Справочный материал Примеры Обратите внимание! Модели
Десятичной дробью называют дробь, у которой знаменателем являются числа LaTeX formula: 10 , LaTeX formula: 100 , LaTeX formula: 1000 , и т. д. Это дробь вида LaTeX formula: \frac{a}{10^n} , где LaTeX formula: a – целое отличное от нуля число, а LaTeX formula: n – натуральное число. Десятичные дроби принято записывать следующим образом: пишут целую часть числа, ставят запятую и пишут его дробную часть. При этом дробная часть должна содержать столько же цифр, сколько нулей содержит знаменатель дроби. 
Например:  LaTeX formula: \frac{1}{10}=0,1 ;  LaTeX formula: 1\frac{23}{100}=1,23 .
Свойства десятичных дробей
1. Если в десятичной дроби к последней цифре дробной части справа приписать любое количество нулей, то получится равная ей дробь. Например, LaTeX formula: 1,5=1,50=1,500 . 
2. Если в дробной части десятичной дроби последняя цифра нуль (или несколько последних цифр нули), то получится равная ей дробь, если последнюю цифру нуль (или несколько последних нулей) отбросить. Например,  LaTeX formula: 1,01000=1,01 .
3. Если перед первой цифрой в целой части десятичной дроби слева приписать любое количество нулей, то получится равная ей дробь. Например:  LaTeX formula: 1,5=01,5 .
4. Чтобы умножить десятичную дробь на LaTeX formula: 10 , LaTeX formula: 100 , LaTeX formula: 1000 и т. д., необходимо запятую перенести на столько знаков вправо, сколько нулей записано после единицы у чисел LaTeX formula: 10 , LaTeX formula: 100 , LaTeX formula: 1000 и т. д.
Например,  LaTeX formula: -1,234 \cdot 10=-12,34 .
5. Чтобы разделить десятичную дробь на LaTeX formula: 10 , LaTeX formula: 100 , LaTeX formula: 1000 и т. д., необходимо запятую перенести на столько знаков влево, сколько нулей записано после единицы у чисел LaTeX formula: 10 , LaTeX formula: 100 , LaTeX formula: 1000 и т. д. 
Например,  LaTeX formula: 1:100=001,0:100=0,01 .
Правило сложения и вычитания десятичных дробей
Чтобы сложить (вычесть) десятичные дроби, необходимо: 
1) уравнять число знаков после запятых в слагаемых (уменьшаемом и вычитаемом);
2) записать числа так, чтобы запятая оказалась под запятой;
3) сложить (вычесть) дроби по правилу сложения (вычитания) натуральных чисел;
3) в полученном числе поставить запятую под запятыми слагаемых (уменьшаемого и вычитаемого).
Например: 
         
