Сложение и умножение вероятностей /qualihelpy

Сложение и умножение вероятностей

Справочник / Студент / Теория вероятностей /

Справочный материал Примеры Обратите внимание! Модели

Условная вероятность

Условной вероятностью события называют вероятность события LaTeX formula: B

, при условии, что событие LaTeX formula: A

произошло, и записывают: LaTeX formula: P(B/A)

или

Событие

не зависит от события LaTeX formula: A

, если

. (10.8)

Аналогично событие LaTeX formula: A

не зависит от события LaTeX formula: B

, если

. (10.9)

В таких случаях говорят, что события LaTeX formula: A

независимые.

Сложение событий

Наступление хотя бы одного из событий LaTeX formula: A

или

называют суммой событий и символически обозначают LaTeX formula: A+B

Для нахождения вероятности наступления события LaTeX formula: A

или события LaTeX formula: B

используется формула сложения вероятностей

, (10.10)

если события LaTeX formula: A

несовместные,

и формула

$LaTeX formula: P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A)\cdot P(B)$ , (10.11)

если события LaTeX formula: A

совместные.

Умножение событий

Наступление двух событий LaTeX formula: A

называют произведением событий и символически обозначают $LaTeX formula: A\cdot B$ .

Для нахождения вероятности наступления события LaTeX formula: A

и события

используется формула умножения вероятностей

$LaTeX formula: P(A\cdot B)=P(A)\cdot P(B)$ , (10.12)

если события LaTeX formula: A

независимые,

и формула

$LaTeX formula: P(A\cdot B)=P(A)\cdot P(B/A)$ , (10.13)

если события LaTeX formula: A

зависимые.

Аналогично формулы 10.10, 10.12 и 10.13 применяются в случае LaTeX formula: n

событий. Например, для трех событий формула 10.13 примет вид:

$LaTeX formula: P(ABC)=P(A)\cdot P(B/A)\cdot P(C/AB)$ . (10.13.1)

Соотношения между событиями

Рассмотрим два произвольных независимых события LaTeX formula: A

и противоположные им события $LaTeX formula: \overline{A}$ , $LaTeX formula: \overline{B}$ . Пусть LaTeX formula: P(A)=p_1

, а $LaTeX formula: P(\overline{A})=1-p_1=q_1$ , $LaTeX formula: P(\overline{B})=1-p_2=q_2$ .

Запись

означает, что хотя бы одно из двух событий произошло, а LaTeX formula: P(A+B)=p_1+p_2

Запись $LaTeX formula: \overline{A}+\overline{B}$ означает, что хотя бы одно из двух событий не произошло, а $LaTeX formula: P(\overline{A}+\overline{B})=q_1+q_2$ .

Запись

означает, что оба события произошли, а LaTeX formula: P(AB)=p_1p_2

Запись $LaTeX formula: \overline{A}\overline{B}$ означает, что ни одно событие не произошло, а $LaTeX formula: P(\overline{A}\overline{B})=q_1q_2$ .

Запись $LaTeX formula: A\overline{B}$ означает, что событие

произошло и не произошло событие LaTeX formula: B

, а $LaTeX formula: P(A\overline{B})=p_1q_2$ .

Запись $LaTeX formula: D=A\overline{B}+\overline{A}B$ означает, что произошло одно из событий, а LaTeX formula: P(D)=p_1q_2+q_1p_2

Запись $LaTeX formula: K=\overline{A}\overline{B}+A\overline{B}+\overline{A}B$ означает, что произошло не более одного из событий, а LaTeX formula: P(K)=q_1q_2+p_1q_2+q_1p_2

LaTeX formula: P(K)=q_1q_2+p_1q_2+q_1p_2

Вероятность появления хотя бы одного события

Если события LaTeX formula: A_1

, …,

независимые, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий можно найти по формуле:

, (10.14)

где $LaTeX formula: q_1=P(\overline{A}_1)$ , $LaTeX formula: q_2=P(\overline{A}_2)$ , …, $LaTeX formula: q_n=P(\overline{A}_n)$ .

