Справочный материал
Примеры
Обратите внимание!
Видео
Модели
Пройти тесты

, (9.11)
. (9.12)
, (9.13)
, (9.14)



,
,
. 
(
).

.
,
.
(см),
(см).
(
).
Пирамидой называют многогранник, одна грань которого – многоугольник, а остальные грани – треугольники с общей вершиной. Многоугольник называют основанием пирамиды, а треугольники – боковыми гранями.
Высотой пирамиды называют перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды к плоскости ее основания.
На рисунке 9.53 изображена четырехугольная пирамида
с вершиной в точке
. Четырехугольник
– основание пирамиды, треугольники
,
,
и
– ее боковые грани. Отрезки
,
,
и
– боковые ребра пирамиды. Отрезок
– высота пирамиды.













1. Если все боковые ребра пирамиды равны или наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом, то основание высоты пирамиды, проведенной из ее вершины, совпадает с центром окружности, описанной около основания пирамиды.
2. Если боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом (двугранные углы при основании равны), то основание высоты пирамиды, проведенной из ее вершины, совпадает с центром окружности, вписанной в основание пирамиды.
3. Если две боковые грани пирамиды перпендикулярны плоскости основания, то боковое ребро, содержащее эти грани, является высотой пирамиды.
Объем пирамиды высоты
находят по формуле:


Площадь поверхности пирамиды находят по формуле:

Пирамида называется правильной, если ее основанием является правильный многоугольник, а основание высоты пирамиды, проведенной из ее вершины, совпадает с центром окружности, вписанной в основание пирамиды (или описанной около основания пирамиды, так как центры этих окружностей совпадают).
На рисунке 9.54 изображена правильная четырехугольная пирамида, а на рисунке 9.55 – правильная треугольная.
Высоту боковой грани правильной пирамиды, проведенную из ее вершины, называют апофемой. На рисунке 9.54 отрезок
– апофема правильной четырехугольной пирамиды.


Любую треугольную пирамиду называют тетраэдром.
Тетраэдр называется правильным, если все его ребра равны.
На рисунке 9.56 изображен правильный тетраэдр.
Площадь боковой поверхности правильной пирамиды находят по формуле:

где
– апофема пирамиды.

Усеченной пирамидой называют многогранник, вершинами которого служат вершины основания пирамиды и вершины ее сечения плоскостью, параллельной основанию пирамиды.
Основания усеченной пирамиды – подобные многоугольники.
Высотой усеченной пирамиды называют перпендикуляр, заключенный между плоскостями ее оснований.
На рисунке 9.57 изображена треугольная усеченная пирамида, а на рисунке 9.58 – правильная четырехугольная усеченная пирамида.

Объем усеченной пирамиды находят по формуле:

где
и
– площади оснований,
– высота усеченной пирамиды.



Пример 1. Основанием пирамиды является правильный треугольник со стороной
дм, а две ее боковые грани перпендикулярны плоскости основания (рис. 9.59). Найдите объем пирамиды, зная, что ее высота равна
дм.



Решение. Так как две боковые грани
и
пирамиды перпендикулярны плоскости ее основания, то их общее ребро
является высотой пирамиды. Площадь основания пирамиды найдем по формуле
. Получим:
(
).






Ответ:
.


Пример 2. Вычислите объем правильного тетраэдра с ребром, равным
.


Решение. Так как тетраэдр правильный (рис. 9.60), то его высота опускается в центр треугольника
: точку
, точку пересечения высот, биссектрис и медиан этого треугольника.


Тогда
– радиус окружности, описанной около
;
– высота тетраэдра.



Найдем высоту тетраэдра. Рассмотрим треугольник
. Из теоремы Пифагора:
,
,
.




Ответ:
.

Пример 3. В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной
, и острым углом
. Боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под углом
. Найдите объем пирамиды.




Решение. Основанием пирамиды является треугольник
:
;
(рис. 9.61). Так как боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом, то высота пирамиды опускается в центр окружности, описанной около этого треугольника (на рисунке 9.61 точка
). Тогда
и высота пирамиды
.






Рассмотрим прямоугольный треугольник
. Угол
является углом наклона бокового ребра к плоскости основания, так как отрезок
– проекция ребра
на плоскость основания и
. Тогда
и
.







Рассмотрим прямоугольный треугольник
:
по свойству катета, лежащего против угла
;
.




Найдем площадь треугольника:



Ответ:
.

Пример 4. Основанием пирамиды служит треугольник со сторонами
см,
см и
см. Боковые грани пирамиды образуют с ее основанием равные двугранные углы, содержащие по
. Определите объем пирамиды.





Решение. Основанием пирамиды (рис. 9.62) служит равнобедренный треугольник
:
см,
см. Так как боковые грани образуют с плоскостью основания равные двугранные углы, то высота пирамиды опускается в центр окружности, вписанной в треугольник
, то есть в точку
, лежащую на высоте
этого треугольника.






Тогда
см;
, где
– радиус окружности, вписанной в основание пирамиды и
.




Площадь треугольника
найдем по формуле Герона
, где
(см) и
(
). Следовательно,
(см).






Угол
– линейный угол двугранного угла
, так как
и
, и согласно условию задачи
. Значит, треугольник
равнобедренный и
(см).







Согласно формуле 9.11 найдем объем пирамиды:


Ответ: 
.


Пример 5. Апофема правильной четырехугольной пирамиды (рис. 9.63) равна
и образует с высотой пирамиды угол
. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.



Решение. Так как пирамида правильная, то четырехугольник
– квадрат, а ее боковые грани – равнобедренные треугольники.

Точка
– центр окружности, вписанной в основание пирамиды, следовательно,
.


Поскольку
, а
, то
, тогда
.




Ответ:
.

Пример 6. Основание пирамиды – ромб с острым углом
и стороной, равной
. Найдите объем пирамиды, если известно, что ее вершина удалена от всех сторон основания на расстояние, равное
.




Решение. Так как вершина пирамиды равноудалена от всех сторон ромба, то основание высоты пирамиды (точка
) совпадает с центром окружности, вписанной в ромб (рис. 9.64). По формуле
найдем площадь ромба:
.



С другой стороны, площадь ромба можем найти и по формуле
, откуда
,
.Тогда
.




Из теоремы Пифагора
,
.


По формуле 9.11 найдем объем пирамиды:

Ответ:
.

Пример 7. Боковое ребро правильной четырехугольной усеченной пирамиды наклонено к плоскости основания под углом
, а длины ребер оснований соответственно равны
см и
см (рис. 9.65). Найдите объем пирамиды.




Решение. Так как основания усеченной пирамиды – квадраты со сторонами
и
см, то их площади соответственно равны:






По теореме Пифагора найдем диагонали квадратов:


Так как диагонали точкой пересечения делятся пополам, то
см, а
см.


Рассмотрим диагональное сечение пирамиды – трапецию
. Так как
, то имеем прямоугольник
, в котором
, а
. Поскольку треугольник
равнобедренный, то
(см) и
см. Следовательно, высота усеченной пирамиды
см.









По формуле 9.14 найдем объем пирамиды:


Ответ:
.


1. Решение задач, связанных с пирамидой, необходимо начинать с построения высоты пирамиды.
2. Различайте правильную треугольную пирамиду и правильный тетраэдр:
1) у правильной треугольной пирамиды основание – правильный треугольник, а боковые ребра хоть и равны между собой, но не обязательно, что они равны ребрам основания пирамиды;
2) правильный тетраэдр – это треугольная пирамида, у которой все ребра равны.