Справочный материал Примеры Обратите внимание! Модели
Понятие случайной величины
Случайная величина – это величина, значения которой зависят от случая. Например, вес пойманной рыбы, температура воздуха в течение суток, сумма выигрыша лотерейного билета и т. п.
Случайная величина обозначается буквами LaTeX formula: X LaTeX formula: Y LaTeX formula: Z и т. д.
Виды случайных величин:
1) дискретная LaTeX formula: CBX – принимает конечное или счетное множество значений;
2) непрерывная LaTeX formula: CBX – принимает все значения из заданного промежутка.
Говорят, что задан закон распределения случайной величины LaTeX formula: X , если каждому значению LaTeX formula: x поставлена в соответствие вероятность его появления и сумма всех вероятностей равна числу LaTeX formula: 1
Закон распределения LaTeX formula: CBX может быть задан аналитически (формулой) или таблицей.
Приведем табличный закон распределения дискретной LaTeX formula: CBX :
Заметим, что LaTeX formula: \sum ^n_{i=1}p_i=1 .
Функция распределения
Теоретическая функция распределения случайной величины LaTeX formula: X задается формулой: 
LaTeX formula: F(x)=P(X<x) , (10.17)
где LaTeX formula: P(X<x)  – вероятность того, что LaTeX formula: CBX принимает значение, меньшее LaTeX formula: x . 
Свойства функции распределения
1. LaTeX formula: 0 \leq F(x) \leq 1 .
2. Функция распределения неубывающая.
3. Функция распределения непрерывна слева.
4. LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow -\infty }F(x)=0 , LaTeX formula: \lim_{x\rightarrow +\infty }F(x)=1 .
Например, на рисунках 10.1 и 10.2 изображены графики функций распределения некоторых непрерывных случайных величин.
Функция распределения дискретной LaTeX formula: CBX имеет вид:
LaTeX formula: F(x)=\sum _{x_k<x}P(X=x_k) , (10.18)
где LaTeX formula: x_k<x  означает, что суммируются вероятности тех значений, которые меньше LaTeX formula: x, или иначе
 LaTeX formula: F(x)=\begin{cases} 0, x\leq x_1; \\ p_1, x_1<x\leq x_2; \\ p_1+p_2,x_2<x\leq x_3; \\ ...................................\\ \sum ^{k-1}_{i=1}p_i,x_{k-1}<x\leq x_k; \\ 1, x>x_k. \end{cases} , (10.18.1)
Например, на рисунке 10.3 изображен график функции распределения некоторой дискретной случайной величины.
Плотностью распределения непрерывной случайной величины LaTeX formula: X в точке LaTeX formula: x называют функцию 
LaTeX formula: p(x)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{P(x\leq X<x+\Delta x)}{\Delta x} . (10.19)
Случайная величина LaTeX formula: X называется непрерывной, если существует неотрицательная функция   такая, что 
LaTeX formula: F(x)=\int_{-\infty }^{x}p(u)du . (10.20)
Свойства плотности распределения  
1. LaTeX formula: p(x)\geq 0 .
2. LaTeX formula: F'(x)=p(x) . (10.21)
3. LaTeX formula: \int_{-\infty }^{+\infty }p(x)dx=1 . (10.22)
Вероятность того, что LaTeX formula: CBX примет значение из промежутка LaTeX formula: [\alpha ;\beta )  можно найти по формуле: 
LaTeX formula: P(\alpha \leq X<\beta )=F(\beta )-F(\alpha ) , (10.23)
или по формуле
LaTeX formula: P(\alpha \leq X<\beta )=\int_{\alpha }^{\beta }p(x)dx . (10.24)
Вероятность того, что дискретная LaTeX formula: CBX примет значение из промежутка LaTeX formula: [\alpha ;\beta )  равна сумме вероятностей всех ее значений, принадлежащих данному промежутку.
Числовые характеристики случайной величины
Математическое ожидание LaTeX formula: CBX – это среднее значение величины LaTeX formula: X или центр ее распределения.
Математическое ожидание дискретной LaTeX formula: CBX, находят по формуле: 
LaTeX formula: M(X)=\sum ^{n}_{i=1}x_ip_i , где LaTeX formula: i=\overline{1,n} . (10.25)
Математическое ожидание непрерывной LaTeX formula: CBX с плотностью распределения LaTeX formula: p(x) , все значения которой принадлежат отрезку LaTeX formula: [\alpha ,\beta ] , находят по формуле: 
LaTeX formula: M(X)=\int_{\alpha }^{\beta }xp(x)dx . (10.26)
а ели все значения LaTeX formula: CBX принадлежат промежутку LaTeX formula: (-\infty ;+\infty ) , то по формуле
LaTeX formula: M(X)=\int_{-\infty }^{+\infty }xp(x)dx , (10.26.1)
при условии, что интеграл сходится.
