Справочный материал Примеры Обратите внимание! Модели
Биномиальное распределение
Биномом Ньютона называют выражение вида 
LaTeX formula: (a+b)^n=\sum ^n_{m=0}C_n^ma^mb^{n-m} . (10.40)
Формула 10.40 имеет непосредственное отношение к закону распределения LaTeX formula: CBX, который называют биномиальным.
Рассмотрим LaTeX formula: n испытаний, в каждом из которых может появиться с одной и той же вероятностью LaTeX formula: p событие LaTeX formula: A или cобытие LaTeX formula: \overline{A} с вероятностью LaTeX formula: q=1-p . Пусть случайная величина LaTeX formula: X – число появлений события LaTeX formula: A. В таком случае она может принимать следующие значения: LaTeX formula: x_1=0\\  (событие не появится ни разу), LaTeX formula: x_2=1 (событие появится один раз), LaTeX formula: x_3=2 , …,  LaTeX formula: x_{n+1}=n (появится во всех испытаниях).
Вероятность того, что в серии из LaTeX formula: n независимых испытаний событие LaTeX formula: A появится ровно LaTeX formula: k раз (биномиальную вероятность) можно найти по формуле Бернулли
LaTeX formula: P_n(k)=C_n^kp^kq^{n-k} , (10.41)
где 
LaTeX formula: C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!} . (10.41.1)
Наивероятнейшим числом появления события LaTeX formula: A называют такое число LaTeX formula: k_0 , которому соответствует наибольшая биномиальная вероятность LaTeX formula: P_n(k_0) . 
Наивероятнейшее число LaTeX formula: k_0  находят их системы неравенств:
LaTeX formula: np-q<k_0<np+p . (10.42)
Закон распределения дискретной LaTeX formula: CBX, определяемое формулой 10.41, называют биномиальным.
Числа LaTeX formula: n и LaTeX formula: p называют параметрами биномиального распределения LaTeX formula: CBX
Биномиальный закон может быть представлен в таблице:
Сумма всех биномиальных вероятностей равна единице: 
LaTeX formula: P_n(0)+P_n(1)+P_n(2)+...+P_n(n-1)+P_n(n)=1 , (10.43)
так как при LaTeX formula: a=p , LaTeX formula: b=q  и с учетом того, что LaTeX formula: p+q=1 , формула 10.40 примет вид LaTeX formula: (p+q)^n=\sum ^n_{m=0}C_n^ma^mb^{n-m}=1 .
Числовые характеристики LaTeX formula: CBX
Математическое ожидание LaTeX formula: CBX находят по формуле: 
LaTeX formula: M(X)=np . (10.44)
Дисперсию LaTeX formula: CBX находят по формуле:
LaTeX formula: D(X)=npq . (10.45)
Среднее квадратическое отклонение находят по формуле:
LaTeX formula: \sigma (X)=\sqrt{npq} . (10.46)
Распределение Пуассона
Рассмотрим LaTeX formula: n испытаний, в каждом из которых может появиться с одной и той же вероятностью LaTeX formula: p событие LaTeX formula: A. Пусть случайная величина LaTeX formula: X – число появлений события LaTeX formula: A. Вероятность того, что в серии из LaTeX formula: n независимых испытаний событие LaTeX formula: A появится ровно LaTeX formula: k раз (биномиальную вероятность) можно найти по формуле Бернулли 10.41. В случае, если число LaTeX formula: n достаточное большое, а LaTeX formula: p достаточно мало, то имеем распределение Пуассона, а вероятность того, что в серии из LaTeX formula: n независимых испытаний событие LaTeX formula: A появится ровно LaTeX formula: k раз можно найти по формуле: 
LaTeX formula: P_n(k)\approx \frac{a^ke^{-a}}{k!} , (10.47)
где  LaTeX formula: a=np – параметр распределения. 
