Справочный материал Примеры Обратите внимание! Модели
1. Многогранник и шар
Шар вписан в призму, если он касается всех граней призмы. 
Шар описан около призмы, если все вершины призмы лежат на поверхности шара. 
Не во всякую призму можно вписать шар и не около всякой призмы можно описать шар.
Шар вписан в пирамиду, если он касается всех граней пирамиды. 
Шар описан около пирамиды, если все вершины пирамиды лежат на поверхности шара. 
2. Многогранник и цилиндр
Цилиндр вписан в прямую призму, если основания цилиндра вписаны в основания призмы. 
Цилиндр описан около прямой призмы, если его основания описаны около оснований призмы.
Цилиндр вписан в пирамиду, если одно из его оснований принадлежит основанию пирамиды, а другое его основание вписано в сечение пирамиды плоскостью, параллельной ее основанию. 
Цилиндр описан около пирамиды, если основание пирамиды вписано в одно из оснований цилиндра, а вершина пирамиды принадлежит другому основанию цилиндра. 
3. Многогранник и конус
Конус вписан в призму, если основание конуса вписано в одно из оснований призмы, а вершина конуса принадлежит другому основанию призмы. 
Конус описан около призмы, если вершины одного из оснований призмы лежат на поверхности конуса, а все вершины другого основания призмы принадлежат основанию конуса. 
Конус вписан в пирамиду, если основание конуса вписано в основание пирамиды, а вершина конуса совпадает с вершиной пирамиды. 
Конус описан около пирамиды, если основание конуса описано около основания пирамиды, а вершина конуса совпадает с вершиной пирамиды.
 4. Комбинация тел вращения
Шар вписан в конус, если он касается основания конуса в его центре, а боковой поверхности – по окружности. Центр шара находится на оси конуса и равноудален от центра основания и образующей конуса. 
Шар описан около конуса, если вершина и окружность основания конуса лежат на поверхности шара. Центр шара лежит на прямой, содержащей ось конуса, и равноудален от вершины и точек окружности основания конуса.
Шар вписан в цилиндр, если он касается оснований цилиндра в их центрах, а боковой поверхности цилиндра по большой окружности шара, параллельной основаниям. Центр шара лежит на середине оси цилиндра, а радиус шара можно найти по формуле:
LaTeX formula: R_{B\Pi }=\frac{h}{2}  , где LaTeX formula: h – высота цилиндра.
Шар описан около цилиндра, если окружности оснований цилиндра лежат на поверхности шара. 
Не во всякий цилиндр можно вписать шар, но около всякого цилиндра можно описать шар.
При решении задач целесообразно строить вспомогательное сечение, проходящее через ось цилиндра или конуса и центр шара. При этом в сечении цилиндра будет получаться прямоугольник, в сечении конуса – равнобедренный треугольник, в сечении шара – круг с радиусом, равным радиусу шара.
Конус вписан в цилиндр, если основание конуса совпадает с одним из оснований цилиндра, а вершина конуса совпадает с центром другого основания цилиндра. 
Конус описан около цилиндра, если одно из оснований цилиндра касается боковой поверхности конуса, а другое основание цилиндра принадлежит основанию конуса.
Пример 1. Шар радиуса LaTeX formula: 2 касается всех граней прямоугольного параллелепипеда. Найдите объем шара, описанного около этого параллелепипеда.
Решение. Шар можем вписать только в прямоугольный параллелепипед, основание которого является квадрат (рис.9.78). Следовательно, имеем куб с ребром LaTeX formula: a=2r=4 . Найдем диагональ этого куба:  LaTeX formula: d^2=3a^2,  LaTeX formula: d=a\sqrt{3}=4\sqrt{3} . 
Найдем радиус шара, описанного около куба:  LaTeX formula: R=\frac{d}{2}=2\sqrt{3} .
По формуле 9.26 найдем объем шара, описанного около куба: LaTeX formula: V=\frac{4}{3}\pi 24\sqrt{3}=32\sqrt{3}\pi .
Ответ:  LaTeX formula: 32\sqrt{3}\pi .
