Справочный материал Примеры Обратите внимание! Модели
Пирамидой называют многогранник, одна грань которого – многоугольник, а остальные грани – треугольники с общей вершиной. Многоугольник называют основанием пирамиды, а треугольники – боковыми гранями
Высотой пирамиды называют перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды к плоскости ее основания. 
На рисунке 9.53 изображена четырехугольная пирамида LaTeX formula: SABCD с вершиной в точке LaTeX formula: S . Четырехугольник LaTeX formula: ABCD – основание пирамиды, треугольники LaTeX formula: SAB , LaTeX formula: SAD , LaTeX formula: SCD и LaTeX formula: SBC – ее боковые грани. Отрезки LaTeX formula: SA , LaTeX formula: SD , LaTeX formula: SC и LaTeX formula: SB – боковые ребра пирамиды. Отрезок LaTeX formula: SO – высота пирамиды. 
1. Если все боковые ребра пирамиды равны или наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом, то основание высоты пирамиды, проведенной из ее вершины, совпадает с центром окружности, описанной около основания пирамиды.
2. Если боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом (двугранные углы при основании равны), то основание высоты пирамиды, проведенной из ее вершины, совпадает с центром окружности, вписанной в основание пирамиды.
3. Если две боковые грани пирамиды перпендикулярны плоскости основания, то боковое ребро, содержащее эти грани, является высотой пирамиды. 
Объем пирамиды высоты LaTeX formula: h находят по формуле: 
LaTeX formula: V=\frac{1}{3}S_{o.} \cdot h , (9.11)
Площадь поверхности пирамиды находят по формуле:
  LaTeX formula: S_{n.}=S_{o.}+S_{\delta .} . (9.12)
Пирамида называется правильной, если ее основанием является правильный многоугольник, а основание высоты пирамиды, проведенной из ее вершины, совпадает с центром окружности, вписанной в основание пирамиды (или описанной около основания пирамиды, так как центры этих окружностей совпадают). 
На рисунке 9.54 изображена правильная четырехугольная пирамида, а на рисунке 9.55 – правильная треугольная.
Высоту боковой грани правильной пирамиды, проведенную из ее вершины, называют апофемой. На рисунке 9.54 отрезок LaTeX formula: SP – апофема правильной четырехугольной пирамиды. 
Любую треугольную пирамиду называют тетраэдром
Тетраэдр называется правильным, если все его ребра равны. 
На рисунке 9.56 изображен правильный тетраэдр.
Площадь боковой поверхности правильной пирамиды находят по формуле: 
LaTeX formula: S_{\delta .}=\frac{1}{2}P_{o.} \cdot h_{\delta .} , (9.13)
где LaTeX formula: h_{\delta .}  – апофема пирамиды.
Усеченной пирамидой называют многогранник, вершинами которого служат вершины основания пирамиды и вершины ее сечения плоскостью, параллельной основанию пирамиды. 
Основания усеченной пирамиды – подобные многоугольники.
Высотой усеченной пирамиды называют перпендикуляр, заключенный между плоскостями ее оснований. 
На рисунке 9.57 изображена треугольная усеченная пирамида, а на рисунке 9.58 – правильная четырехугольная усеченная пирамида.
Объем усеченной пирамиды находят по формуле:
LaTeX formula: V=\frac{1}{3}h(S_1+S_2+\sqrt{S_1S_2}) , (9.14)
где LaTeX formula: S_1 и LaTeX formula: S_2 – площади оснований, LaTeX formula: h – высота усеченной пирамиды.
Пример 1. Основанием пирамиды является правильный треугольник со стороной LaTeX formula: 2 дм, а две ее боковые грани перпендикулярны плоскости основания (рис. 9.59). Найдите объем пирамиды, зная, что ее высота равна LaTeX formula: \sqrt{3} дм. 