Свойства математического ожидания
1. Математическое ожидание LaTeX formula: CBX заключено между ее наибольшим и наименьшим значениями.
2. LaTeX formula: M(c)=c , где LaTeX formula: c – константа.
3. LaTeX formula: M(kX)=kM(X) , где LaTeX formula: k – постоянный множитель.
4. LaTeX formula: M(X+Y)=M(X)+M(Y) .
5. LaTeX formula: M(X \cdot Y)=M(X)\cdot M(Y) , если случайные величины LaTeX formula: X и LaTeX formula: Y независимые.
Дисперсия или рассеивание LaTeX formula: CBX – это математическое ожидание квадрата отклонения величины LaTeX formula: X от ее математического ожидания: 
LaTeX formula: D(X)=M(X-M(X))^2 , (10.27)
Дисперсию дискретной LaTeX formula: CBX можно найти по формуле:
LaTeX formula: D(X)=M(X^2)-M^2(X) , (10.28)
где 
LaTeX formula: M(X^2)=\sum ^n_{i=1}x^2_ip_i , где LaTeX formula: i=\overline{1,n} . (10.29)
Дисперсию непрерывной LaTeX formula: CBX с плотностью распределения LaTeX formula: p(x) , все значения которой принадлежат отрезку LaTeX formula: [\alpha ,\beta ] , находят по формуле
LaTeX formula: D(X)=\int_{\alpha }^{\beta }x^2p(x)dx-(M(X))^2 , (10.30)
а ели все значения LaTeX formula: CBX принадлежат промежутку LaTeX formula: (-\infty ;+\infty ) , то по формуле
LaTeX formula: D(X)=\int_{-\infty }^{+\infty }x^2p(x)dx-(M(X))^2 , (10.30.1)
при условии, что интеграл сходится.
Свойства дисперсии
1. LaTeX formula: D(c)=0 , где LaTeX formula: c – константа.
2. LaTeX formula: D(kX)=k^2D(X) , где LaTeX formula: k – постоянный множитель.
3. LaTeX formula: D(X+Y)=D(X)+D(Y) , если случайные величины LaTeX formula: X и LaTeX formula: Y независимые.
4. LaTeX formula: D(X-Y)=D(X)+D(Y) , если случайные величины LaTeX formula: X и LaTeX formula: Y независимые.
Среднее квадратическое отклонение LaTeX formula: CBX – корень квадратный из ее дисперсии:
LaTeX formula: \sigma (X)=\sqrt{D(X)} . (10.31)
Двумерная случайная величина
Упорядоченная пара  LaTeX formula: (X;Y) случайных величин LaTeX formula: X и LaTeX formula: Y называется двумерной случайной величиной (или системой случайных величин).
Говорят, что задан закон распределения двумерной случайной величины LaTeX formula: (X;Y) , если каждой паре значений LaTeX formula: x и LaTeX formula: y поставлена в соответствие вероятность и сумма всех вероятностей равна LaTeX formula: 1 
Если случайная величина дискретная, то закон ее распределения может быть записан таблично: 
Функцией распределения двумерной случайной величины LaTeX formula: (X;Y) называют функцию вида
LaTeX formula: F(x;y)=P(X<x, Y<y) . (10.32)
Геометрически это означает, что мы находим вероятность того, что случайная точка LaTeX formula: (X;Y) попадет в бесконечный квадрат с вершиной в точке LaTeX formula: (x;y) , так что точка LaTeX formula: (X;Y) будет расположена ниже и левее точки  LaTeX formula: (x;y) (рис. 10.4).
Математические ожидания дискретных случайных величин, входящих в систему, находят по формулам: 
LaTeX formula: M(X)=\sum ^m_{i=1}\sum ^n_{j=1}x_ip_{ij} , (10.33)
LaTeX formula: M(Y)=\sum ^m_{i=1}\sum ^n_{j=1}y_jp_{ij} . (10.33.1)
Дисперсии дискретных случайных величин, входящих в систему, находят по формулам: 
LaTeX formula: D(X)=M(X^2)-M^2(X) , (10.34)
LaTeX formula: D(Y)=M(Y^2)-M^2(Y) . (10.34.1)
Ковариацией двух случайных величин LaTeX formula: X и LaTeX formula: Y называют математическое ожидание произведения их отклонений от своих математических ожиданий: 
LaTeX formula: cov(X;Y)=M((X-M(X))(Y-M(Y))) . (10.35)
Ковариацию LaTeX formula: CBX и LaTeX formula: CBY можно найти по формуле:
LaTeX formula: cov(X;Y)=M(XY)-M(X)M(Y) . (10.36)
Случайные величины LaTeX formula: X и LaTeX formula: Y независимые, если 
LaTeX formula: P(X=x_i,Y=y_j)=P(X=x_i)P(Y=y_j) . (10.37)
Если случайные величины X и Y независимые, то 
LaTeX formula: cov(X;Y)=0 . (10.38)
Коэффициентом корреляции двух случайных величин LaTeX formula: X и LaTeX formula: Y называют число, которое характеризует степень зависимости LaTeX formula: CBX и LaTeX formula: CBY и находят по формуле:
LaTeX formula: R_{XY}=\frac{M(XY)-M(X)M(Y)}{\sigma (X)\sigma (Y)} . (10.39)