Закон распределения Пуассона может быть представлен в таблице:
Числовые характеристики LaTeX formula: CBX
Математическое ожидание LaTeX formula: CBX находят по формуле: 
LaTeX formula: M(X)=np=a . (10.48)
Дисперсию LaTeX formula: CBX находят по формуле:
LaTeX formula: D(X)=np=a . (10.49)
Среднее квадратическое отклонение находят по формуле:
LaTeX formula: \sigma (X)=\sqrt{a} . (10.50)
Нормальное распределение
Случайная величина LaTeX formula: X распределена по нормальному закону с параметрами LaTeX formula: a и LaTeX formula: \sigma , если ее функция распределения имеет вид:
LaTeX formula: F(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }\int_{-\infty }^{x}e^{-\frac{(t-a)^2}{2\sigma ^2}}dt . (10.51)
Записывают: LaTeX formula: X\in N(a,\sigma ) , причем 
LaTeX formula: a=M(X), \sigma =\sqrt{D(X)} . (10.52)
График плотности нормального распределения называют нормальной кривой Гаусса, уравнение которой имеет вид: 
LaTeX formula: f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }e^{-\frac{(x-a)^2}{2\sigma ^2}} . (10.53)
Если LaTeX formula: a=0 и LaTeX formula: \sigma =1 , то 
LaTeX formula: F(x)=\frac{1}{2}+\Phi (x) , (10.54)
где LaTeX formula: \Phi (x) – функция Лапласа:
LaTeX formula: \Phi (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\int_{0}^{x}e^{-\frac{t^2}{2}}dt , (10.55)
значения которой приведены в таблице приложения II. 
Свойства функции Лапласа 10.55
1. LaTeX formula: \Phi (-x)=-\Phi (x) . (10.56)
2. LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow +\infty }\Phi (x)=\frac{1}{2} . (10.57)
Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины Х в заданный интервал   находят по формуле: 
LaTeX formula: P(\alpha <X<\beta )=\Phi \left ( \frac{\beta -\alpha }{\sigma } \right )-\Phi \left ( \frac{\alpha -a}{\sigma } \right ) , (10.58)
где LaTeX formula: \Phi (x) – функция Лапласа 10.55.
Вероятность отклонения случайной величины LaTeX formula: X от математического ожидания на величину не превышающую LaTeX formula: \delta находят по формуле:
LaTeX formula: P(\left | X-a \right |<\delta )=2\Phi \left ( \frac{\delta }{\sigma } \right ) , (10.59)
где LaTeX formula: \Phi \left ( \frac{\delta }{\sigma } \right )=\Phi (x) – функция Лапласа 10.55.
Правило трех сигм: если LaTeX formula: CBX распределена нормально, то модуль ее отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения: 
LaTeX formula: \left | X-a \right |<3\sigma . (10.60)
Это означает, что событие, состоящее в осуществлении неравенства 10.60, имеет вероятность, близкую к единице, т. е. является почти достоверным.
Законы больших чисел. Предельные теоремы
Теорема Чебышева
Если случайные величины LaTeX formula: X_i , где LaTeX formula: i=\overline{1,n} , независимы, имеют математические ожидания  LaTeX formula: M(X_i) и дисперсии LaTeX formula: D(X_i) , ограниченные одним и тем же числом LaTeX formula: C, то для любого числа LaTeX formula: \varepsilon >0  выполняется неравенство
LaTeX formula: P\left ( \left | \frac{1}{n}\sum ^n_{i=1}X_i-\frac{1}{n} \sum ^n_{i=1}M(X_i)\right |\leq \varepsilon \right )>1-\frac{C}{n\varepsilon ^2} , (10.61)
откуда следует, что 
LaTeX formula: \lim_{n\rightarrow \infty }P\left ( \left | \frac{1}{n}\sum ^n_{i=1}X_i-\frac{1}{n} \sum ^n_{i=1}M(X_i)\right |\leq \varepsilon \right )=1 . (10.61.1)