Решение. Так как две боковые грани LaTeX formula: ABS и LaTeX formula: CBS пирамиды перпендикулярны плоскости ее основания, то их общее ребро LaTeX formula: SB является высотой пирамиды. Площадь основания пирамиды найдем по формуле  LaTeX formula: S=\frac{\sqrt{3}a^2}{4} . Получим: LaTeX formula: S=\frac{4\sqrt{3}}{4}=\sqrt{3} (LaTeX formula: _{\partial M}\\^3). 
Объем пирамиды найдем по формуле  9.11 . Получим: LaTeX formula: V=\frac{1}{3}\cdot \sqrt{3}\cdot \sqrt{3}=1 (LaTeX formula: _{\partial M}\\^3).
Ответ: LaTeX formula: 1 LaTeX formula: _{\partial M}\\^3.
Пример 2. Вычислите объем правильного тетраэдра с ребром, равным  LaTeX formula: a .
Решение. Так как тетраэдр правильный (рис. 9.60), то его высота опускается в центр треугольника LaTeX formula: ABC : точку LaTeX formula: O , точку пересечения высот, биссектрис и медиан этого треугольника. 
Тогда LaTeX formula: OA=\frac{a }{\sqrt{3}} – радиус окружности, описанной около LaTeX formula: \triangle ABC ;  LaTeX formula: DO=h – высота тетраэдра. 
Найдем высоту тетраэдра. Рассмотрим треугольникLaTeX formula: AOD . Из теоремы Пифагора:  LaTeX formula: OD^2=AD^2-AO^2 ,  LaTeX formula: h^2=a^2-R^2 ,  LaTeX formula: h=\sqrt{a^2-\frac{a^2}{3}}=\sqrt{\frac{2a^2}{3}}=\frac{\sqrt{2}a}{\sqrt{3}} . 
Объем тетраэдра вычислим по формуле 9.11 , где  LaTeX formula: S_{o.}=\frac{\sqrt{3}a^2}{4} . Запишем:  LaTeX formula: V=\frac{1}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}a^2}{4}\cdot \frac{\sqrt{2}a}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{2}a^3}{12} .
Ответ:  LaTeX formula: \frac{\sqrt{2}a^3}{12} .
Пример 3. В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной LaTeX formula: c, и острым углом  LaTeX formula: 30^{\circ}. Боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под углом  LaTeX formula: 60^{\circ}. Найдите объем пирамиды. 
Решение. Основанием пирамиды является треугольник LaTeX formula: ABC : LaTeX formula: \angle C=90^{\circ} ;  LaTeX formula: AB=c (рис. 9.61). Так как боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом, то высота пирамиды опускается в центр окружности, описанной около этого треугольника (на рисунке 9.61 точка LaTeX formula: O ). Тогда LaTeX formula: AO=R=\frac{c}{2}  и высота пирамиды  LaTeX formula: h=SO . 
Рассмотрим прямоугольный треугольник LaTeX formula: SAO. Угол LaTeX formula: SAO является углом наклона бокового ребра к плоскости основания, так как отрезок LaTeX formula: AO – проекция ребра LaTeX formula: AS на плоскость основания и  LaTeX formula: \angle SAO=60^{\circ}. Тогда LaTeX formula: tg60^{\circ}=\frac{SO}{AO}  и  LaTeX formula: SO=\frac{\sqrt{3}c}{2}=h . 
Рассмотрим прямоугольный треугольник LaTeX formula: ABCLaTeX formula: CB=\frac{c}{2}  по свойству катета, лежащего против угла LaTeX formula: 30^{\circ} ;  LaTeX formula: \angle B=60^{\circ} . 
Найдем площадь треугольника:
LaTeX formula: S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot CB\cdot sin\angle B ,  LaTeX formula: S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}c\cdot \frac{c}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2} ,  LaTeX formula: S_{\triangle ABC}=\frac{\sqrt{3}c^2}{8} . 
По формуле 9.11 найдем объем пирамиды: LaTeX formula: V=\frac{1}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}c^2}{8}\cdot \frac{\sqrt{3}c}{2}=\frac{c^3}{16} .
