Справочный материал Примеры Обратите внимание! Модели
Рассмотрим событие LaTeX formula: A, которое может осуществляться с одним из попарно несовместных событий  LaTeX formula: H_1 ,  LaTeX formula: H_2 , …,  LaTeX formula: H_n. Если известны вероятности  LaTeX formula: P(H_1) ,  LaTeX formula: P(H_2) , …, LaTeX formula: P(H_n)  и условные вероятности  LaTeX formula: P(A/H_1) ,  LaTeX formula: P(A/H_2) , …,  LaTeX formula: P(A/H_n) , то вероятность события LaTeX formula: A можно найти по формуле:
LaTeX formula: P(A)=\sum _{i=1}^nP(H_i)P(A/H_i) . (10.15)
Равенство 10.15 называют формулой полной вероятности.
Формулы Байеса
Известно, что в результате некоторого опыта появилось событие LaTeX formula: A. Условные вероятности  LaTeX formula: P(H_k/A) находят по формуле:
LaTeX formula: P(H_k/A)=\frac{P(H_k)P(A/H_k)}{P(A)} , (10.16)
где  LaTeX formula: k=\overline{1,n}LaTeX formula: P(A) - полная вероятность. события LaTeX formula: A . 
Формулы 10.16 называют формулами Байеса

Пример 1. Рабочие производят однотипные детали. Первый рабочий за смену производит LaTeX formula: 1000 деталей, второй LaTeX formula: 1200 , а третий LaTeX formula: 800 . Брак у первого рабочего составляет LaTeX formula: 3%, у второго – LaTeX formula: 1%, а у третьего – LaTeX formula: 2%. Взятая наудачу деталь оказалась бракованной. Какова вероятность того, что ее произвел третий рабочий?
Пусть LaTeX formula: A – событие, состоящее в том, что наудачу взятое изделие оказалось бракованным,  LaTeX formula: H_1LaTeX formula: H_2  и LaTeX formula: H_3 – события, состоящие в том, что изделие произведено первым, вторым и третьим рабочим соответственно. 
Тогда  LaTeX formula: P(H_1)=\frac{1000}{1000+1200+800}=\frac{1000}{3000}=\frac{1}{3},  LaTeX formula: P(H_2)=\frac{1200}{3000}=\frac{2}{5},  LaTeX formula: P(H_3)=\frac{800}{3000}=\frac{4}{15} . 
Согласно условию задачи 
LaTeX formula: P(A/H_1)=0,03 ,  LaTeX formula: P(A/H_2)=0,01,  LaTeX formula: P(A/H_3)=0,02 . 
По формуле полной вероятности 10.15
LaTeX formula: P(A)=P(H_1)P(A/H_1)+P(H_2)P(A/H_2)+P(H_3)P(A/H_3) ,
LaTeX formula: P(A)=\frac{1}{3}\cdot \frac{3}{100}+\frac{2}{5}\cdot \frac{1}{100}+\frac{4}{15}\cdot \frac{2}{100}=\frac{29}{1500} . 
По формуле Байеса 10.16
LaTeX formula: P(H_3/A)=\frac{P(H_3)P(A/H_3)}{P(A)} ,  LaTeX formula: P(H_3/A)=\frac{4}{15}\cdot \frac{2}{100}:\frac{29}{1500}=\frac{8}{29} .
Ответ:  LaTeX formula: \frac{8}{29} .

В формулах Байеса 10.16 события  LaTeX formula: H_k называют гипотезамиLaTeX formula: P(H_n) – априорными вероятностями гипотез, а LaTeX formula: P(H_k/A) – апостериорными вероятностями гипотез.
formula