Справочный материал
Примеры
Обратите внимание!
Видео
Модели
Пройти тесты












Простейшими фигурами в пространстве являются точка, прямая и плоскость.
Точки обозначают прописными буквами латинского алфавита:
,
,
,
и т. д.




Прямые обозначают или строчными буквами латинского алфавита
,
,
,
или двумя прописными буквами
,
и т. д.






Плоскости обозначают строчными буквами греческого алфавита
,
,
и т. д.



На рисунках плоскости изображают в виде произвольной области, а чаще в виде параллелограмма.
На рисунке 9.1 изображены плоскости
,
и
.




Если точка
принадлежит плоскости
, то пишут:
; если точка
не принадлежит этой плоскости, то пишут:
(рис. 9.2).





Если прямая с принадлежит плоскости
, то пишут:
; если прямая
не принадлежит этой плоскости, то пишут:
(рис. 9.3).





Основные свойства взаимного расположения точек, прямых и плоскостей в пространстве выражают аксиомы стереометрии и следствия из них.
Аксиомы стереометрии
1. Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну.
На рисунке 9.4 через точки
,
и
проведена плоскость
.




2. Если две точки прямой принадлежат плоскости, то все точки этой прямой принадлежат данной плоскости.
На рисунке 9.5 точки
и
прямой
принадлежат плоскости
, следовательно, прямая
принадлежит плоскости
.






3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, которой принадлежат все общие точки этих плоскостей.
На рисунке 9.6 плоскости
и
имеют общую точку
, принадлежащую прямой
, следовательно, имеют общую прямую
.






Следствия из аксиом
1. Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и притом только одну. На рисунке 9.7 через прямую
и точку
проведена плоскость
.



2. Через две пересекающиеся прямые можно провести плоскость, и притом только одну. На рисунке 9.8 через пересекающиеся прямые
и
проведена плоскость
.




Взаимное расположение прямых в пространстве
Две прямые в пространстве могут пересекаться, быть параллельными, скрещиваться или совпадать.
Две прямые в пространстве параллельны, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. На рисунке 9.9 прямые
и
параллельны.


Углом между двумя пересекающимися прямыми в пространстве называется наименьший из углов, образованных лучами этих прямых с вершиной в точке их пересечения. На рисунке 9.10 прямые
и
пересекаются под углом
.



Две прямые называются перпендикулярными, если угол между ними прямой.

Две прямые в пространстве скрещиваются, если не существует плоскости, в которой они обе лежат.
Признак скрещивающихся прямых: если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а вторая прямая пересекает эту плоскость в точке, не принадлежащей первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.
На рисунке 9.11 изображены скрещивающиеся прямые
и
.


Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным.
На рисунке 9.12 прямая
параллельна прямой
,
– угол между скрещивающимися прямыми
и
.






Взаимное расположение прямых и плоскостей
В пространстве прямая может пересекать плоскость, быть ей параллельной или лежать в плоскости.
На рисунке 9.13 прямая
пересекает плоскость
в точке
.



На рисунке 9.14 прямая
параллельна плоскости
, а прямая
лежит в этой плоскости.




Плоскость и прямая, не принадлежащая плоскости, параллельны, если они не имеют общих точек.
Признак параллельности прямой и плоскости: если прямая, не принадлежащая плоскости, параллельна какой-либо прямой, принадлежащей этой плоскости, то она параллельна плоскости.
На рисунке 9.14 прямая
принадлежит плоскости
, а прямая
параллельна прямой
и не принадлежит плоскости
, следовательно, прямая
параллельна плоскости
.







Если плоскость содержит прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой. На рисунке 9.15 плоскость
содержит прямую
, параллельную плоскости
, и пересекает плоскость
, следовательно, линия пересечения этих плоскостей
параллельна прямой
.






Если через каждую из двух параллельных прямых проведены пересекающиеся плоскости, то линия их пересечения параллельна данным прямым. На рисунке 9.16 через две параллельные прямые
и
проведены пересекающиеся плоскости
и
, следовательно, линия пересечения этих плоскостей
параллельна прямым
и
.








Взаимное расположение плоскостей в пространстве
Две плоскости в пространстве могут совпадать, быть параллельны или пересекаться.
Две плоскости параллельны, если они не имеют общих точек.
Признак параллельности плоскостей: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.
На рисунке 9.17 пересекающиеся прямые
и
принадлежат плоскости
, а пересекающиеся прямые
и
– плоскости
. При этом прямая
параллельна прямой
и прямая
параллельна прямой
. Следовательно, данные плоскости параллельны.











Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, принадлежащей плоскости.
Признак перпендикулярности прямой и плоскости: если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.
На рисунке 9.18 прямая
перпендикулярна каждой из двух пересекающихся прямых
и
, принадлежащих плоскости
, следовательно, прямая
перпендикулярна данной плоскости.





Свойства прямой, перпендикулярной плоскости
1. Два различных перпендикуляра к плоскости параллельны.
На рисунке 9.19 прямые
и
перпендикулярны плоскости
, следовательно,
.




2. Прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных плоскостей, перпендикулярна и другой плоскости.
На рисунке 9.20 плоскости
и
параллельны. Прямая
перпендикулярна плоскости
, следовательно, она перпендикулярна и плоскости
.






Прямая, пересекающая плоскость, но не перпендикулярная к ней, называется наклонной к плоскости.
На рисунке 9.21 прямая
– наклонная к плоскости
.


Теорема о трех перпендикулярах. Для того чтобы прямая, лежащая в плоскости, была перпендикулярна наклонной к плоскости, необходимо и достаточно, чтобы она была перпендикулярна проекции этой наклонной на плоскость.
На рисунке 9.21 прямая
– наклонная к плоскости, прямая
– проекция этой наклонной на плоскость и
. Тогда
.





Углом между прямой и плоскостью называют угол между прямой и ее проекцией на плоскость. На рисунке 9.22 прямая
– наклонная к плоскости, прямая
– проекция этой наклонной на плоскость, следовательно, угол
– угол между прямой
и плоскостью.




Двугранным углом называют угол, образованный двумя полуплоскостями с общей границей. Прямую, которая является общей границей этих полуплоскостей, называют ребром двугранного угла, а полуплоскости с общим ребром – гранями двугранного угла.
На рисунке 9.23 изображен двугранный угол. Полуплоскости
и
– грани этого угла, прямая
– ребро.




В результате пересечения двух плоскостей образуется четыре двугранных угла (рис. 9.24).
Двугранный угол измеряется соответствующим линейным углом. Линейным углом двугранного угла называют угол между перпендикулярами, проведенными в каждой грани к ребру.
На рисунке 9.25 угол
– линейный угол двугранного угла.


Двугранный угол может иметь любое значение от
до
. Если линейный угол двугранного угла равен
, то плоскости перпендикулярны.



Признак перпендикулярности плоскостей: если плоскость содержит перпендикуляр к другой плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.
На рисунке 9.26 плоскости
и
перпендикулярны.


1. Плоскости в пространстве могут: совпадать; пересекаться (образуют двугранный угол); быть параллельными.
2. Прямые в пространстве могут: совпадать; пересекаться; быть параллельными; скрещиваться.
3. Прямая может: принадлежать плоскости; пересекать плоскость (ее называют наклонной к плоскости); быть ей параллельной.
4. Теорема о трех перпендикулярах устанавливает взаимосвязь между прямыми, пересекающими плоскость и прямыми, принадлежащими этой плоскости.