Если все события имеют одну и ту же вероятность LaTeX formula: p

, то

. (10.14.1)

Пример 1. Из урны, в которой имеется LaTeX formula: 5

синих и

красных шаров, наудачу берут шар и не возвращают обратно. Первым был вынут красный шар (событие LaTeX formula: A

). Найдите вероятность того, что вторым вынут синий шар (событие LaTeX formula: B

Решение. Поскольку событие уже LaTeX formula: A

произошло, то найдем условную вероятность события LaTeX formula: B

. Получим: $LaTeX formula: P(B/A)=\frac{5}{5+6-1}=\frac{5}{10}$ .

Ответ:

Пример 2. Из урны, в которой имеется LaTeX formula: 4

белых и

красных шара, наудачу берут шар и не возвращают обратно. Найдите вероятность того, что первым был вынут белый шар (событие LaTeX formula: A

), а вторым красный шар (событие LaTeX formula: B

Решение. В урне всего LaTeX formula: 10

шаров, следовательно, $LaTeX formula: P(A)=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$ , $LaTeX formula: P(B/A)=\frac{6}{10-1}=\frac{2}{3}$ . Согласно формуле 10.13 получим: $LaTeX formula: P(AB)=\frac{2}{5}\cdot \frac{2}{3}=\frac{4}{15}$ .

Ответ: $LaTeX formula: \frac{4}{15}$ .

Пример 3. Вероятность получить на экзамене девять баллов (событие LaTeX formula: A

) у каждого из трех студентов равна LaTeX formula: 0,5

. Найдите вероятность того, что хотя бы один студент получит девять баллов.

Решение. Согласно условию задачи LaTeX formula: p_1=p_2=p_3=0,5

, следовательно, LaTeX formula: q_1=q_2=q_3=1-0,5=0,5

. Применяя формулу 10.14 , получим: $LaTeX formula: P(A)=1-0,5\cdot 0,5\cdot 0,5=0,875$ .

Ответ:

Пример 4. В группе студентов, в которой LaTeX formula: 5

юношей и

девушек, разыгрывается LaTeX formula: 6

билетов в кино. Найдите вероятность того, что в кино пойдут три девушки.

Решение. Применим урновую схему:

Согласно формуле 10.7 запишем: $LaTeX formula: P(A)=\frac{C_5^3\cdot C_8^3}{C_{13}^6}$ . Найдем: 1) $LaTeX formula: C_5^3=\frac{5!}{3!(5-3)!}=\frac{5!}{3!\cdot 2!}=\frac{3!\cdot 4\cdot 5}{3!\cdot 2!}=10$ ;

2) $LaTeX formula: C_8^3=\frac{8!}{3!(8-3)!}=\frac{8!}{3!\cdot 5!}=\frac{5!\cdot 6 \cdot 7\cdot 8}{6\cdot 5!}=56$ ;

3) $LaTeX formula: C_{13}^6=\frac{7!\cdot 8\cdot 9\cdot 10\cdot 11\cdot 12\cdot 13}{6!\cdot 7!}=11\cdot 12\cdot 13$ .

Тогда $LaTeX formula: P(A)=\frac{10\cdot 56}{11\cdot 12\cdot 13}=\frac{140}{429}$ .

Ответ: $LaTeX formula: \frac{140}{429}$ .

Пример 5. Два стрелка независимо друг от друга производят по одному выстрелу по мишени. Вероятность поражения мишени первым стрелком равна LaTeX formula: 0,55

, а вторым – LaTeX formula: 0,66

. Найдите вероятность того, что мишень будет поражена.

Решение. События LaTeX formula: A

(попадание в мишень первым стрелком) и LaTeX formula: B

(вторым стрелком) совместные, так как не исключено одновременное попадание в мишень, следовательно, по формуле 10.11 получим: $LaTeX formula: P(A+B)=0,55+0,66-0,55\cdot 0,66=0,847$ .

Ответ:

В случае, когда события LaTeX formula: A

несовместные, то наряду с формулой LaTeX formula: P(A+B)=P(A)+P(B)

можно использовать и формулу $LaTeX formula: P(A)=\frac{m}{n}$ .

Программа для просмотра моделей (МК-плеер) Файлы для скачивания m_3_сложение_и_умножение_вероятностей