Справочный материал Примеры Обратите внимание! Модели
Условная вероятность
Условной вероятностью события LaTeX formula: B называют вероятность события LaTeX formula: B , при условии, что событие LaTeX formula: A произошло, и записывают:  LaTeX formula: P(B/A) или  LaTeX formula: P_A(B) . 
Событие LaTeX formula: B не зависит от события LaTeX formula: A , если 
LaTeX formula: P(B/A)=P(B) . (10.8)
Аналогично событие LaTeX formula: A не зависит от события LaTeX formula: B , если 
LaTeX formula: P(A/B)=P(A) . (10.9)
В таких случаях говорят, что события LaTeX formula: A и LaTeX formula: B независимые. 
Сложение событий 
Наступление хотя бы одного из событий LaTeX formula: A или LaTeX formula: B называют суммой событий и символически обозначают LaTeX formula: A+B . 
Для нахождения вероятности наступления события LaTeX formula: A или события LaTeX formula: B используется формула сложения вероятностей
LaTeX formula: P(A+B)=P(A)+P(B) , (10.10)
если события LaTeX formula: A и LaTeX formula: B несовместные,
и формула
LaTeX formula: P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A)\cdot P(B) , (10.11)
если события LaTeX formula: A и LaTeX formula: B совместные.
Умножение событий 
Наступление двух событий LaTeX formula: A и LaTeX formula: B называют произведением событий и символически обозначают  LaTeX formula: A\cdot B
Для нахождения вероятности наступления события LaTeX formula: A и события LaTeX formula: B используется формула умножения вероятностей
LaTeX formula: P(A\cdot B)=P(A)\cdot P(B) , (10.12)
если события LaTeX formula: A и LaTeX formula: B независимые,
и формула 
LaTeX formula: P(A\cdot B)=P(A)\cdot P(B/A) , (10.13)
если события LaTeX formula: A и LaTeX formula: B зависимые.
Аналогично формулы 10.1010.12 и 10.13 применяются в случае LaTeX formula: n событий. Например, для трех событий формула 10.13 примет вид: 
LaTeX formula: P(ABC)=P(A)\cdot P(B/A)\cdot P(C/AB) . (10.13.1)
Соотношения между событиями
Рассмотрим два произвольных независимых события LaTeX formula: ALaTeX formula: B и противоположные им события  LaTeX formula: \overline{A},  LaTeX formula: \overline{B}. Пусть  LaTeX formula: P(A)=p_1 ,  LaTeX formula: P(B)=p_2 , а  LaTeX formula: P(\overline{A})=1-p_1=q_1 ,  LaTeX formula: P(\overline{B})=1-p_2=q_2 . 
Запись LaTeX formula: A+B означает, что хотя бы одно из двух событий произошло, а  LaTeX formula: P(A+B)=p_1+p_2 .
Запись LaTeX formula: \overline{A}+\overline{B}  означает, что хотя бы одно из двух событий не произошло, а  LaTeX formula: P(\overline{A}+\overline{B})=q_1+q_2 .
Запись LaTeX formula: AB  означает, что оба события произошли, а  LaTeX formula: P(AB)=p_1p_2 .
Запись LaTeX formula: \overline{A}\overline{B}  означает, что ни одно событие не произошло, а  LaTeX formula: P(\overline{A}\overline{B})=q_1q_2 .
Запись  LaTeX formula: A\overline{B} означает, что событие LaTeX formula: A произошло и не произошло событие LaTeX formula: B, а  LaTeX formula: P(A\overline{B})=p_1q_2 .
Запись LaTeX formula: D=A\overline{B}+\overline{A}B  означает, что произошло одно из событий, а  LaTeX formula: P(D)=p_1q_2+q_1p_2 .
Запись LaTeX formula: K=\overline{A}\overline{B}+A\overline{B}+\overline{A}B  означает, что произошло не более одного из событий, а  LaTeX formula: P(K)=q_1q_2+p_1q_2+q_1p_2 .
Вероятность появления хотя бы одного события
Если события  LaTeX formula: A_1 ,  LaTeX formula: A_2 , …, LaTeX formula: A_n  независимые, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий можно найти по формуле:
LaTeX formula: P(A)=1-q_1q_2...q_n , (10.14)
где  LaTeX formula: q_1=P(\overline{A}_1) ,  LaTeX formula: q_2=P(\overline{A}_2), …,  LaTeX formula: q_n=P(\overline{A}_n) .