Ответ:  LaTeX formula: \frac{c^3}{16} .
Пример 4. Основанием пирамиды служит треугольник со сторонами LaTeX formula: 5 см, LaTeX formula: 6 см и LaTeX formula: 6 см. Боковые грани пирамиды образуют с ее основанием равные двугранные углы, содержащие по  LaTeX formula: 45^{\circ} . Определите объем пирамиды.
Решение. Основанием пирамиды (рис. 9.62) служит равнобедренный треугольник LaTeX formula: ABCLaTeX formula: AB=CB=6 смсм, LaTeX formula: AC=5см. Так как боковые грани образуют с плоскостью основания равные двугранные углы, то высота пирамиды опускается в центр окружности, вписанной в треугольник LaTeX formula: ABC , то есть в точку  LaTeX formula: O , лежащую на высоте LaTeX formula: BK  этого треугольника.
Тогда LaTeX formula: AK=CK=2,5 см;  LaTeX formula: OK=r , где LaTeX formula: r – радиус окружности, вписанной в основание пирамиды и  LaTeX formula: r=\frac{2S}{a+b+c}.
Площадь треугольника LaTeX formula: ABC найдем по формуле Герона  LaTeX formula: S_{\triangle ABC}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} , где LaTeX formula: p=\frac{5+6+6}{2}=8,5 (см) и LaTeX formula: S_{\triangle ABC}=\sqrt{8,5\cdot (8,5-5)(8,5-6)^2}=\frac{5\sqrt{119}}{4} (LaTeX formula: _{CM}\\^3). Следовательно, LaTeX formula: r=\frac{5\sqrt{119}}{2\cdot 17}=\frac{5\sqrt{7}}{2\sqrt{17}} (см).
Угол LaTeX formula: SKB – линейный угол двугранного угла LaTeX formula: SACB, так как LaTeX formula: BK\perp AC и  LaTeX formula: SK\perp AC, и согласно условию задачи LaTeX formula: \angle SKB=45^{\circ} . Значит, треугольник LaTeX formula: SOK равнобедренный и LaTeX formula: h=r=\frac{5\sqrt{7}}{2\sqrt{17}}(см).
Согласно формуле  9.11 найдем объем пирамиды:
LaTeX formula: V=\frac{1}{3}\cdot \frac{5\sqrt{119}}{4}\cdot \frac{5\sqrt{7}}{2\sqrt{17}}=\frac{25\cdot 7}{24}=\frac{175}{24} (LaTeX formula: _{CM}\\^3).
Ответ: LaTeX formula: \frac{175}{24}LaTeX formula: _{CM}\\^3 .
Пример 5. Апофема правильной четырехугольной пирамиды (рис. 9.63) равна LaTeX formula: \sqrt{3} и образует с высотой пирамиды угол  LaTeX formula: 30^{\circ}. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. 
Решение. Так как пирамида правильная, то четырехугольник LaTeX formula: ABCD – квадрат, а ее боковые грани – равнобедренные треугольники. 
Точка LaTeX formula: O – центр окружности, вписанной в основание пирамиды, следовательно,  LaTeX formula: OP=r=\frac{DC}{2} . 
Поскольку LaTeX formula: \angle SOP=90^{\circ} , а  LaTeX formula: \angle PSO=30^{\circ} , то LaTeX formula: OP=\frac{\sqrt{3}}{2} , тогда LaTeX formula: DC=\sqrt{3} . 
По формуле 9.13 найдем площадь боковой поверхности пирамиды:   LaTeX formula: S_{\delta .}=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot \sqrt{3}\cdot \sqrt{3}=6 .
Ответ: LaTeX formula: 6 .
Пример 6. Основание пирамиды – ромб с острым углом  LaTeX formula: 30^{\circ} и стороной, равной LaTeX formula: 3. Найдите объем пирамиды, если известно, что ее вершина удалена от всех сторон основания на расстояние, равное  LaTeX formula: \sqrt{3}.