Свойства коэффициента корреляции
1. LaTeX formula: \left | R_{XY} \right |\leq 1 .
2. В случае нормального распределения, если случайные величины LaTeX formula: X и LaTeX formula: Y независимые, то LaTeX formula: R(X,Y)=0 .
3. В случае нормального распределения, если случайные величины LaTeX formula: X и LaTeX formula: Y связаны линейной зависимостью LaTeX formula: Y=kX+b , то  LaTeX formula: R_{XY}=1 или LaTeX formula: R_{XY}=-1 .

Пример 1. Распределение случайной величины LaTeX formula: X задано таблицей:
Найдите вероятность того, что LaTeX formula: CBX примет значение, не большее чем LaTeX formula: 3.
Решение. Так как промежутку LaTeX formula: (-\infty ;3] принадлежат два значения LaTeX formula: CBX (LaTeX formula: 1,5 и LaTeX formula: 2,5), то 
LaTeX formula: P(-\infty <X\leq 3)=P(X=1,5)+P(X=2,5)=0,2+0,2= LaTeX formula: 0,4 .
Ответ:  LaTeX formula: 0,4 .
Пример 2. Известна функция распределения случайной величины  LaTeX formula: \begin{cases} 0, x\leq 0, \\ 2^x-1, 0<x\leq 1, \\ 1, x>1. \end{cases} Найдите вероятность того, что LaTeX formula: CBX примет значение из промежутка LaTeX formula: [1;3) .
Решение. Поскольку при  LaTeX formula: x=1 функция распределения имеет вид LaTeX formula: F(x)=2^x-1 , а при LaTeX formula: x=3 функция распределения имеет вид LaTeX formula: F(x)=1 , то согласно формуле 10.23 получим:LaTeX formula: P(1\leq X<3)=F(3)-F(1)=1-(2^1-1)=1-1=0 .
Ответ:  LaTeX formula: 0 .
Пример 3. Известна функция  LaTeX formula: p(x)=\begin{cases} 0, x\leq -0,5\pi , \\ -sinx, -0,5\pi <x\leq 0,\\ 0,x>0 \end{cases} плотности распределения вероятностей случайной величины. Найдите вероятность того, что LaTeX formula: CBX примет значение из промежутка LaTeX formula: [-0,5\pi;0] . 
Решение. Поскольку при LaTeX formula: -0,5\pi \leq x\leq 0 функция плотности вероятностей имеет вид LaTeX formula: p(x)=-sinx , то согласно формуле 10.24 получим: LaTeX formula: P(-0,5\pi\leq X\leq 0)=\int_{-0,5\pi}^{0}-sinxdx=cosx|^{0}_{-0,5\pi}= LaTeX formula: cos0-cos(-0,5\pi)LaTeX formula: =1-0=1 .
Ответ:  LaTeX formula: 1 .
Пример 4. Постройте функцию распределения дискретной случайной величины LaTeX formula: X, заданной таблицей:
Решение. Согласно формуле 10.18.1 запишем функцию распределения дискретной LaTeX formula: CBX
 LaTeX formula: F(x)=\begin{cases} 0, x\leq -2; \\ 0,2, -2<x\leq -1;\\ 0,2+0,2=0,4, -1<x\leq 0;\\ 0,4+0,1=0,5, 0<x\leq 1;\\ 0,5+0,3=0,8, 1<x \leq 2;\\ 0,8+0,2=1, x>2 \end{cases}
График функции LaTeX formula: F(x) изображен на рисунке 10.5.
Пример 5. Распределение случайной величины LaTeX formula: X задано таблицей:
Найдите математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение LaTeX formula: CBX
Решение. По формуле 10.25 найдем математическое ожидание: LaTeX formula: M(X)=-2\cdot 0,2+(-1)\cdot 0,2+0\cdot 0,1+1\cdot 0,3+2\cdot 0,2=0,1 .
По формуле 10.29 найдем математическое ожидание квадрата LaTeX formula: CBX LaTeX formula: M(X^2)=(-2)^2\cdot 0,2+(-1)^2\cdot 0,2+0^2\cdot 0,1+1^2\cdot 0,3+2^2\cdot0,2 LaTeX formula: =2,1 . 