Если все случайные величины LaTeX formula: X_i , где LaTeX formula: i=\overline{1,n} , имеют одно и то же математические ожидания LaTeX formula: M(X_i)=a , то неравенство 10.61 примет вид
LaTeX formula: P\left ( \left | \frac{1}{n}\sum ^n_{i=1}X_i-a \right | \leq \varepsilon \right )>1-\frac{C}{n\varepsilon ^2} , (10.61.2)
откуда следует, что 
LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow \infty }P\left ( \left | \frac{1}{n}\sum ^n_{i=1}X_i-a \right | \leq \varepsilon \right )=1 . (10.61.3)
Теорема Бернулли
Если вероятность LaTeX formula: p появления события LaTeX formula: A в каждом из LaTeX formula: n независимых испытаний постоянна, то вероятность того, что отклонение частоты  LaTeX formula: \frac{m}{n} от вероятности LaTeX formula: p по модулю не превзойдет числа LaTeX formula: \varepsilon >0 , больше, чем на LaTeX formula: 1-\frac{pq}{n\varepsilon ^2} :
LaTeX formula: P\left ( \left | \frac{m}{n}-p \right |\leq \varepsilon \right )>1-\frac{pq}{n\varepsilon ^2} , (10.62)
откуда следует, что 
LaTeX formula: \lim_{n\rightarrow \infty }P\left ( \left | \frac{m}{n}-p \right |\leq \varepsilon \right )=1 . (10.62.1)
Локальная теорема Лапласа
Если вероятность LaTeX formula: p появления события LaTeX formula: A в каждом из LaTeX formula: n независимых испытаний постоянна, то вероятность LaTeX formula: P_n(k)  того, что во всех этих испытаниях событие LaTeX formula: A появится ровно LaTeX formula: k раз, приближенно выражается формулой: 
LaTeX formula: P_n(k)\approx \frac{1}{\sqrt{npq}}\phi (x) , (10.63)
при 
LaTeX formula: x=\frac{k-np}{\sqrt{npq}} , (10.63.1)
где 
LaTeX formula: \phi (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}e^{-\frac{x^2}{2}} . (10.63.2)
Значения малой функции Лапласа 10.63.2 находят по таблице П1, приведенной во вкладке Обратите внимание.
Интегральная теорема Лапласа
Если вероятность LaTeX formula: p появления события LaTeX formula: A в каждом из LaTeX formula: n независимых испытаний постоянна, то вероятность LaTeX formula: P_n(k_1,k_2)  того, что во всех этих испытаниях событие LaTeX formula: A появится не менее LaTeX formula: k_1 раз и не более LaTeX formula: k_2 раз, приближенно выражается формулой: 
LaTeX formula: P_n(k_1,k_2)\approx \Phi (x_2)-\Phi (x_1) , (10.64)
при 
LaTeX formula: x_1=\frac{k_1-np}{\sqrt{npq}} , (10.64.1)
LaTeX formula: x_2=\frac{k_2-np}{\sqrt{npq}} , (10.64.2)
где LaTeX formula: \Phi (x) – функция Лапласа 10.55.
Пример 1. Вероятность выпадения осадков в каждый из первых пяти дней сентября равна LaTeX formula: 0,4. Найдите вероятность того, что осадки будут выпадать: а) LaTeX formula: 5 дней; б) менее двух дней. 
Решение. Так как LaTeX formula: n=5 , LaTeX formula: p=0,4 , LaTeX formula: q=1-0,4=0,6 , то согласно формулам 10.41 и 10.41.1 получим: 
а) LaTeX formula: P_5(5)=C_5^5\cdot 0,4^5\cdot 0,6^{5-5}=\frac{5!}{5!\cdot 0!}\cdot 0,4^5\cdot 0,6^0=1\cdot \left ( \frac{2}{5} \right )^5=\frac{32}{3125} ;
б)  LaTeX formula: P_5(0)+P_5(1)=C_5^0p^0q^{5-0}+C_5^1p^1q^{5-1}=LaTeX formula: \frac{5!}{0!\cdot 5!}\cdot \left ( \frac{2}{5} \right )^0\cdot\left ( \frac{3}{5} \right )^5+\frac{5!}{1!\cdot 4!}\cdot \left ( \frac{2}{5} \right )^1\cdot\left ( \frac{3}{5} \right )^4=\frac{243}{3125}+\frac{810}{3125}=\frac{1053}{3125} .
