Справочный материал
Примеры
Обратите внимание!
Видео
Модели
Пройти тесты
. (10.8)
. (10.9)
, (10.10)
, (10.11)
, (10.12)
, (10.13)
. (10.13.1)
, (10.14)
. (10.14.1)

Условная вероятность
Условной вероятностью события
называют вероятность события
, при условии, что событие
произошло, и записывают:
или
.





Событие
не зависит от события
, если



Аналогично событие
не зависит от события
, если



В таких случаях говорят, что события
и
независимые.


Сложение событий
Наступление хотя бы одного из событий
или
называют суммой событий и символически обозначают
.



Для нахождения вероятности наступления события
или события
используется формула сложения вероятностей



если события
и
несовместные,


и формула

если события
и
совместные.


Умножение событий
Наступление двух событий
и
называют произведением событий и символически обозначают
.



Для нахождения вероятности наступления события
и события
используется формула умножения вероятностей



если события
и
независимые,


и формула

если события
и
зависимые.


Аналогично формулы 10.10, 10.12 и 10.13 применяются в случае
событий. Например, для трех событий формула 10.13 примет вид:


Соотношения между событиями
Рассмотрим два произвольных независимых события
,
и противоположные им события
,
. Пусть
,
, а
,
.








Запись
означает, что хотя бы одно из двух событий произошло, а
.


Запись
означает, что хотя бы одно из двух событий не произошло, а
.


Запись
означает, что оба события произошли, а
.


Запись
означает, что ни одно событие не произошло, а
.


Запись
означает, что событие
произошло и не произошло событие
, а
.




Запись
означает, что произошло одно из событий, а
.


Запись
означает, что произошло не более одного из событий, а
.


Вероятность появления хотя бы одного события
Если события
,
, …,
независимые, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий можно найти по формуле:




где
,
, …,
.



Если все события имеют одну и ту же вероятность
, то
и



Пример 1. Из урны, в которой имеется
синих и
красных шаров, наудачу берут шар и не возвращают обратно. Первым был вынут красный шар (событие
). Найдите вероятность того, что вторым вынут синий шар (событие
).




Решение. Поскольку событие уже
произошло, то найдем условную вероятность события
. Получим:
.



Ответ:
.

Пример 2. Из урны, в которой имеется
белых и
красных шара, наудачу берут шар и не возвращают обратно. Найдите вероятность того, что первым был вынут белый шар (событие
), а вторым красный шар (событие
).




Ответ:
.

Пример 3. Вероятность получить на экзамене девять баллов (событие
) у каждого из трех студентов равна
. Найдите вероятность того, что хотя бы один студент получит девять баллов.


Ответ:
.

Пример 4. В группе студентов, в которой
юношей и
девушек, разыгрывается
билетов в кино. Найдите вероятность того, что в кино пойдут три девушки.



Решение. Применим урновую схему:

2)
;

3)
.

Тогда
.

Ответ:
.

Пример 5. Два стрелка независимо друг от друга производят по одному выстрелу по мишени. Вероятность поражения мишени первым стрелком равна
, а вторым –
. Найдите вероятность того, что мишень будет поражена.


Решение. События
(попадание в мишень первым стрелком) и
(вторым стрелком) совместные, так как не исключено одновременное попадание в мишень, следовательно, по формуле 10.11 получим:
.



Ответ:
.

В случае, когда события
и
несовместные, то наряду с формулой
можно использовать и формулу
.



