Справочный материал Примеры Обратите внимание! Модели

Функцией LaTeX formula: y=f(x) называют такую зависимость переменной LaTeX formula: y от переменной LaTeX formula: x , при которой каждому допустимому значению LaTeX formula: x соответствует единственное значение LaTeX formula: y.

Переменную LaTeX formula: x называют независимой переменной или аргументом функции, а переменную LaTeX formula: y – зависимой от LaTeX formula: x переменной или значением функции

Графиком функции LaTeX formula: y=f(x) называют множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют данной функциональной зависимости, то есть точек вида  LaTeX formula: M(x;f(x)) . График функции представляет собой некоторую линию на плоскости. 
Множество всех допустимых значений переменной LaTeX formula: x образуют область определения функции. Множество всех допустимых значений переменной LaTeX formula: y образуют область значений функции . Область определения функции обозначают LaTeX formula: D(f), а область значений функции обозначают LaTeX formula: E(f)
Например: 1) областью определения функции, график которой изображен на рисунке 2.1, является множество всех действительных чисел и область значений этой функции – множество всех действительных чисел;
2) областью определения функции, график которой изображен на рисунке 2.2, является множество всех действительных чисел, а область ее значений – числа, принадлежащие промежутку LaTeX formula: [c;+\infty ).
Функция  LaTeX formula: y=f(x) возрастает на промежутке LaTeX formula: (a;b), если для любых LaTeX formula: x_{1} и LaTeX formula: x_{2}, принадлежащих промежутку LaTeX formula: (a;b), из неравенства LaTeX formula: x_{1}< x_{2}  следует неравенство LaTeX formula: f(x_{1})< f(x_{2})  (рис. 2.3). 
Функция LaTeX formula: y=f(x) убывает  на промежутке LaTeX formula: (a;b) , если для любых LaTeX formula: x_{1} и LaTeX formula: x_{2}, принадлежащих промежутку LaTeX formula: (a;b), из неравенства LaTeX formula: x_{1}< x_{2} следует неравенство LaTeX formula: f(x_{1})> f (x_{2}) (рис. 2.4).
Функцию называют  монотонной , если она либо только возрастает, либо только убывает на всей своей области определения. 
Например: 1) функция, график которой изображен на рисунке 2.1, монотонна, так как она возрастает на множестве всех действительных чисел; 2) функция, график которой изображен на рисунке 2.2 не монотонна, так как на промежутке LaTeX formula: (-\infty ;a] она убывает, а на промежутке LaTeX formula: [a;+\infty ) – возрастает.
Те значения переменной LaTeX formula: x, при которых выполняется равенство LaTeX formula: f(x)=0 , называют нулями функцииНапример, числа LaTeX formula: -3, LaTeX formula: -0,5, LaTeX formula: 0,5 и LaTeX formula: 3 – нули функции, график которой изображен на рисунке 2.5.
Промежутки знакопостоянства функции – это промежутки, на которых постоянны знаки значений функции. 
Например, функция, график которой изображен на рисунке 2.5, на промежутках LaTeX formula: (-3;-0,5) и LaTeX formula: (0,5;3)  принимает положительные значения, а на промежутках LaTeX formula: (-\infty ;3)LaTeX formula: (-0,5;0,5) и LaTeX formula: (3;+\infty ) ее значения отрицательны.
Говорят, что числовое множество  симметрично относительно точки LaTeX formula: O(0) (начала отсчета) координатной прямой, если оно содержит только противоположные числа. 
Например, числовые множества  LaTeX formula: (-10;10)LaTeX formula: [-2,5;2,5]LaTeX formula: (-\infty ;+\infty ) – симметричные, а множества LaTeX formula: (-\infty ;5) и LaTeX formula: [-4;4) – несимметричные.  

Функция называется четной, если LaTeX formula: D(f)  – симметричное множество относительно начала отсчета и LaTeX formula: f(x)=f(-x) .

Функция называется нечетной, если LaTeX formula: D(f) – симметричное множество относительно начала отсчета и LaTeX formula: f(x)=-f(-x)  .

Например, функция LaTeX formula: f(x)=3x^{2}-2 четная, а функция LaTeX formula: f(x)=3x-2 не является четной и не является нечетной, так как LaTeX formula: f(x)\neq f(-x) и LaTeX formula: f(x)\neq -f(-x) ни при одном значении переменной LaTeX formula: x.

График четной функции симметричен относительно оси LaTeX formula: Oy, а график нечетной функции симметричен относительно точки LaTeX formula: O(0;0) .
Функция  LaTeX formula: y=f(x) называется  периодической, если существует такое число LaTeX formula: T\neq 0  , при котором для всех LaTeX formula: x из области определения функции выполняется равенство LaTeX formula: f(x\pm T)=f(x) . Такое наименьшее число называется основным периодом функции
Все тригонометрические функции LaTeX formula: y=\sin x , LaTeX formula: y=\cos x, LaTeX formula: y=tgx и LaTeX formula: y=ctg x являются периодическими.
Чтобы построить график периодической функции, достаточно построить ее график на основном (наименьшем) периоде LaTeX formula: T и выполнить параллельный перенос этого графика вдоль оси абсцисс на любое количество периодов влево и вправо. 
Функция LaTeX formula: y=f(x) обратима , (имеет обратную функцию), если она или монотонно возрастает или монотонно убывает на всей своей области определения. 
Функция LaTeX formula: y=f^{-1}(x) называется обратной к функции LaTeX formula: y=f(x)  , если в каждой точке LaTeX formula: x области значений обратимой функции LaTeX formula: f  она принимает такое значение LaTeX formula: y, что LaTeX formula: f(y)=x
Функции LaTeX formula: y=f(x) и LaTeX formula: y=f^{-1}(x) образуют пару взаимно обратных функций. Взаимно обратные функции обладают следующими свойствами
1) область определения функции LaTeX formula: y=f(x) является областью значений функции LaTeX formula: y=f^{-1}(x) , а область значений функции LaTeX formula: y=f(x) является областью определения функции LaTeX formula: y=f^{-1}(x) , т.е. LaTeX formula: D(f)=E(f^{-1}) , LaTeX formula: E(f)=D(f^{-1})
2) если функция LaTeX formula: y=f(x) монотонно возрастает (убывает), то и функция LaTeX formula: y=f^{-1}(x)возрастает (убывает); 
3) графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой LaTeX formula: y=x .