Пример 2. Все вершины треугольной призмы, основанием которой является треугольник со сторонами LaTeX formula: 3 ; LaTeX formula: 3 и LaTeX formula: 4 , лежат на поверхности шара. Найдите объем шара, если высота призмы равна LaTeX formula: 8 .
Решение. Так как шар описан около призмы, то все вершины призмы лежат на поверхности шара. Центр шара, с одной стороны, равноудален от вершин призмы, а с другой стороны, равноудален от центров окружностей, описанных около оснований призмы. 
На рисунке 9.79: точки LaTeX formula: O и LaTeX formula: O_1 – центры окружностей, описанных около оснований призмы; точка LaTeX formula: P – центр шара; LaTeX formula: R_{wapa} – радиус шара;  LaTeX formula: PO=PO_1=4 . 
Радиус окружности, описанной около основания призмы, найдем по формуле  LaTeX formula: R=\frac{abc}{4S} .
Площадь основания призмы найдем по формуле Герона  LaTeX formula: S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} . Получим:  LaTeX formula: S=\sqrt{5\cdot 2\cdot 2\cdot 1}=2\sqrt{5} .
Тогда  LaTeX formula: AO=R=\frac{3\cdot 3\cdot 4}{4\cdot 2\sqrt{5}}=\frac{9}{2\sqrt{5}} . 
По теореме Пифагора:  LaTeX formula: R^2_{wapa}=AO^2+PO^2,  LaTeX formula: R^2_{wapa}=\frac{81}{20}+16=\frac{401}{20} . 
Площадь поверхности шара найдем по формуле 9.25 :  LaTeX formula: S=\frac{4\pi \cdot 401}{20}=80,2\pi . 
Ответ:  LaTeX formula: 80,2\pi . 
Пример 3. Найдите отношение радиуса шара, описанного около правильного тетраэдра, к радиусу шара, вписанного в этот тетраэдр.
Решение. Пусть ребро тетраэдра равно LaTeX formula: a. Высота правильного тетраэдра опускается в центр правильного треугольника LaTeX formula: ABC (рис. 9.80), поэтому  LaTeX formula: OA=R=\frac{a}{\sqrt{3}} ,  LaTeX formula: OD=r=\frac{a}{2\sqrt{3}} . Центры описанного около правильного тетраэдра и вписанного в него шаров совпадают и лежат на высоте тетраэдра LaTeX formula: SO (точка LaTeX formula: O_1 ).
Поскольку точки LaTeX formula: A , LaTeX formula: B , LaTeX formula: C и LaTeX formula: S лежат на поверхности шара, то LaTeX formula: O_1A=O_1C=O_1B=O_1S=R_{Onuc.} 
Угол LaTeX formula: ADS – угол наклона боковой грани к плоскости основания (LaTeX formula: SD и LaTeX formula: AD – перпендикуляры к ребру LaTeX formula: CD). 
Вписанный шар касается всех граней тетраэдра, следовательно, его радиус является перпендикуляром к плоскостям граней, то есть  LaTeX formula: R_{Bnuc.}=O_1O=O_1N . 
Так как  LaTeX formula: \triangle SOD\sim \triangle SNO_1 ( LaTeX formula: \angle SNO_1=\angle SOD=90^{\circ} и  LaTeX formula: \angle S - общий), то запишем LaTeX formula: \frac{OD}{NO_1}=\frac{SD}{SO_1}  или  LaTeX formula: \frac{r}{R_{Bnuc.}}=\frac{SD}{R_{Onuc.}}, откуда  LaTeX formula: R_{Onuc.}=\frac{R_{Bnuc.}\cdot SD}{r} . 
Длину отрезка LaTeX formula: SD найдем из теоремы Пифагора:  LaTeX formula: CD=\sqrt{a^2-\frac{a^2}{4}}=\frac{a\sqrt{3}}{2} . 
Найдем отношение радиусов описного около тетраэдра и вписанного в тетраэдр шаров:
 LaTeX formula: \frac{R_{Onuc.}}{R_{Bnuc.}}=\frac{R_{Bnuc.}\cdot SD}{r\cdot R_{Bnuc.} }=\frac{SD}{r}=\frac{a\sqrt{3}}{2}:\frac{a}{2\sqrt{3}}=\frac{a\sqrt{3}\cdot 2\sqrt{3}}{2a}=3 .
