Справочный материал Примеры Обратите внимание! Модели
Простейшими фигурами в пространстве являются точка, прямая и плоскость
Точки обозначают прописными буквами латинского алфавита: LaTeX formula: A , LaTeX formula: B , LaTeX formula: C , LaTeX formula: D и т. д.
Прямые обозначают или строчными буквами латинского алфавита LaTeX formula: a , LaTeX formula: b , LaTeX formula: c , LaTeX formula: d или двумя прописными буквами LaTeX formula: AB , LaTeX formula: CD и т. д. 
Плоскости обозначают строчными буквами греческого алфавита LaTeX formula: \alpha , LaTeX formula: \beta , LaTeX formula: \gamma и т. д. 
На рисунках плоскости изображают в виде произвольной области, а чаще в виде параллелограмма. 
На рисунке 9.1 изображены плоскости LaTeX formula: \alpha , LaTeX formula: \beta и LaTeX formula: \gamma .
Если точка LaTeX formula: A принадлежит плоскости LaTeX formula: \alpha, то пишут: LaTeX formula: A\in \alpha ; если точка LaTeX formula: B не принадлежит этой плоскости, то пишут: LaTeX formula: B\notin \alpha  (рис. 9.2). 
Если прямая с принадлежит плоскости LaTeX formula: \beta , то пишут: LaTeX formula: c\subset \beta ; если прямая LaTeX formula: b не принадлежит этой плоскости, то пишут: LaTeX formula: b \not \subset \beta  (рис. 9.3).
Основные свойства взаимного расположения точек, прямых и плоскостей в пространстве выражают аксиомы стереометрии и следствия из них.
Аксиомы стереометрии
1. Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну. 
На рисунке 9.4 через точкиLaTeX formula: A , LaTeX formula: B и LaTeX formula: C проведена плоскость LaTeX formula: \alpha .
2. Если две точки прямой принадлежат плоскости, то все точки этой прямой принадлежат данной плоскости. 
На рисунке 9.5 точки LaTeX formula: Aи LaTeX formula: B прямой LaTeX formula: a принадлежат плоскости LaTeX formula: \beta , следовательно, прямая LaTeX formula: a принадлежит плоскости LaTeX formula: \beta .
3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, которой принадлежат все общие точки этих плоскостей. 
На рисунке 9.6 плоскости LaTeX formula: \beta и LaTeX formula: \gamma имеют общую точку LaTeX formula: A , принадлежащую прямой LaTeX formula: b , следовательно, имеют общую прямую LaTeX formula: b .
Следствия из аксиом 
1. Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и притом только одну. На рисунке 9.7 через прямуюLaTeX formula: a и точкуLaTeX formula: A проведена плоскость LaTeX formula: \gamma .
2. Через две пересекающиеся прямые можно провести плоскость, и притом только одну. На рисунке 9.8 через пересекающиеся прямые LaTeX formula: a и LaTeX formula: b проведена плоскость LaTeX formula: \alpha .
Взаимное расположение прямых в пространстве
Две прямые в пространстве могут пересекаться, быть параллельными, скрещиваться или совпадать. 
Две прямые в пространстве параллельны, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. На рисунке 9.9 прямые LaTeX formula: a и LaTeX formula: b параллельны. 
Углом между двумя пересекающимися прямыми в пространстве называется наименьший из углов, образованных лучами этих прямых с вершиной в точке их пересечения. На рисунке 9.10 прямые LaTeX formula: b и LaTeX formula: c пересекаются под углом  LaTeX formula: \alpha . 
Две прямые называются перпендикулярными, если угол между ними прямой.
Две прямые в пространстве скрещиваются, если не существует плоскости, в которой они обе лежат. 
Признак скрещивающихся прямых: если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а вторая прямая пересекает эту плоскость в точке, не принадлежащей первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся. 
На рисунке 9.11 изображены скрещивающиеся прямые LaTeX formula: a и LaTeX formula: b . 
Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным. 
На рисунке 9.12 прямая LaTeX formula: d параллельна прямой LaTeX formula: aLaTeX formula: \alpha  – угол между скрещивающимися прямыми LaTeX formula: a и LaTeX formula: b .
Взаимное расположение прямых и плоскостей
В пространстве прямая может пересекать плоскость, быть ей параллельной или лежать в плоскости. 
На рисунке 9.13 прямая LaTeX formula: b пересекает плоскость LaTeX formula: \beta в точке LaTeX formula: A . 
На рисунке 9.14 прямая LaTeX formula: b параллельна плоскости LaTeX formula: \beta, а прямая LaTeX formula: a лежит в этой плоскости.
Плоскость и прямая, не принадлежащая плоскости, параллельны, если они не имеют общих точек.
Признак параллельности прямой и плоскости: если прямая, не принадлежащая плоскости, параллельна какой-либо прямой, принадлежащей этой плоскости, то она параллельна плоскости. 
На рисунке 9.14 прямая LaTeX formula: a принадлежит плоскости LaTeX formula: \beta , а прямая LaTeX formula: b параллельна прямой LaTeX formula: a и не принадлежит плоскости LaTeX formula: \beta , следовательно, прямая LaTeX formula: b параллельна плоскости LaTeX formula: \beta .
