупности. 
Статистические ряды
Различают дискретные и интервальные статистические ряды.
Рассмотрим выборку LaTeX formula: CBX LaTeX formula: x_{1}LaTeX formula: x_{2}, …, LaTeX formula: x_{n}  объема LaTeX formula: n.
1. Дискретный вариационный ряд распределения случайной величины LaTeX formula: X имеет вид: 
Таблица 1
Чтобы построить дискретный вариационный ряд, необходимо: 
1) расположить значения признака LaTeX formula: X (варианты) в порядке возрастания: LaTeX formula: x_{1}< x_{2}< x_{3}< ...< x_{k}
2) найти частоты LaTeX formula: m_{i}  вариант (количество значений вариант LaTeX formula: x_{i} ); 
3) найти относительные частоты LaTeX formula: \omega _{i}=\frac{m_{i}}{n}  вариант. 
2. Интервальный вариационный ряд распределения случайной величины LaTeX formula: X имеет вид: 
Таблица 2
Чтобы построить интервальный вариационный ряд, необходимо: 
1) найти размах вариации: LaTeX formula: R=x_{max}-x_{min}, где LaTeX formula: x_{1}=x_{min}LaTeX formula: x_{k}=x_{max};
2) определить количество интервалов: LaTeX formula: k
3) найти длину интервала: LaTeX formula: h=\frac{R}{k}
4) найти частоты вариант на интервалах: LaTeX formula: m_{i}
5) найти относительные частоты вариант на интервалах: LaTeX formula: \omega _{i}=\frac{m_{i}}{n}.
Функция распределения выборки
Эмпирической функцией распределения выборки, представленной в таблице 1, называют функцию вида:  
LaTeX formula: F_{n}(x)=\sum_{i:{x_{i}}'< x}\frac{m_{i}}n{}=\begin{cases} & \ 0, \ x\leq x_{1} ;\\ & \ \omega _{1}, \ x_{1}< x\leq x_{2}; \\ & \ \omega _{1}+\omega _{2}, \ x_{2}< x\leq x_{3}; \\ & \ ... \\ & \ \sum_{i=1}^{k-1}\omega _{1}, \ x_{k-1}< x\leq x_{k}; \\ & \ 1, \ x> x_{k}. \end{cases} (11.1)
Графическое представление выборки
1. Полигоном частот выборки (таблица 1) называют ломаную линию, соединяющую на координатной плоскости точки вида LaTeX formula: (x_{i};m_{i})LaTeX formula: i=\overline{1,k}
а полигоном относительных частот – ломаную линию, соединяющую на координатной плоскости точки вида LaTeX formula: (x_{i};\omega _{i})LaTeX formula: i=\overline{1,k} .
2. Гистограммой частот выборки (таблица 2) называют столбчатую диаграмму, состоящую из прямоугольников, основаниями которых являются длины интервалов, которые содержат значения вариант, высотами – частоты данных интервалов, 
а гистограммой относительных частот – диаграмму, состоящую из прямоугольников, основаниями которых являются длины интервалов, которые содержат значения вариант, высотами – относительные частоты данных интервалов.
Пример 1. Даны следующие значения LaTeX formula: CBXLaTeX formula: 1,0  LaTeX formula: 0,6   LaTeX formula: 0,4 LaTeX formula: 0,6  LaTeX formula: 0,4  LaTeX formula: 0,2  LaTeX formula: 0,6  LaTeX formula: 0,8  LaTeX formula: 0,8  LaTeX formula: 1,0  LaTeX formula: 1,2  LaTeX formula: 1,4  LaTeX formula: 0,6  LaTeX formula: 1,2  LaTeX formula: 1,0  LaTeX formula: 0,2  LaTeX formula: 0,2  LaTeX formula: 0,6  LaTeX formula: 0,8  LaTeX formula: 0,4  LaTeX formula: 0,6  LaTeX formula: 1,0  LaTeX formula: 0,8  LaTeX formula: 0,2  LaTeX formula: 0,4  LaTeX formula: 0,6  LaTeX formula: 0,2  LaTeX formula: 0,2  LaTeX formula: 0,4  LaTeX formula: 0,6.
Необходимо: 
1) построить дискретный вариационный ряд; 
2) записать и построить эмпирическую функцию распределения случайной величины; 
3) построить полигон частот.
