Справочный материал Примеры Обратите внимание! Модели
Многогранником называют пространственное тело, ограниченное плоскими многоугольниками. 
Многоугольники называют гранями многогранника, стороны многоугольников – ребрами многогранника, а вершины многоугольников – вершинами многогранника. 
Многогранник называют выпуклым, если он расположен по одну сторону от плоскости каждой из его граней.
Правильным многогранником называют выпуклый многогранник, у которого все грани – правильные многоугольники с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине многогранника сходится одно и то же число ребер. 
Грани правильного многогранника могут быть или равносторонними треугольниками, или квадратами, или правильными пятиугольниками. 
Если у правильного многогранника грани – правильные треугольники, то соответствующими многогранниками являются правильный тетраэдр – он имеет LaTeX formula: 4 грани (рис.9.27), правильный октаэдр – он имеет LaTeX formula: 8 граней (рис.9.28), правильный икосаэдр – он имеет  LaTeX formula: 20  граней (рис. 9.29). 
Если у правильного многогранника грани – квадраты, то многогранник называется кубом или гексаэдром – он имеет LaTeX formula: 6 граней (рис. 9.30). 
Если у правильного многогранника грани – правильные пятиугольники, то многогранник называется додекаэдром – он имеет LaTeX formula: 12 граней (рис. 9.31).
Сечения многогранников
Секущей плоскостью многогранника называют плоскость, разделяющую этот многогранник на два многогранника. Сечением многогранника называют многоугольник, вершины которого лежат на ребрах многогранника, а стороны – на его гранях.
На рисунке 9.32 плоскость LaTeX formula: \alpha – секущая плоскость призмы, а четырехугольник LaTeX formula: ABCD – сечение призмы. 

Пример 1. Постройте сечение, проходящее через сторону LaTeX formula: AB нижнего основания и противоположную вершину LaTeX formula: C верхнего основания усеченной треугольной пирамиды, изображенной на рисунке 9.33. 
Решение. Поскольку точки LaTeX formula: A и LaTeX formula: C лежат в грани LaTeX formula: ADCM , то LaTeX formula: AC – прямая, по которой секущая плоскость пересекает эту грань (рис. 9.34). Поскольку точки LaTeX formula: C иLaTeX formula: B лежат в грани LaTeX formula: DCNB, то секущая плоскость пересекает эту грань по прямой LaTeX formula: CB . Следовательно, треугольник LaTeX formula: ACB – искомое сечение. 
Пример 2. Постройте сечение, проходящее через точку LaTeX formula: N параллельно плоскости основания треугольной пирамиды, изображенной на рисунке 9.35.
Решение. В плоскости грани LaTeX formula: SAB параллельно прямой LaTeX formula: AB построим отрезок LaTeX formula: NM (рис. 9.36). В плоскости грани LaTeX formula: SAD параллельно прямой LaTeX formula: AD построим отрезок LaTeX formula: MC . Так как точки LaTeX formula: C и LaTeX formula: N принадлежат грани LaTeX formula: SBD, то, соединив их, получим треугольник LaTeX formula: CNM – искомое сечение.
Пример 3. Постройте сечение пирамиды LaTeX formula: SABCD плоскостью, проходящей через точки LaTeX formula: M , LaTeX formula: N , LaTeX formula: P и LaTeX formula: F , принадлежащие его ребрам LaTeX formula: SBLaTeX formula: SALaTeX formula: SD и LaTeX formula: BC (рис. 9.37).
Решение. 1. Поскольку точки LaTeX formula: M и LaTeX formula: N принадлежат грани LaTeX formula: ASB пирамиды, то, соединяя их, получим отрезок LaTeX formula: MN, по которому секущая плоскость пересекает эту грань (рис. 9.38). 
2. Соединив точки LaTeX formula: N и LaTeX formula: P, получим отрезок, по которому секущая плоскость пересекает грань LaTeX formula: ASD. Прямая LaTeX formula: NP пересекает прямую LaTeX formula: AD в точке LaTeX formula: O .
3. В плоскости грани LaTeX formula: ABCD построим прямую LaTeX formula: OF, которая прямую LaTeX formula: DC пересекает в точке LaTeX formula: T . 
4. Соединяя точки LaTeX formula: P и LaTeX formula: T , а также точки LaTeX formula: F и LaTeX formula: T, получим пятиугольник LaTeX formula: MNPTF – искомое сечение.
Пример 4. Постройте сечение прямого параллелепипеда LaTeX formula: ABCDA_1B_1C_1D_1 плоскостью, проходящей через точки LaTeX formula: M , LaTeX formula: N и LaTeX formula: P , принадлежащие его ребрам LaTeX formula: A_1B_1 , LaTeX formula: B_1C_1 , LaTeX formula: CC_1  (рис. 9.39). 
Решение. 1. Поскольку точки LaTeX formula: M и LaTeX formula: N принадлежат грани LaTeX formula: A_1B_1C_1D_1 параллелепипеда, то, соединяя их, получим отрезок LaTeX formula: MN , по которому секущая плоскость пересекает эту грань (рис. 9.40). 
2. Соединив точки LaTeX formula: N и LaTeX formula: P, получим отрезок, по которому секущая плоскость пересекает грань LaTeX formula: BB_1C_1C. Прямая LaTeX formula: NP пересекает прямую LaTeX formula: BC в точке LaTeX formula: O , а прямую LaTeX formula: BB_1 – в точке LaTeX formula: T .
3. В плоскости грани LaTeX formula: AA_1B_1B построим прямую LaTeX formula: MT , которая прямую LaTeX formula: AB пересекает в точке LaTeX formula: L , а ребро параллелепипеда LaTeX formula: AA_1 – в точке LaTeX formula: F . 
4. В плоскости грани LaTeX formula: ABCD построим прямую LaTeX formula: LO , которая пересечет ребра LaTeX formula: AD и LaTeX formula: DC в точках LaTeX formula: K и LaTeX formula: Q .
5. Шестиугольник LaTeX formula: KFMNPQ– искомое сечение.

При построении сечений многогранников необходимо помнить:
а) соединяя точки, лежащие в плоскости одной грани, получим прямую, по которой секущая плоскость пересекает эту грань;
б) если секущая плоскость пересекает две параллельные грани, то линии пересечений параллельны. 

formula