Ответ: LaTeX formula: 3 .
Пример 4. В прямой параллелепипед, одна из диагоналей оснований которого равна  LaTeX formula: 2\sqrt{3} и равна стороне основания, вписан цилиндр, высота которого равна LaTeX formula: 3. Найдите объем параллелепипеда.
Решение. Окружность можно вписать в квадрат или в ромб. Но диагональ квадрата не может быть равна его стороне. Диагональ ромба может быть равна его стороне, если угол ромба равен  LaTeX formula: 60^{\circ}. Следовательно, основание параллелепипеда – ромб. 
Согласно формуле LaTeX formula: S=a^2sin\alpha найдем площадь ромба: 
LaTeX formula: S=12\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3} .
Высота параллелепипеда равна высоте цилиндра:  LaTeX formula: H=3 . 
Согласно формуле 9.6 найдем объем параллелепипеда: 
LaTeX formula: V=6\sqrt{3}\cdot 3=18\sqrt{3} .
Ответ:  LaTeX formula: 18\sqrt{3} .
Пример 5. Около правильной треугольной пирамиды описан цилиндр, объем которого равен  LaTeX formula: 12\sqrt{3}\pi . Найдите объем пирамиды.
Решение. Пусть LaTeX formula: R – радиус основания цилиндра, LaTeX formula: h – высота цилиндра и пирамиды. 
Согласно формулам 9.15 и 9.16 запишем:  LaTeX formula: \pi R^2h=12\sqrt{3}\pi ,  LaTeX formula: R^2h=12\sqrt{3} . 
Так как основание пирамиды – правильный треугольник со стороной LaTeX formula: a, а LaTeX formula: R – радиус окружности, описанной около этого треугольника, то  LaTeX formula: a=\sqrt{3R} . 
Найдем площадь основания пирамиды:  LaTeX formula: S_{o.}=\frac{\sqrt{3}a^2}{4}=\frac{3\sqrt{3}R^2}{4} . 
Согласно формуле  9.11 запишем объем пирамиды:  LaTeX formula: V=\frac{1}{3\cdot }\frac{3\sqrt{3}R^2}{4}\cdot h=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot R^2h . Учитывая, что  LaTeX formula: R^2h=12\sqrt{3} , получим:  LaTeX formula: V=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot 12\sqrt{3}=9 . 
Ответ: LaTeX formula: 9 .
Пример 6. Конус вписан в треугольную призму, основанием которой является прямоугольный треугольник с катетами LaTeX formula: 5 см и LaTeX formula: 12 см, а высота равна LaTeX formula: 3 см. Найдите площадь боковой поверхности конуса (рис. 9.81).
Решение. 1. Найдем гипотенузу треугольника: LaTeX formula: c=\sqrt{25+144}=13 (см). 
2. Найдем радиус окружности, вписанной в основание призмы: 
LaTeX formula: r=\frac{a+b-c}{2} , LaTeX formula: r=\frac{5+12-13}{2}=2 (см).
3. Высота конуса равна высоте призмы: LaTeX formula: h=3 см.
4. По теореме Пифагора найдем образующую конуса: 
LaTeX formula: l=\sqrt{r^2+h^2} ,  LaTeX formula: l=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}.
5. По формуле 9.22 найдем боковую поверхность конуса: LaTeX formula: S=2\sqrt{13}\pi (LaTeX formula: _{CM}\\^2 ). 
Ответ:  LaTeX formula: 2\sqrt{13}\piLaTeX formula: _{CM}\\^2 .
Пример 7. Правильная шестиугольная пирамида вписана в конус, объем которого равен  LaTeX formula: \frac{16\pi }{3} . Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, если известно, что радиус основания конуса в два раза меньше его высоты.
Решение. На рисунке 9.82: LaTeX formula: h – высота конуса и высота пирамиды, LaTeX formula: R – радиус основания конуса и радиус окружности, описанной около правильного шестиугольника и  LaTeX formula: R=0,5h .