Решение. 1. Расположим значения признака в порядке возрастания: LaTeX formula: 0,2  LaTeX formula: 0,2  LaTeX formula: 0,2  LaTeX formula: 0,2  LaTeX formula: 0,2  LaTeX formula: 0,2  LaTeX formula: 0,4  LaTeX formula: 0,4  LaTeX formula: 0,4  LaTeX formula: 0,4  LaTeX formula: 0,4  LaTeX formula: 0,6  LaTeX formula: 0,6  LaTeX formula: 0,6  LaTeX formula: 0,6  LaTeX formula: 0,6  LaTeX formula: 0,6  LaTeX formula: 0,6  LaTeX formula: 0,6  LaTeX formula: 0,8  LaTeX formula: 0,8  LaTeX formula: 0,8  LaTeX formula: 0,8  LaTeX formula: 1,0  LaTeX formula: 1,0  LaTeX formula: 1,0  LaTeX formula: 1,0  LaTeX formula: 1,2  LaTeX formula: 1,2  LaTeX formula: 1,4.
Построим дискретный вариационный ряд:
2. По формуле 11.1 найдем эмпирическую функцию распределения LaTeX formula: CBX
LaTeX formula: F(x)=\begin{cases} & \ 0, \ x\leq 0,2 ;\\ & \ \frac{6}{30}, \ 0,2< x\leq 0,4; \\ & \ \frac{6}{30}+\frac{5}{30}=\frac{11}{30}, \ 0,4< x\leq 0,6; \\ & \ \frac{11}{30}+\frac{8}{30}=\frac{19}{30}, \ 0,6< x\leq 0,8; \\ & \ \frac{19}{30}+\frac{4}{30}=\frac{23}{30}, \ 0,8< x\leq 1,0; \\ & \ \frac{23}{30}+\frac{4}{30}=\frac{27}{30}, \ 1,0< x\leq 1,0; \\ & \ \frac{27}{30}+\frac{2}{30}=\frac{29}{30}, \ 1,2< x\leq 1,4; \\ & \ \frac{29}{30}+\frac{1}{30}=1, \ x> 1,4. \\ \end{cases}
 Построим эмпирическую функцию распределения LaTeX formula: CBX (рис. 11.1):
3. Построим полигон частот (рис. 11.2).
 Пример 2. Даны следующие значения LaTeX formula: CBX
LaTeX formula: 10  LaTeX formula: 1  LaTeX formula: 7  LaTeX formula: 7  LaTeX formula: 3  LaTeX formula: 8  LaTeX formula: 7  LaTeX formula: 4  LaTeX formula: 1  LaTeX formula: 3  LaTeX formula: 7  LaTeX formula: 2  LaTeX formula: 3  LaTeX formula: 5  LaTeX formula: 6  LaTeX formula: 4  LaTeX formula: 5  LaTeX formula: 6  LaTeX formula: 7  LaTeX formula: 8  LaTeX formula: 10  LaTeX formula: 5  LaTeX formula: 9  LaTeX formula: 5  LaTeX formula: 4  LaTeX formula: 6  LaTeX formula: 8  LaTeX formula: 4  LaTeX formula: 6  LaTeX formula: 1  LaTeX formula: 4  LaTeX formula: 5  LaTeX formula: 1  LaTeX formula: 6  LaTeX formula: 10  LaTeX formula: 11.
Необходимо: 1) построить интервальный вариационный ряд; 
2) построить гистограмму относительных частот.
Решение. Расположим значения признака в порядке возрастания:
LaTeX formula: 1  LaTeX formula: 1  LaTeX formula: 1  LaTeX formula: 1  LaTeX formula: 2  LaTeX formula: 3  LaTeX formula: 3  LaTeX formula: 3  LaTeX formula: 4  LaTeX formula: 4  LaTeX formula: 4  LaTeX formula: 4  LaTeX formula: 4  LaTeX formula: 5  LaTeX formula: 5  LaTeX formula: 5  LaTeX formula: 5  LaTeX formula: 6  LaTeX formula: 6  LaTeX formula: 6  LaTeX formula: 6  LaTeX formula: 6  LaTeX formula: 7  LaTeX formula: 7  LaTeX formula: 7  LaTeX formula: 7  LaTeX formula: 7  LaTeX formula: 8  LaTeX formula: 8  LaTeX formula: 8  LaTeX formula: 9  LaTeX formula: 10  LaTeX formula: 10  LaTeX formula: 10   LaTeX formula: 11.
1. Построим интервальный вариационный ряд: 
LaTeX formula: x_{min}=1LaTeX formula: x_{max}=11LaTeX formula: R=11-1=10LaTeX formula: k=5LaTeX formula: h=10:5=2.
 
2. Построим гистограмму относительных частот (рис. 11.3).
1. Сумма частот всегда равна объему выборки LaTeX formula: n, а сумма относительных частот всегда равна единице: LaTeX formula: \sum_{i=1}^{k}m_{i}=nLaTeX formula: \sum_{i=1}^{k}\omega _{i}=1.
2. Полигон частот и относительных частот строят для дискретного вариационного ряда
3. Гистограмму частот и относительных частот строят для интервального  вариационного ряда.

formula