Функцией называют такую зависимость переменной от переменной , при которой каждому допустимому значению соответствует единственное значение .
Переменную называют независимой переменной или аргументом функции, а переменную – зависимой от переменной или значением функции.
Множество всех допустимых значений переменной образуют область определения функции. Множество всех допустимых значений переменной образуют область значений функции . Область определения функции обозначают , а область значений функции обозначают .
Например: 1) областью определения функции, график которой изображен на рисунке 2.1, является множество всех действительных чисел и область значений этой функции – множество всех действительных чисел;
2) областью определения функции, график которой изображен на рисунке 2.2, является множество всех действительных чисел, а область ее значений – числа, принадлежащие промежутку .
Функцию называют монотонной , если она либо только возрастает, либо только убывает на всей своей области определения.
Например: 1) функция, график которой изображен на рисунке 2.1, монотонна, так как она возрастает на множестве всех действительных чисел; 2) функция, график которой изображен на рисунке 2.2 не монотонна, так как на промежутке она убывает, а на промежутке – возрастает.
Те значения переменной , при которых выполняется равенство , называют нулями функции. Например, числа , , и – нули функции, график которой изображен на рисунке 2.5.
Например, функция, график которой изображен на рисунке 2.5, на промежутках и принимает положительные значения, а на промежутках , и ее значения отрицательны.
Говорят, что числовое множество симметрично относительно точки (начала отсчета) координатной прямой, если оно содержит только противоположные числа.
Например, числовые множества , , – симметричные, а множества и – несимметричные.
Функция называется четной, если – симметричное множество относительно начала отсчета и .
Функция называется нечетной, если – симметричное множество относительно начала отсчета и .
Например, функция четная, а функция не является четной и не является нечетной, так как и ни при одном значении переменной .
Все тригонометрические функции , , и являются периодическими.
Чтобы построить график периодической функции, достаточно построить ее график на основном (наименьшем) периоде и выполнить параллельный перенос этого графика вдоль оси абсцисс на любое количество периодов влево и вправо.
Функция обратима , (имеет обратную функцию), если она или монотонно возрастает или монотонно убывает на всей своей области определения.
Функция называется обратной к функции , если в каждой точке области значений обратимой функции она принимает такое значение , что .
Функции и образуют пару взаимно обратных функций. Взаимно обратные функции обладают следующими свойствами :
1) область определения функции является областью значений функции , а область значений функции является областью определения функции , т.е. , ;
2) если функция монотонно возрастает (убывает), то и функция возрастает (убывает);
3) графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой .
Например, функции и (рис. 2.6) взаимно обратные.
Чтобы найти функцию обратную функции необходимо решить уравнение относительно переменной и в этом уравнении заменить на , а заменить на .
Пример 1. Найдите количество всех целых чисел из области значений функции , которые она принимает на промежутке .
Решение . Запишем функцию в виде , откуда .
1. Найдем нули функций, записанных под знаками модулей, решая уравнения , откуда и , откуда .
2. Нанесем числа и на интервал (рис. 2.7) и раскроем модули на полученных промежутках:
1) если , то или ;
3) если , то или .
3. Построим графики полученных функций на соответствующих промежутках (рис. 2.7). Запишем область значений функции на промежутке : . Промежутку принадлежит шесть целых чисел: , , , , , .
Ответ:
.
Решение . Рассмотрим отрезок , который пересекает ось ординат в точке , а концы его лежат на графике функции (рис. 2.8).
Так как ось ординат является серединным перпендикуляром отрезка , то и . В таком случае справедливо равенство .
Упростим полученное уравнение и найдем значение :
, , , , ,
Найдем длину отрезка : .
Ответ: .
Например, на рисунке 2.9 изображен график некоторой функции (каждому значению соответствует единственное значение ). На рисунке 2.10 изображена линия, которая не является графиком никакой функции (показано, что одному значению соответствуют два значения ).