По формуле 10.28 найдем дисперсию: LaTeX formula: D(X)=2,1-0,1^2=2,09 .
По формуле 10.31 найдем среднее квадратическое отклонение: LaTeX formula: \sigma (X)=\sqrt{2,09} .
Ответ:  LaTeX formula: 0,1 ; LaTeX formula: 2,09 ; LaTeX formula: \sqrt{2,09} .
Пример 6. Случайная величина LaTeX formula: X задана функцией распределения LaTeX formula: F(x)=\begin{cases} 0,x\leq -1, \\ (x+1)^2,-1<x\leq 0, \\ 1,x>0. \end{cases}  
Найдите математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение LaTeX formula: CBX.
Решение. По формуле 10.21 найдем функцию плотности распределения: 
LaTeX formula: p(x)=\begin{cases} 0',x\leq -1, \\ \left ( (x+1)^2 \right )',-1<x\leq 0, \\ 1',x>0. \end{cases}  LaTeX formula: p(x)=\begin{cases} 0,x\leq -1, \\ 2(x+1),-1<x\leq 0, \\ 0,x>0. \end{cases}
По формуле 10.26 найдем математическое ожидание: LaTeX formula: M(X)=\int_{-1}^{0}(2x^2+2x)dx=\frac{2x^3}{3}+x^2|^0_{-1}=0+\frac{2}{3}-1=-\frac{1}{3} . 
По формуле 10.30 найдем дисперсию: LaTeX formula: D(X)=\int_{-1}^{0}(2x^3+2x^2)dx-\left ( -\frac{1}{3} \right )^2=\frac{x^4}{2}+\frac{2x^3}{3}|^0_{-1}-\frac{1}{9}=0-\frac{1}{2}+\frac{2}{3}-\frac{1}{9}= LaTeX formula: =\frac{1}{18} .
По формуле 10.31 найдем среднее квадратическое отклонение: LaTeX formula: \sigma (X)=\sqrt{\frac{1}{18}}=\frac{\sqrt{2}}{6} . 
Ответ: LaTeX formula: -\frac{1}{3} ; LaTeX formula: \frac{1}{18} ; LaTeX formula: \frac{\sqrt{2}}{6} .
Пример 7. Распределение системы случайных величин LaTeX formula: X и LaTeX formula: Y представлено в таблице:
Найдите ковариацию.
Решение. 1. По формулам 10.33 и 10.33.1 найдем математические ожидания: 
LaTeX formula: M(X)=-1\cdot 0,4+\cdot 0,3+1\cdot 0,3=-0,1 ; LaTeX formula: M(Y)=1\cdot 0,5+2\cdot 0,5=1,5 . 
2. Найдем LaTeX formula: M(XY) , перемножая соответствующие значения LaTeX formula: XLaTeX formula: YLaTeX formula: p и складывая полученные произведения: LaTeX formula: M(XY)=-1\cdot 1\cdot 0,3-1\cdot 2\cdot 0,1+0,1\cdot 0,2+0,2\cdot 0,1+1\cdot 1\cdot 0+1\cdot 2\cdot 0,3=LaTeX formula: =0,1 .
3. По формуле 10.36 найдем ковариацию: LaTeX formula: cov(X,Y)=0,1+0,1\cdot 1,5=0,25 .
Ответ: LaTeX formula: 0,25.


1. Функция распределения дискретной LaTeX formula: CBX является разрывной.
2. Вероятность того, что непрерывная LaTeX formula: CBX примет значения из промежутков LaTeX formula: (\alpha ;\beta ) , LaTeX formula: (\alpha ;\beta ] и LaTeX formula: [\alpha ;\beta ] также находят по формуле 10.23, поскольку вероятность того, что LaTeX formula: CBX примет только одно значение из заданного промежутка, равна нулю: LaTeX formula: P(X=\alpha )=0 , LaTeX formula: P(X=\beta )=0 . 
3. Математическое ожидание и дисперсия LaTeX formula: CBX являются частными случаями таких числовых характеристик как моменты случайных величин:
начальный момент LaTeX formula: k-ой степени LaTeX formula: CBX находят по формуле: 
LaTeX formula: v_k=M(X^k) ; (10.40)
центральный момент LaTeX formula: k-ой степени случайной величины LaTeX formula: X находят по формуле: 
LaTeX formula: \mu _k=M(X-M(X))^k . (10.41)
Частные случаи: LaTeX formula: \mu _1=0 , LaTeX formula: \mu _2=D(X) .
4. Асимметрией называют число LaTeX formula: \alpha =\frac{\mu _3}{\sigma ^3} , которое характеризует степень отклонения плотности вероятностей от симметричной.
5. Эксцессом называют число LaTeX formula: \varepsilon =\frac{\mu _4}{\sigma ^4}-3 , которое характеризует остроту пика максимума плотности вероятностей.

formula