С учетом формул 9.19 и 9.20 получим:  LaTeX formula: \frac{16\pi }{3}=\frac{1}{3}\pi R^2\cdot 2R , откуда  LaTeX formula: R^3=8 ,  LaTeX formula: R=2 . Тогда: сторона LaTeX formula: a правильного шестиугольника равна LaTeX formula: 2 ;  LaTeX formula: h=1 . 
Найдем радиус окружности, вписанной в шестиугольник:  LaTeX formula: r=\frac{3\sqrt{3}a^2}{2} ,  LaTeX formula: r=\frac{3\sqrt{3}\cdot 4}{2}=6\sqrt{3} . 
По теореме Пифагора найдем апофему пирамиды:
LaTeX formula: CS=\sqrt{h^2+r^2}=\sqrt{1+108}=\sqrt{109} .
По формуле 9.13 найдем площадь боковой поверхности пирамиды: 
LaTeX formula: S=\frac{1}{2}P_{o.}\cdot h_{\delta .} ,  LaTeX formula: S=\frac{1}{2}\cdot 12\cdot \sqrt{109}=6\sqrt{109} .
Ответ:  LaTeX formula: 6\sqrt{109} . 
Пример 8. Конус, высота которого равна LaTeX formula: 6 , вписан в шар радиуса LaTeX formula: 4 . Найдите объем конуса.
Решение. На рисунке 9.83 построено осевое сечение конуса. Так как  LaTeX formula: BP=6 , а  LaTeX formula: OA=OB=R=4 , то  LaTeX formula: OP=6-4=2 .
По теореме Пифагора:  LaTeX formula: r=\sqrt{16-4}=2\sqrt{3} . По формулам 9.19 и 9.20 найдем объем конуса:  LaTeX formula: V=\frac{1}{3}\pi r^2h=\frac{\pi}{3}(2\sqrt{3})^2\cdot 6=24\pi .
Ответ:  LaTeX formula: 24\pi . 
Пример 9. В конус, осевое сечение которого – равносторонний треугольник, вписан шар. Найдите объем конуса, если объем шара равен  LaTeX formula: \frac{9\pi }{16} LaTeX formula: _{CM}\\^3 .
Решение. Объем шара находят по формуле 9.26 . Радиус шара найдем, решая уравнение  LaTeX formula: \frac{4}{3}\pi R^3_{wapa}=\frac{9\pi}{16} , откуда получим LaTeX formula: R_{wapa}=\frac{3}{4}  см. Так как осевым сечением конуса является равносторонний треугольник LaTeX formula: ABC (рис. 9.84), то центр шара (точка LaTeX formula: O_1) лежит на высоте конуса и радиус шара равен радиусу LaTeX formula: r окружности, вписанной в треугольник LaTeX formula: ABC , т. е. LaTeX formula: R_{wapa}=r .
В свою очередь радиус окружности, вписанной в правильный треугольник со стороной LaTeX formula: a, находят по формуле  LaTeX formula: r=\frac{a}{2\sqrt{3}} . Следовательно,  LaTeX formula: a=2\sqrt{3}\cdot r , LaTeX formula: a=2\sqrt{3}\cdot \frac{3}{4}=\frac{3\sqrt{3}}{2} (см). 
Найдем радиус основания конуса и его высоту: LaTeX formula: R_{\kappa .}=\frac{1}{2}\cdot a=\frac{3\sqrt{3}}{2} (см); LaTeX formula: h_{\kappa .}=\sqrt{a^2-\frac{a^2}{4}}=\frac{\sqrt{3}a}{2} , LaTeX formula: h_{\kappa .}=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{3\sqrt{3}}{2}=\frac{9}{4} (см).
Согласно формулам 9.19 и 9.20 найдем объем конуса: LaTeX formula: V=\frac{1}{3}\pi \left ( \frac{3\sqrt{3}}{2} \right )^2\cdot \frac{9}{4}=\frac{81\pi}{64} (LaTeX formula: _{CM}\\^3).
Ответ: LaTeX formula: \frac{81\pi}{64}LaTeX formula: _{CM}\\^3 .
Пример 10. В цилиндр, площадь поверхности которого равна  LaTeX formula: 12\pi , вписана сфера. Найдите площадь поверхности сферы.