Если все события имеют одну и ту же вероятность LaTeX formula: p, то LaTeX formula: q=1-p  и 
LaTeX formula: P(A)=1-q^n . (10.14.1)
Пример 1. Из урны, в которой имеется LaTeX formula: 5 синих и LaTeX formula: 6 красных шаров, наудачу берут шар и не возвращают обратно. Первым был вынут красный шар (событие LaTeX formula: A). Найдите вероятность того, что вторым вынут синий шар (событие LaTeX formula: B).
Решение. Поскольку событие уже LaTeX formula: A произошло, то найдем условную вероятность события LaTeX formula: B. Получим:  LaTeX formula: P(B/A)=\frac{5}{5+6-1}=\frac{5}{10} . 
Ответ: LaTeX formula: 0,5 .
Пример 2. Из урны, в которой имеется LaTeX formula: 4 белых и LaTeX formula: 6 красных шара, наудачу берут шар и не возвращают обратно. Найдите вероятность того, что первым был вынут белый шар (событие LaTeX formula: A), а вторым красный шар (событие LaTeX formula: B).
Решение. В урне всего LaTeX formula: 10 шаров, следовательно,  LaTeX formula: P(A)=\frac{4}{10}=\frac{2}{5} ,  LaTeX formula: P(B/A)=\frac{6}{10-1}=\frac{2}{3} . Согласно формуле 10.13 получим:  LaTeX formula: P(AB)=\frac{2}{5}\cdot \frac{2}{3}=\frac{4}{15} .
Ответ:  LaTeX formula: \frac{4}{15} .
Пример 3. Вероятность получить на экзамене девять баллов (событие LaTeX formula: A) у каждого из трех студентов равна LaTeX formula: 0,5 . Найдите вероятность того, что хотя бы один студент получит девять баллов.
Решение. Согласно условию задачи  LaTeX formula: p_1=p_2=p_3=0,5 , следовательно,  LaTeX formula: q_1=q_2=q_3=1-0,5=0,5 . Применяя формулу  10.14 , получим:  LaTeX formula: P(A)=1-0,5\cdot 0,5\cdot 0,5=0,875 .
Ответ: LaTeX formula: 0,875 .
Пример 4. В группе студентов, в которой LaTeX formula: 5 юношей и LaTeX formula: 8 девушек, разыгрывается LaTeX formula: 6 билетов в кино. Найдите вероятность того, что в кино пойдут три девушки. 
Решение. Применим урновую схему: 
Согласно формуле 10.7 запишем:  LaTeX formula: P(A)=\frac{C_5^3\cdot C_8^3}{C_{13}^6} . Найдем: 1)  LaTeX formula: C_5^3=\frac{5!}{3!(5-3)!}=\frac{5!}{3!\cdot 2!}=\frac{3!\cdot 4\cdot 5}{3!\cdot 2!}=10 ; 
2)  LaTeX formula: C_8^3=\frac{8!}{3!(8-3)!}=\frac{8!}{3!\cdot 5!}=\frac{5!\cdot 6 \cdot 7\cdot 8}{6\cdot 5!}=56 ; 
3)  LaTeX formula: C_{13}^6=\frac{7!\cdot 8\cdot 9\cdot 10\cdot 11\cdot 12\cdot 13}{6!\cdot 7!}=11\cdot 12\cdot 13 . 
Тогда  LaTeX formula: P(A)=\frac{10\cdot 56}{11\cdot 12\cdot 13}=\frac{140}{429} .
Ответ:  LaTeX formula: \frac{140}{429} .
Пример 5. Два стрелка независимо друг от друга производят по одному выстрелу по мишени. Вероятность поражения мишени первым стрелком равна LaTeX formula: 0,55 , а вторым – LaTeX formula: 0,66 . Найдите вероятность того, что мишень будет поражена.
Решение. События LaTeX formula: A (попадание в мишень первым стрелком) и LaTeX formula: B (вторым стрелком) совместные, так как не исключено одновременное попадание в мишень, следовательно, по формуле 10.11 получим: LaTeX formula: P(A+B)=0,55+0,66-0,55\cdot 0,66=0,847 .
Ответ:  LaTeX formula: 0,847 .

В случае, когда события LaTeX formula: A и LaTeX formula: B несовместные, то наряду с формулой LaTeX formula: P(A+B)=P(A)+P(B) можно использовать и формулу  LaTeX formula: P(A)=\frac{m}{n} . 

formula