Справочный материал
Примеры
Обратите внимание!
Видео
Модели
Пройти тесты
Десятичной дробью называют дробь, у которой знаменателем являются числа
,
,
, и т. д. Это дробь вида
, где
– целое отличное от нуля число, а
– натуральное число. Десятичные дроби принято записывать следующим образом: пишут целую часть числа, ставят запятую и пишут его дробную часть. При этом дробная часть должна содержать столько же цифр, сколько нулей содержит знаменатель дроби.






Например:
;
.


Свойства десятичных дробей
1. Если в десятичной дроби к последней цифре дробной части справа приписать любое количество нулей, то получится равная ей дробь. Например,
.

2. Если в дробной части десятичной дроби последняя цифра нуль (или несколько последних цифр нули), то получится равная ей дробь, если последнюю цифру нуль (или несколько последних нулей) отбросить. Например,
.

3. Если перед первой цифрой в целой части десятичной дроби слева приписать любое количество нулей, то получится равная ей дробь. Например:
.

4. Чтобы умножить десятичную дробь на
,
,
и т. д., необходимо запятую перенести на столько знаков вправо, сколько нулей записано после единицы у чисел
,
,
и т. д.






Например,
.

5. Чтобы разделить десятичную дробь на
,
,
и т. д., необходимо запятую перенести на столько знаков влево, сколько нулей записано после единицы у чисел
,
,
и т. д.






Например,
.

Правило сложения и вычитания десятичных дробей
Чтобы сложить (вычесть) десятичные дроби, необходимо:
1) уравнять число знаков после запятых в слагаемых (уменьшаемом и вычитаемом);
2) записать числа так, чтобы запятая оказалась под запятой;
3) сложить (вычесть) дроби по правилу сложения (вычитания) натуральных чисел;
3) в полученном числе поставить запятую под запятыми слагаемых (уменьшаемого и вычитаемого).
Например:

Правило умножения десятичных дробей
Чтобы умножить десятичные дроби, необходимо выполнить умножение, не обращая внимания на запятые, и в полученном произведении отделить справа столько цифр, сколько их содержится в обоих множителях вместе.
Например,
.

Правила деления десятичных дробей
1. При делении десятичной дроби на натуральное число запятую в частном ставят после того, как окончено деление целой части. Например,
.

2. При делении натурального числа или десятичной дроби на десятичную дробь в делимом и делителе переносят запятую вправо на столько цифр, сколько их содержится в делителе после запятой, и выполняют деление на натуральное число. Например,
.

Обращение обыкновенной дроби в десятичную дробь
Любую обыкновенную дробь можно обратить в равную ей десятичную дробь делением числителя на ее знаменатель. При этом возможны следующие случаи:
1) Если в знаменателе несократимой дроби не имеется других простых делителей, кроме чисел
и
, то частное выразится конечной десятичной дробью.


Например,
.

2) Если в знаменателе несократимой дроби имеются другие простые делители, а не только числа
и
, то остатки будут бесконечно повторяться, и частное выразится бесконечной периодической десятичной дробью. При этом группа повторяющихся цифр образует период. Период принято записывать в круглых скобках.


Например:
.

Обращение десятичной дроби в обыкновенную дробь
Любая конечная и любая бесконечная периодическая десятичная дробь может быть обращена в обыкновенную. Чтобы обратить конечную десятичную дробь в обыкновенную, необходимо опустить запятую и записать полученное число в числитель обыкновенной дроби, а в знаменатель этой дроби записать цифру
и столько нулей, сколько имелось цифр после запятой в десятичной дроби. Например,
.


Чтобы обратить бесконечную десятичную периодическую дробь в обыкновенную, необходимо к числу, записанному до периода прибавить обыкновенную дробь, в числитель которой записать число, входящее в период, а в знаменатель записать цифру
столько раз, сколько цифр содержит период, и дописать столько нулей, сколько цифр между запятой и периодом.

Например,
.

Округление десятичных дробей
При округлении десятичных дробей до какого-нибудь разряда поступают следующим образом:
1) все цифры, следующие за этим разрядом, заменяют нулями, если они стояли до запятой, или отбрасывают, если они стояли после запятой;
2) последнюю оставшуюся цифру не изменяют, если первая следующая за этим разрядом цифра
,
,
,
,
, или последнюю цифру увеличивают на единицу, если первая следующая за этим разрядом цифра
,
,
,
или
.










Сравнение десятичных дробей
1. Чтобы сравнить десятичные дроби с разными целыми частями, достаточно сравнить их целые части.
2. Чтобы сравнить десятичные дроби с одинаковыми целыми частями, необходимо уравнять число их знаков после запятой и сравнить эти дроби по правилам сравнения целых чисел и обыкновенных дробей.
Пример 1. Округлите число
до сотен, десятков, единиц, десятых и сотых.

Решение. 1. Округляя число
до сотен, цифры
и
заменим нулями, цифры, стоящие после запятой, отбросим, а цифру
изменять не будем, так как первая из следующих за разрядом сотен была цифра
, и получим
.






2. Округляя число
до десятков, цифры, стоящие после запятой, отбросим, цифру
заменим нулем, а цифру
увеличим на
, так как первая из следующих за разрядом десятков была цифра
, и получим
.






3. Округляя число
до единиц, получим
.


4. Округляя число
до десятых, получим
.


5. Округляя число
до сотых, получим
.


Пример 2. Представьте в виде обыкновенной дроби числа
и 


Решение. 1)
;

2) 
.


Ответ:
,
.


1. Любое целое число можно представить десятичной дробью. Например,
;
.


2.
, так как
.

