Справочный материал
Примеры
Обратите внимание!
Видео
Модели
Пройти тесты
Биномиальное распределение
Биномом Ньютона называют выражение вида
. (10.40)
Формула 10.40 имеет непосредственное отношение к закону распределения , который называют биномиальным.
Рассмотрим испытаний, в каждом из которых может появиться с одной и той же вероятностью событие или cобытие с вероятностью . Пусть случайная величина – число появлений события . В таком случае она может принимать следующие значения: (событие не появится ни разу), (событие появится один раз), , …, (появится во всех испытаниях).
Вероятность того, что в серии из независимых испытаний событие появится ровно раз (биномиальную вероятность) можно найти по формуле Бернулли:
, (10.41)
где
. (10.41.1)
Наивероятнейшим числом появления события называют такое число , которому соответствует наибольшая биномиальная вероятность .
Наивероятнейшее число находят их системы неравенств:
. (10.42)
Числа и называют параметрами биномиального распределения .
Биномиальный закон может быть представлен в таблице:
Сумма всех биномиальных вероятностей равна единице:
, (10.43)
Числовые характеристики
Математическое ожидание находят по формуле:
. (10.44)
Дисперсию находят по формуле:
. (10.45)
Среднее квадратическое отклонение находят по формуле:
. (10.46)
Распределение Пуассона
Рассмотрим испытаний, в каждом из которых может появиться с одной и той же вероятностью событие . Пусть случайная величина – число появлений события . Вероятность того, что в серии из независимых испытаний событие появится ровно раз (биномиальную вероятность) можно найти по формуле Бернулли 10.41. В случае, если число достаточное большое, а достаточно мало, то имеем распределение Пуассона, а вероятность того, что в серии из независимых испытаний событие появится ровно раз можно найти по формуле:
, (10.47)
где – параметр распределения.
Закон распределения Пуассона может быть представлен в таблице:
Числовые характеристики
Математическое ожидание находят по формуле:
. (10.48)
Дисперсию находят по формуле:
. (10.49)
Среднее квадратическое отклонение находят по формуле:
. (10.50)
Нормальное распределение
Случайная величина распределена по нормальному закону с параметрами и , если ее функция распределения имеет вид:
. (10.51)
Записывают: , причем
. (10.52)
График плотности нормального распределения называют нормальной кривой Гаусса, уравнение которой имеет вид:
. (10.53)
Если и , то
, (10.54)
где – функция Лапласа:
, (10.55)
значения которой приведены в таблице приложения II.
Свойства функции Лапласа 10.55
1. . (10.56)
2. . (10.57)
Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины Х в заданный интервал находят по формуле:
, (10.58)
где – функция Лапласа 10.55.
Вероятность отклонения случайной величины от математического ожидания на величину не превышающую находят по формуле:
, (10.59)
где – функция Лапласа 10.55.
Правило трех сигм: если распределена нормально, то модуль ее отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения:
. (10.60)
Это означает, что событие, состоящее в осуществлении неравенства 10.60, имеет вероятность, близкую к единице, т. е. является почти достоверным.
Законы больших чисел. Предельные теоремы
Теорема Чебышева
Если случайные величины , где , независимы, имеют математические ожидания и дисперсии , ограниченные одним и тем же числом , то для любого числа выполняется неравенство
, (10.61)
откуда следует, что
. (10.61.1)
Если все случайные величины , где , имеют одно и то же математические ожидания , то неравенство 10.61 примет вид
, (10.61.2)
откуда следует, что
. (10.61.3)
Теорема Бернулли
Если вероятность появления события в каждом из независимых испытаний постоянна, то вероятность того, что отклонение частоты от вероятности по модулю не превзойдет числа , больше, чем на :
, (10.62)
откуда следует, что
. (10.62.1)
Локальная теорема Лапласа
Если вероятность появления события в каждом из независимых испытаний постоянна, то вероятность того, что во всех этих испытаниях событие появится ровно раз, приближенно выражается формулой:
, (10.63)
при
, (10.63.1)
где
. (10.63.2)
Значения малой функции Лапласа 10.63.2 находят по таблице П1, приведенной во вкладке Обратите внимание.
Интегральная теорема Лапласа
Если вероятность появления события в каждом из независимых испытаний постоянна, то вероятность того, что во всех этих испытаниях событие появится не менее раз и не более раз, приближенно выражается формулой:
, (10.64)
при
, (10.64.1)
, (10.64.2)
где – функция Лапласа 10.55.
Пример 1. Вероятность выпадения осадков в каждый из первых пяти дней сентября равна . Найдите вероятность того, что осадки будут выпадать: а) дней; б) менее двух дней.
а) ;
б) .
Ответ: , .
Пример 2. Вероятность изготовления бракованной детали равна %. Найдите среднее количество бракованных деталей в партии из деталей.
Ответ: .
Пример 3. Вероятность изготовления бракованной детали равна %. Найдите наивероятнейшее число стандартных деталей в партии из деталей.
, , , .
Ответ: .
Пример 4. Изготовлено стеклянных шаров. Вероятность разбить шар при его упаковке равна . Найдите вероятность того, что будет разбито шаров.
Ответ: .
Пример 5. Количество нерешенных тестовых заданий имеет нормальное распределение с параметры и . Найдите вероятность того, что тестируемый не решит от двух до пяти задач.
.
Ответ: .
Пример 6. Нормальное распределение имеет параметры , . Найдите вероятность отклонения от ее среднего значения на величину, не превышающую .
.
Ответ: .
Пример 7. Дисперсии каждой из независимых равны . Найдите вероятность того, что отклонение среднего арифметического значения от среднего арифметического их математических ожиданий по модулю не превзойдет .
.
Ответ: .
Пример 8. Событие может появиться с вероятностью в каждом из независимых испытаний. Найдите вероятность того, что отклонение частоты события от вероятности его появления по модулю не превзойдет .
Решение. Согласно формуле 10.62 запишем:
.
Ответ: .
Пример 9. Вероятность изготовления бракованного изделия равна . Найдите вероятность того, что в партии из изделий окажется бракованных.
Решение. Согласно условию задачи , , , . Тогда .
Ответ: .
Пример 10. Вероятность изготовления бракованного изделия равна . Найдите вероятность того, что в партии из изделий окажется не менее и не более бракованных.
Решение. Согласно условию задачи , , , , . Тогда .
, .
, .
.
Ответ: .