Правило умножения десятичных дробей
Чтобы умножить десятичные дроби, необходимо выполнить умножение, не обращая внимания на запятые, и в полученном произведении отделить справа столько цифр, сколько их содержится в обоих множителях вместе. 
Например, LaTeX formula: 0,23 \cdot 1,1=0,253 . 
Правила деления десятичных дробей
1. При делении десятичной дроби на натуральное число запятую в частном ставят после того, как окончено деление целой части. Например, LaTeX formula: 10,6:2=5,3 .
2. При делении натурального числа или десятичной дроби на десятичную дробь в делимом и делителе переносят запятую вправо на столько цифр, сколько их содержится в делителе после запятой, и выполняют деление на натуральное число. Например,  LaTeX formula: 102:0,2=1020:2=510 .
Обращение обыкновенной дроби в десятичную дробь
Любую обыкновенную дробь можно обратить в равную ей десятичную дробь делением числителя на ее знаменатель. При этом возможны следующие случаи: 
1) Если в знаменателе несократимой дроби не имеется других простых делителей, кроме чисел LaTeX formula: 2 и LaTeX formula: 5, то частное выразится конечной десятичной дробью.
Например,  LaTeX formula: \frac{23}{8}=2,875 .  
2) Если в знаменателе несократимой дроби имеются другие простые делители, а не только числа LaTeX formula: 2 и LaTeX formula: 5, то остатки будут бесконечно повторяться, и частное выразится бесконечной периодической десятичной дробью. При этом группа повторяющихся цифр образует период. Период принято записывать в круглых скобках. 
Например:  LaTeX formula: \frac{8}{15}=0,5333...=0,5(3) .
Обращение десятичной дроби в обыкновенную дробь
Любая конечная и любая бесконечная периодическая десятичная дробь может быть обращена в обыкновенную. Чтобы обратить конечную десятичную дробь в обыкновенную, необходимо опустить запятую и записать полученное число в числитель обыкновенной дроби, а в знаменатель этой дроби записать цифру LaTeX formula: 1 и столько нулей, сколько имелось цифр после запятой в десятичной дроби. Например,  LaTeX formula: 2,35=\frac{235}{100}=\frac{47}{20} .
Чтобы обратить бесконечную десятичную периодическую дробь в обыкновенную, необходимо к числу, записанному до периода прибавить обыкновенную дробь, в числитель которой записать число, входящее в период, а в знаменатель записать цифру LaTeX formula: 9 столько раз, сколько цифр содержит период, и дописать столько нулей, сколько цифр между запятой и периодом. 
Например,  LaTeX formula: 1,5(61)=1,5+\frac{61}{990} .
Округление десятичных дробей
При округлении десятичных дробей до какого-нибудь разряда поступают следующим образом: 
1) все цифры, следующие за этим разрядом, заменяют нулями, если они стояли до запятой, или отбрасывают, если они стояли после запятой;
2) последнюю оставшуюся цифру не изменяют, если первая следующая за этим разрядом цифра LaTeX formula: 0 , LaTeX formula: 1 , LaTeX formula: 2 , LaTeX formula: 3 , LaTeX formula: 4, или последнюю цифру увеличивают на единицу, если первая следующая за этим разрядом цифра LaTeX formula: 5 , LaTeX formula: 6 , LaTeX formula: 7 , LaTeX formula: 8 или LaTeX formula: 9 . 
Сравнение десятичных дробей
1. Чтобы сравнить десятичные дроби с разными целыми частями, достаточно сравнить их целые части. 
2. Чтобы сравнить десятичные дроби с одинаковыми целыми частями, необходимо уравнять число их знаков после запятой и сравнить эти дроби по правилам сравнения целых чисел и обыкновенных дробей. 

Пример 1. Округлите число LaTeX formula: 547,593 до сотен, десятков, единиц, десятых и сотых.
Решение. 1. Округляя число LaTeX formula: 547,593 до сотен, цифры LaTeX formula: 4 и LaTeX formula: 7 заменим нулями, цифры, стоящие после запятой, отбросим, а цифру LaTeX formula: 5 изменять не будем, так как первая из следующих за разрядом сотен была цифра LaTeX formula: 4, и получим  LaTeX formula: 547,593 \approx 500 .
2. Округляя числоLaTeX formula: 547,593 до десятков, цифры, стоящие после запятой, отбросим, цифру LaTeX formula: 7 заменим нулем, а цифру LaTeX formula: 4 увеличим на LaTeX formula: 1, так как первая из следующих за разрядом десятков была цифра LaTeX formula: 7, и получим  LaTeX formula: 547,593 \approx 550.
3. Округляя число LaTeX formula: 547,593 до единиц, получим  LaTeX formula: 547,593 \approx 548 . 
4. Округляя число LaTeX formula: 547,593 до десятых, получим  LaTeX formula: 547,593 \approx 547,6 . 
5. Округляя число LaTeX formula: 547,593 до сотых, получим  LaTeX formula: 547,593 \approx 547,59 .
Пример 2. Представьте в виде обыкновенной дроби числа LaTeX formula: 0,02(3) и LaTeX formula: 2,5(31)
Решение. 1)  LaTeX formula: 0,02(3)=0,02+\frac{3}{900}=\frac{1}{50}+\frac{1}{300}=\frac{6+1}{300}=\frac{7}{300} ;
2)  LaTeX formula: 2,5(31)=2,5+\frac{31}{990}=2+\frac{5}{10}+\frac{31}{990}=2+\frac{495+31}{990}=2\frac{526}{990}=LaTeX formula: 2\frac{263}{990} .
Ответ:  LaTeX formula: \frac{7}{495},  LaTeX formula: 2\frac{263}{990} .

1. Любое целое число можно представить десятичной дробью. Например,  LaTeX formula: 1=1,0 ;  LaTeX formula: -12=-12,0 . 
2. LaTeX formula: 0,999...=1,000... , так как  LaTeX formula: 0,999...=0,(9)=\frac{9}{9}=1 .

formula