Ответ: LaTeX formula: \frac{32}{3125} , LaTeX formula: \frac{1053}{3125} . 
Пример 2. Вероятность изготовления бракованной детали равна LaTeX formula: 2%. Найдите среднее количество бракованных деталей в партии из LaTeX formula: 200 деталей. 
Решение. Запишем параметры распределения: LaTeX formula: n=200 , LaTeX formula: p=0,02 . Согласно формуле 10.44 получим: LaTeX formula: M(X)=200\cdot 0,02=4 .
Ответ: LaTeX formula: 4 .
Пример 3. Вероятность изготовления бракованной детали равна LaTeX formula: 2%. Найдите наивероятнейшее число стандартных деталей в партии из LaTeX formula: 200 деталей. 
Решение. Согласно условию задачи LaTeX formula: n=200 , LaTeX formula: q=0,02 , LaTeX formula: p=1-q=0,98 . По формуле 10.42 получим: 
LaTeX formula: 200\cdot 0,98-0,02<k_0<200\cdot 0,98+0,98 , LaTeX formula: 196-0,02<k_0<196+0,98 , LaTeX formula: 195,98<k_0<196,98 , LaTeX formula: k=196 .
Ответ: LaTeX formula: 196 .
Пример 4. Изготовлено LaTeX formula: 400 стеклянных шаров. Вероятность разбить шар при его упаковке равна LaTeX formula: 0,002. Найдите вероятность того, что будет разбито LaTeX formula: 5 шаров.
Решение. Согласно условию задачи LaTeX formula: n=400 , LaTeX formula: p=0,002 , LaTeX formula: k=5 . По формуле 10.48 LaTeX formula: a=400\cdot 0,002=0,8 . По формуле 10.47 LaTeX formula: P_{400}(5)\approx \frac{0,8^5e^{-0,8}}{5!}=0,0012 . 
Значения функции 10.63.2 приведены во вкладке «Обратите внимание!».
Ответ: LaTeX formula: 0,0012 .
Пример 5. Количество нерешенных тестовых заданий имеет нормальное распределение с параметры LaTeX formula: a=4  и LaTeX formula: \sigma =1,2 . Найдите вероятность того, что тестируемый не решит от двух до пяти задач. 
Решение. Согласно формуле 10.58 получим:
 LaTeX formula: P(2<X<5)=\Phi \left ( \frac{5-4}{1,2} \right )-\Phi \left ( \frac{2-4}{1,2} \right )=\Phi (0,83)-\Phi (-1,66)LaTeX formula: =\Phi (0,83)+\Phi (1,66)=0,2967+0,4515=0,7482 . 
Значения функции 10.55 найдены по таблице П2 во вкладке «Обратите внимание».
Ответ: LaTeX formula: 0,7482 .
Пример 6. Нормальное распределение LaTeX formula: CBX имеет параметры LaTeX formula: a=15 , LaTeX formula: \sigma =0,2 . Найдите вероятность отклонения LaTeX formula: CBX от ее среднего значения на величину, не превышающую LaTeX formula: 0,5 .
Решение. Согласно формуле 10.59 получим:
LaTeX formula: P(\left | X-15 \right |<0,5)=2\Phi \left ( \frac{0,5}{0,2} \right )=2\Phi (2,5)=2\cdot 0,4938=0,9876 . 
Ответ: LaTeX formula: 0,9876 .
Пример 7. Дисперсии каждой из LaTeX formula: 400 независимых LaTeX formula: CBX равны LaTeX formula: 2 . Найдите вероятность того, что отклонение среднего арифметического значения LaTeX formula: CBX от среднего арифметического их математических ожиданий по модулю не превзойдет LaTeX formula: 0,1 .
Решение. Согласно формуле 10.61 запишем:
LaTeX formula: P(\left | \frac{1}{400} \sum ^{400}_{i=1}X_i-\frac{1}{400}\sum ^{400}_{i=1}M(X_i)\right |\leq 0,1)>1-\frac{2}{400\cdot 0,1^2}=0,5 .