Например, функции LaTeX formula: y=\log _{a}x и LaTeX formula: y=a^{x}  (рис. 2.6) взаимно обратные.

Чтобы найти функцию обратную функции LaTeX formula: y=f(x)  необходимо решить уравнение относительно переменной LaTeX formula: x и в этом уравнении заменить LaTeX formula: x на LaTeX formula: y, а LaTeX formula: y заменить на LaTeX formula: x.



Пример 1.  Найдите количество всех целых чисел из области значений функцииLaTeX formula: y=\sqrt{1-2x+x^{2}}+\sqrt{x^{2}+2x+1}+2 , которые она принимает на промежутке LaTeX formula: (-3;4).

Решение . Запишем функцию в виде LaTeX formula: y=\sqrt{(x-1)^{2}}+\sqrt{(x+1)^{2}}+2, откуда LaTeX formula: y=\left | x-1 \right |+\left | x+1 \right |+2  .

1. Найдем нули функций, записанных под знаками модулей, решая уравнения LaTeX formula: x-1=0 , откуда LaTeX formula: x=1 и  LaTeX formula: x+1=0, откуда LaTeX formula: x=-1.

2. Нанесем числа LaTeX formula: -1 и LaTeX formula: 1 на интервал LaTeX formula: (-3;4)  (рис. 2.7) и раскроем модули на полученных промежутках:

1) если  LaTeX formula: x\in (-3;-1], то LaTeX formula: y=-x+1-x-1+2 или LaTeX formula: y=-2x+2

2) еслиLaTeX formula: x\in (-1;1] , то LaTeX formula: y=-x+1+x+1+2 или LaTeX formula: y=4
3) если  LaTeX formula: x\in (1;4), то LaTeX formula: y=-1+x+1+2 или LaTeX formula: y=2x+2
3. Построим графики полученных функций на соответствующих промежутках (рис. 2.7). Запишем область значений функции на промежутке LaTeX formula: (-3;4)LaTeX formula: y\in [4;10)  . Промежутку LaTeX formula: [4;10)  принадлежит шесть целых чисел: LaTeX formula: 4, LaTeX formula: 5, LaTeX formula: 6, LaTeX formula: 7, LaTeX formula: 8, LaTeX formula: 9.

Ответ:  LaTeX formula: 6 .

Пример 2.   Найдите длину отрезка, концы которого лежат на графике функции LaTeX formula: f(x)=15\left | x \right |^{51}+\sqrt[3]{x}-\frac{16}{x}+\cos x+\log_{5}\left | x \right | , а ось ординат является для него серединным перпендикуляром.
Решение  . Рассмотрим отрезок LaTeX formula: AB, который пересекает ось ординат в точке LaTeX formula: D, а концы его лежат на графике функции LaTeX formula: f(x)=15\left | x \right |^{51}+\sqrt[3]{x}-\frac{16}{x}+\cos x+\log_{5}\left | x \right | (рис. 2.8). 
Так как ось ординат является серединным перпендикуляром отрезка LaTeX formula: AB, то  LaTeX formula: AD=DB и LaTeX formula: AB\perp OD  . В таком случае справедливо равенство LaTeX formula: f(x)=f(-x)  .


Следовательно, LaTeX formula: 15\left | x \right |^{51}+\sqrt[3]{x}-\frac{16}{x}+\cos x+\ log_{5}\left | x \right |=15\left | x \right |^{51}-\sqrt[3]{x}+\frac{16}{x}+\cos x+\ log_{5}\left | x \right | LaTeX formula: \left | x \right |.
Упростим полученное уравнение и найдем значение LaTeX formula: x
LaTeX formula: \sqrt[3]{x}-\frac{16}{x}=-\sqrt[3]{x}+\frac{16}{x},  LaTeX formula: 2\sqrt[3]{x}=\frac{2\cdot 16}{x}LaTeX formula: \sqrt[3]{x}=\frac{ 16}{x} ,  LaTeX formula: x=\frac{16^{3}}{x^{3}}, LaTeX formula: x^{4}=2^{12}LaTeX formula: x=\pm 8
Найдем длину отрезка LaTeX formula: ABLaTeX formula: 8-(-8)=16 .
Ответ:  LaTeX formula: 16.

Не всякое равенство, содержащее переменные LaTeX formula: x и LaTeX formula: y, является функцией. 

Например, на рисунке 2.9 изображен график некоторой функции (каждому значениюLaTeX formula: x соответствует единственное значение LaTeX formula: y). На рисунке 2.10 изображена линия, которая не является графиком никакой функции (показано, что одному значению LaTeX formula: x соответствуют два значения LaTeX formula: y).


formula