Если плоскость содержит прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой. На рисунке 9.15 плоскость LaTeX formula: \alpha содержит прямую LaTeX formula: a , параллельную плоскости LaTeX formula: \beta , и пересекает плоскость LaTeX formula: \beta, следовательно, линия пересечения этих плоскостей LaTeX formula: b параллельна прямой LaTeX formula: a.
Если через каждую из двух параллельных прямых проведены пересекающиеся плоскости, то линия их пересечения параллельна данным прямым. На рисунке 9.16 через две параллельные прямые LaTeX formula: a и LaTeX formula: c проведены пересекающиеся плоскости LaTeX formula: \alpha и LaTeX formula: \beta , следовательно, линия пересечения этих плоскостей LaTeX formula: b параллельна прямым LaTeX formula: a и LaTeX formula: c .
Взаимное расположение плоскостей в пространстве
Две плоскости в пространстве могут совпадать, быть параллельны или пересекаться.
Две плоскости параллельны, если они не имеют общих точек. 
Признак параллельности плоскостей: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны. 
На рисунке 9.17 пересекающиеся прямые LaTeX formula: c и LaTeX formula: d принадлежат плоскости LaTeX formula: \beta, а пересекающиеся прямые LaTeX formula: a и LaTeX formula: b – плоскости LaTeX formula: \alpha . При этом прямая LaTeX formula: c параллельна прямой LaTeX formula: a и прямая LaTeX formula: d параллельна прямой LaTeX formula: b. Следовательно, данные плоскости параллельны.
Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, принадлежащей плоскости. 
Признак перпендикулярности прямой и плоскости: если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости. 
На рисунке 9.18 прямая LaTeX formula: b перпендикулярна каждой из двух пересекающихся прямых LaTeX formula: a и LaTeX formula: c , принадлежащих плоскости LaTeX formula: \alpha , следовательно, прямая LaTeX formula: b перпендикулярна данной плоскости.
Свойства прямой, перпендикулярной плоскости
1. Два различных перпендикуляра к плоскости параллельны. 
На рисунке 9.19 прямые LaTeX formula: a и LaTeX formula: b перпендикулярны плоскости LaTeX formula: \alpha , следовательно, LaTeX formula: a\parallel b .
2. Прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных плоскостей, перпендикулярна и другой плоскости. 
На рисунке 9.20 плоскости LaTeX formula: \alpha и LaTeX formula: \beta параллельны. Прямая LaTeX formula: d перпендикулярна плоскости LaTeX formula: \alpha , следовательно, она перпендикулярна и плоскости LaTeX formula: \beta .
Прямая, пересекающая плоскость, но не перпендикулярная к ней, называется наклонной к плоскости
На рисунке 9.21 прямая LaTeX formula: b – наклонная к плоскости LaTeX formula: \alpha .
Теорема о трех перпендикулярах. Для того чтобы прямая, лежащая в плоскости, была перпендикулярна наклонной к плоскости, необходимо и достаточно, чтобы она была перпендикулярна проекции этой наклонной на плоскость. 
На рисунке 9.21 прямая LaTeX formula: b – наклонная к плоскости, прямая LaTeX formula: c – проекция этой наклонной на плоскость и LaTeX formula: a\perp c. Тогда  LaTeX formula: a\perp b .
Углом между прямой и плоскостью называют угол между прямой и ее проекцией на плоскость. На рисунке 9.22 прямая LaTeX formula: b – наклонная к плоскости, прямая LaTeX formula: a – проекция этой наклонной на плоскость, следовательно, угол LaTeX formula: \alpha – угол между прямой LaTeX formula: b и плоскостью.
Двугранным углом называют угол, образованный двумя полуплоскостями с общей границей. Прямую, которая является общей границей этих полуплоскостей, называют ребром двугранного угла, а полуплоскости с общим ребром – гранями двугранного угла. 
На рисунке 9.23 изображен двугранный угол. Полуплоскости LaTeX formula: \alpha и LaTeX formula: \beta – грани этого угла, прямая LaTeX formula: a – ребро.
В результате пересечения двух плоскостей образуется четыре двугранных угла (рис. 9.24).
Двугранный угол измеряется соответствующим линейным углом. Линейным углом двугранного угла называют угол между перпендикулярами, проведенными в каждой грани к ребру. 
На рисунке 9.25 угол LaTeX formula: \gamma – линейный угол двугранного угла.
Двугранный угол может иметь любое значение от LaTeX formula: 0 до  LaTeX formula: 180^{\circ} . Если линейный угол двугранного угла равен  LaTeX formula: 90^{\circ} , то плоскости перпендикулярны
Признак перпендикулярности плоскостей: если плоскость содержит перпендикуляр к другой плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.
На рисунке 9.26 плоскости LaTeX formula: \alpha и LaTeX formula: \beta перпендикулярны.

1. Плоскости в пространстве могут: совпадать; пересекаться (образуют двугранный угол); быть параллельными.
2. Прямые в пространстве могут: совпадать; пересекаться; быть параллельными; скрещиваться.
3. Прямая может: принадлежать плоскости; пересекать плоскость (ее называют наклонной к плоскости); быть ей параллельной.
4. Теорема о трех перпендикулярах устанавливает взаимосвязь между прямыми, пересекающими плоскость и прямыми, принадлежащими этой плоскости. 


formula