Ответ: LaTeX formula: 0,5 .
Пример 8. Событие LaTeX formula: A может появиться с вероятностью LaTeX formula: p=0,6 в каждом из  LaTeX formula: n=300 независимых испытаний. Найдите вероятность того, что отклонение частоты события от вероятности его появления по модулю не превзойдет LaTeX formula: \varepsilon =0,2 .
Решение. Согласно формуле 10.62 запишем:
LaTeX formula: P(\left | \frac{m}{300} -0,6\right |\leq 0,2)\geq 1-\frac{0,6\cdot (1-0,6)}{300\cdot 0,2^2}=1-0,02=0,98 .
Ответ: LaTeX formula: 0,98 .
Пример 9. Вероятность изготовления бракованного изделия равна LaTeX formula: 0,1. Найдите вероятность того, что в партии из LaTeX formula: 400 изделий окажется LaTeX formula: 30 бракованных. 
Решение. Согласно условию задачи LaTeX formula: n=400 , LaTeX formula: k=30 , LaTeX formula: p=0,1 , LaTeX formula: q=1-0,1=0,9 . Тогда LaTeX formula: npq=400\cdot 0,1\cdot 0,9=36>10 . 
Аргумент функции  LaTeX formula: \phi (x) найдем по формуле 10.63.1LaTeX formula: x=\frac{30-400\cdot 0,1}{\sqrt{36}}=-\frac{10}{6}=-1,66 .
Значение функции 10.63.2 найдем по таблице П1 во вкладке «Обратите внимание»: LaTeX formula: \phi (1,66)=0,1006 . 
По формуле 10.63 получим: LaTeX formula: P_{400}(30)\approx \frac{1}{\sqrt{36}}\cdot 0,1006=0,0167 . 
Ответ: LaTeX formula: 0,0167 .
Пример 10. Вероятность изготовления бракованного изделия равна LaTeX formula: 0,1. Найдите вероятность того, что в партии из LaTeX formula: 400 изделий окажется не менее LaTeX formula: 20 и не более LaTeX formula: 50 бракованных. 
Решение. Согласно условию задачи LaTeX formula: n=400 , LaTeX formula: k_1=20 , LaTeX formula: k_2=50 , LaTeX formula: p=0,1 , LaTeX formula: q=1-0,1=0,9 . Тогда LaTeX formula: npq=400\cdot 0,q\cdot 0,9=36>10 . 
По формулам 10.64.1 и 10.64.2 найдем аргументы функции Лапласа: 
LaTeX formula: x_1=\frac{20-400\cdot 0,1}{\sqrt{36}}=-\frac{20}{6}=-3,33 , LaTeX formula: x_2=\frac{50-400\cdot 0,1}{\sqrt{36}}=\frac{10}{6}=1,66 .
По таблице П2 во вкладке «Обратите внимание» найдем значения функции Лапласа 10.55
LaTeX formula: \Phi (-3,33)=-0,49952 , LaTeX formula: \Phi (1,66)=0,4515 .
По формуле 10.64 получим: 
LaTeX formula: P_{400}(20;50)\approx \Phi (1,66)-\Phi (-3,33)=0,4515}+0,49952= LaTeX formula: 0,95102 .
Ответ: LaTeX formula: 0,95102 .
1. Распределение Пуассона представляет собою предельный случай биномиального распределения. Значения функции  LaTeX formula: \frac{\lambda ^k}{k!}e^{-\lambda } приведены в таблице П1.
2. Формулы Лапласа 10.63 и 10.64 применяют в случае, если LaTeX formula: npq>10 . 
Таблица П1 значений функции  LaTeX formula: \frac{\lambda ^k}{k!}e^{-\lambda }
Таблица П2 значений функций 
LaTeX formula: \phi (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}e^{-\frac{x^2}{2}}  и  LaTeX formula: \Phi (x)=\frac{1}{2\pi }\int_{0}^{x}e^{-\frac{t^2}{2}}dt

formula