Решение. Осевое сечение цилиндра – квадрат. Тогда, если радиус основания цилиндра LaTeX formula: r, то его образующая LaTeX formula: l=2r=h и радиус шара  LaTeX formula: R=r
Согласно условию задачи:  LaTeX formula: 2\pi r^2+2\pi rl=12\pi ,  LaTeX formula: r^2=rl=6 ,  LaTeX formula: r^2=2r^2=6 ,  LaTeX formula: 3r^2=6 ,  LaTeX formula: r^2=2 ,  LaTeX formula: r=\sqrt{2} . 
Тогда LaTeX formula: R=\sqrt{2} и согласно формуле 9.25  получим:  LaTeX formula: S_{c\phi .}=4\pi \sqrt{2}^2=8\pi .
Ответ:  LaTeX formula: 8\pi .
1. В любую треугольную пирамиду можно вписать шар и около любой треугольной пирамиды можно описать шар.
2. В любой конус можно вписать шар и около любого конуса можно описать шар.
3. Решая задачи стереометрии, часто вовсе не обязательно изображать сами пространственные фигуры, а достаточно лишь выполнить некоторые фрагменты рисунка.

Объем прямой призмы высоты LaTeX formula: h и периметром основания LaTeX formula: P находят по формуле: 
 LaTeX formula: V=S_{o.} \cdot h . (9.6)
Площадь поверхности прямой призмы находят по формуле: 
LaTeX formula: S_{n.}=2S_{o.}+S_{\delta .} . (9.7)
Площадь боковой поверхности прямой призмы высоты LaTeX formula: h и периметром основания LaTeX formula: P находят по формуле:
LaTeX formula: S_{\delta .}=P_{o.} \cdot h . (9.8)
Объем наклонной призмы можно вычислить по формуле:
 LaTeX formula: V=S_{o.} \cdot h . (9.9)
Площадь поверхности наклонной призмы можно вычислить по формуле:  
LaTeX formula: S_{n.}=2S_{o.}+S_{\delta .} , (9.10)
Объем пирамиды высоты LaTeX formula: h находят по формуле: 
LaTeX formula: V=\frac{1}{3}S_{o.} \cdot h , (9.11)
Площадь поверхности пирамиды находят по формуле:
  LaTeX formula: S_{n.}=S_{o.}+S_{\delta .} . (9.12)
Площадь боковой поверхности правильной пирамиды находят по формуле: 
LaTeX formula: S_{\delta .}=\frac{1}{2}P_{o.} \cdot h_{\delta .} , (9.13)
где LaTeX formula: h_{\delta .}  – апофема пирамиды.
Объем цилиндра высоты LaTeX formula: h находят по формуле:
LaTeX formula: V=S_{o.}\cdot h . (9.15)
Площадь основания цилиндра (LaTeX formula: r – радиус основания) находят по формуле:
LaTeX formula: S_{o.}=\pi r ^2 . (9.16)
Площадь поверхности цилиндра находят по формуле:
LaTeX formula: S_{n.}=2S_{o.}+S_{\delta .} . (9.17)
Площадь боковой поверхности цилиндра находят по формуле:
LaTeX formula: S_{\delta .}=2\pi r l , (9.18)
где LaTeX formula: r – радиус основания, LaTeX formula: h – высота, LaTeX formula: l – образующая цилиндра.
Объем конуса высоты LaTeX formula: h находят по формуле:
LaTeX formula: V=\frac{1}{3}S_{o.}\cdot h . (9.19)
Площадь основания конуса (LaTeX formula: r – радиус основания) находят по формуле:
LaTeX formula: S_{o.}=\pi r^2. (9.20)
Площадь поверхности конуса находят по формуле:
LaTeX formula: S_{n.}=2S_{o.}+S_{\delta .} . (9.21)
Площадь боковой поверхности конуса находят по формуле:
LaTeX formula: S_{\delta .}=\pi r l , (9.22)
где r – радиус основания, l – образующая конуса.
Площадь сферы радиуса LaTeX formula: R находят по формуле:
LaTeX formula: S_{c\phi .}=4\pi R^2 . (9.25)
Объем шара радиусаLaTeX formula: R находят по формуле:
LaTeX formula: V_{wapa}=\frac{4}{3}\pi R^3 . (9.26)

formula