 
Решение. Так как вершина пирамиды равноудалена от всех сторон ромба, то основание высоты пирамиды (точка LaTeX formula: O) совпадает с центром окружности, вписанной в ромб (рис. 9.64). По формуле LaTeX formula: S=a^2sin\alpha  найдем площадь ромба:  LaTeX formula: S=3^2sin30^{\circ}=\frac{9}{2} . 
С другой стороны, площадь ромба можем найти и по формуле LaTeX formula: S=ah, откуда LaTeX formula: h=\frac{S}{a} ,  LaTeX formula: h=\frac{9}{2\cdot 3}=\frac{3}{2} .Тогда LaTeX formula: OP=\frac{h}{2}=\frac{3}{4} . 
Из теоремы Пифагора LaTeX formula: OS=\sqrt{SP^2-OP^2} ,  LaTeX formula: OS=\sqrt{3-\frac{9}{16}}=\frac{\sqrt{39}}{4} . 
По формуле 9.11 найдем объем пирамиды: 
LaTeX formula: V=\frac{1}{3}\cdot \frac{9}{2}\cdot \frac{\sqrt{39}}{4}=\frac{3\sqrt{39}}{8} .
Ответ:  LaTeX formula: \frac{3\sqrt{39}}{8} .
Пример 7. Боковое ребро правильной четырехугольной усеченной пирамиды наклонено к плоскости основания под углом  LaTeX formula: 45^{\circ} , а длины ребер оснований соответственно равны LaTeX formula: 2см и LaTeX formula: 4см (рис. 9.65). Найдите объем пирамиды. 
Решение. Так как основания усеченной пирамиды – квадраты со сторонами LaTeX formula: 2 и LaTeX formula: 4 см, то их площади соответственно равны: 
LaTeX formula: S_1=2^2=4 LaTeX formula: _{CM}\\^2 ,  LaTeX formula: S_2=4^2=16 LaTeX formula: _{CM}\\^2 .
По теореме Пифагора найдем диагонали квадратов: 
LaTeX formula: AD=\sqrt{16+16}=\sqrt{2\cdot 16}=4\sqrt{2} (см), LaTeX formula: BC=\sqrt{4+4}=\sqrt{2\cdot 4}=2\sqrt{2} (см).
Так как диагонали точкой пересечения делятся пополам, то LaTeX formula: OD=2\sqrt{2} см, а  LaTeX formula: NC=\sqrt{2} см. 
Рассмотрим диагональное сечение пирамиды – трапецию LaTeX formula: ABCD. Так как LaTeX formula: MO=CP, то имеем прямоугольник LaTeX formula: ONCP , в котором  LaTeX formula: OP=NC , а LaTeX formula: PD=OD-OP. Поскольку треугольник LaTeX formula: CPD равнобедренный, то LaTeX formula: PD=2\sqrt{2}-\sqrt{2}=\sqrt{2}  (см) и LaTeX formula: PC=\sqrt{2} см. Следовательно, высота усеченной пирамиды LaTeX formula: h=\sqrt{2} см. 
По формуле 9.14 найдем объем пирамиды: 
LaTeX formula: V=\frac{1}{3}\cdot \sqrt{2}(16+4+\sqrt{16\cdot 4})=\frac{\sqrt{2}}{3}(20+4\cdot 2)=\frac{28\sqrt{2}}{3} (LaTeX formula: _{CM}\\^3).
Ответ:  LaTeX formula: \frac{28\sqrt{2}}{3} LaTeX formula: _{CM}\\^3 . 
1. Решение задач, связанных с пирамидой, необходимо начинать с построения высоты пирамиды. 
2. Различайте правильную треугольную пирамиду и правильный тетраэдр: 
1) у правильной треугольной пирамиды основание – правильный треугольник, а боковые ребра хоть и равны между собой, но не обязательно, что они равны ребрам основания пирамиды; 
2) правильный тетраэдр – это треугольная пирамида, у которой все ребра равны. 
formula