Справочный материал Примеры Обратите внимание! Модели
Окружность вписана в n-угольник, если она касается всех сторон этого n-угольника (рис. 8.106). 
Окружность описана около n-угольника, если все вершины n-угольника лежат на окружности (рис. 8.107). 
Свойства вписанной окружности
1. Окружность можно вписать в любой треугольник.
2. Окружность можно вписать в четырехугольник, если суммы длин его противолежащих сторон равны. 
Например, на рисунке 8.106 LaTeX formula: AD+BC=AB+DC
Так, окружность можно вписать в квадрат и в ромб, но нельзя вписать в параллелограмм и в прямоугольник.
Свойства описанной окружности
1. Окружность можно описать около любого треугольника.
2. Окружность можно описать около четырехугольника, если суммы его противолежащих углов равны. 
Например, на рисунке 8.107 LaTeX formula: \angle A+\angle C=\angle B+\angle D=180^{\circ}
Так, окружность можно описать около квадрата и прямоугольника, но нельзя описать около параллелограмма и ромба.
Расположение центров окружностей, описанных около треугольника:
1) центр окружности расположен на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника;
2) если треугольник остроугольный, то центр окружности расположен в этом треугольнике: 
а) в равностороннем треугольнике центром окружности является точка пересечения высот, биссектрис, медиан треугольника (центры вписанной и описанной окружностей совпадают (рис. 8.108); 
б) в равнобедренном треугольнике центр окружности расположен на биссектрисе, проведенной из вершины треугольника к его основанию (рис. 8.109);
3) если треугольник прямоугольный, то центр окружности расположен на середине гипотенузы (рис. 8.110);
4) если треугольник тупоугольный, то центр окружности расположен вне треугольника (рис. 8.111).
Расположение центров окружностей, вписанных в треугольник:
1) центр окружности, вписанной в треугольник, расположен в этом треугольнике (рис. 8.112 – 8.115);
2) центром окружности является точка пересечения биссектрис треугольника;
3) в равностороннем треугольнике центром окружности является точка пересечения высот, биссектрис, медиан треугольника. 
Формулы для вычисления радиусов вписанной и описанной окружностей
Радиус окружности, описанной около многоугольника, как правило, обозначают LaTeX formula: R, а радиус окружности, вписанной в многоугольник, обозначают LaTeX formula: r
1) для равностороннего треугольника со стороной LaTeX formula: a:
LaTeX formula: R=\frac{a}{\sqrt{3}}, (8.34)
LaTeX formula: r=\frac{a}{2\sqrt{3}}; (8.35)
2) для произвольного треугольника со сторонами LaTeX formula: a, b, c и площадью LaTeX formula: S
LaTeX formula: R=\frac{abc}{4S}, (8.36)
LaTeX formula: r=\frac{2S}{a+b+c}; (8.37)
3) для прямоугольного треугольника с катетами LaTeX formula: a, b и гипотенузой LaTeX formula: c
LaTeX formula: R=\frac{c}{2}, (8.38)
LaTeX formula: r=\frac{a+b-c}{2}; (8.39)
4) для квадрата со стороной LaTeX formula: a и диагональю LaTeX formula: d
LaTeX formula: R=\frac{d}{2}, (8.40)
LaTeX formula: r=\frac{a}{2}; (8.41)
5) для прямоугольника с диагональю LaTeX formula: d
LaTeX formula: R=\frac{d}{2}; (8.42)
6) для ромба с высотой LaTeX formula: h
LaTeX formula: r=\frac{h}{2}; (8.43)
7) для трапеции с высотой LaTeX formula: h, при условии, что в трапецию можно вписать окружность: 
LaTeX formula: r=\frac{h}{2}. (8.44)
Если около трапеции можно описать окружность, то, проведя диагональ трапеции и рассмотрев один из полученных треугольников со сторонами LaTeX formula: a, b, c и площадью LaTeX formula: S, по формуле LaTeX formula: R=\frac{abc}{4S} найдем радиус окружности описанной около треугольника, а значит и около трапеции (рис. 8.116);
8) для правильного шестиугольника со стороной LaTeX formula: a
LaTeX formula: R=a, (8.45)
LaTeX formula: r=\frac{a\sqrt{3}}{2}. (8.46)
Правильный шестиугольник состоит из шести правильных треугольников (рис. 8.117) и точка LaTeX formula: O является центром вписанной в него и описанной около него окружностей. 
 
Пример 1. Найдите сторону квадрата, если известно, что разность между площадью квадрата и площадью вписанного в него круга равна LaTeX formula: 2\pi -8.
Решение. Так как площадь круга радиуса LaTeX formula: r находят по формуле 8.32, а площадь квадрата со стороной LaTeX formula: a находят по формуле LaTeX formula: S=a^{2}, то согласно условию задачи запишем: LaTeX formula: S_{\square }-S_{\bigcirc }=12LaTeX formula: \pi r^{2}-a^{2}=2\pi -8.
А так как LaTeX formula: r=\frac{a}{2}, то LaTeX formula: \frac{\pi a^{2}}{4}-a^{2}=2\pi -8LaTeX formula: \pi a^{2}-4a^{2}=4(2\pi -8)LaTeX formula: a^{2}(\pi -4)=8(\pi -4)LaTeX formula: a^{2}=8LaTeX formula: a=2\sqrt{2}.
Ответ: LaTeX formula: 2\sqrt{2}.
Пример 2. Площадь прямоугольника равна 4, а разность длин его смежных сторон рана 3. Найдите радиус окружности, описанной около этого прямоугольника. 
Решение. Площадь прямоугольника со смежными сторонами LaTeX formula: a и LaTeX formula: b находят по формуле LaTeX formula: S=ab.
Пусть LaTeX formula: b=x, тогда LaTeX formula: a=x+3 (рис. 8.118).
Получим: LaTeX formula: x(x+3)=4LaTeX formula: x^{2}+3x-4=0, откуда LaTeX formula: x=1, следовательно, LaTeX formula: b=1LaTeX formula: a=4.
По теореме Пифагора найдем диагональ прямоугольника: LaTeX formula: d^{2}=1+16=17LaTeX formula: d=\sqrt{17}. Согласно формуле 8.42 LaTeX formula: R=0,5\sqrt{17}.
ОтветLaTeX formula: 0,5\sqrt{17}.
Пример 3. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб, если его диагонали равны 6 и 8. 
Решение. По теореме Пифагора найдем сторону ромба (рис. 8.119):
LaTeX formula: a^{2}=\left (\frac{d_{1}}{2} \right )^{2}+\left ( \frac{d_{2}}{2} \right )^{2}LaTeX formula: a^{2}=3^{2}+4^{2}LaTeX formula: a=5.
По формуле LaTeX formula: S=\frac{1}{2}d_{1}d_{2} найдем площадь ромба: LaTeX formula: S=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 8=24.
Но площадь ромба можно найти и по формуле LaTeX formula: S=ah, а так как LaTeX formula: h=2r, то LaTeX formula: S=2ar. Тогда LaTeX formula: 24=10r, а LaTeX formula: r=2,4.
Ответ: 2,4.
Пример 4. Найдите длину окружности, вписанной в правильный треугольник, если его площадь равна LaTeX formula: 4\sqrt{3}.
Решение. Площадь правильного треугольника со стороной LaTeX formula: a находят по формуле: LaTeX formula: S=\frac{\sqrt{3}a^{2}}{4}.
Зная площадь треугольника, найдем его сторону: LaTeX formula: \frac{\sqrt{3}a^{2}}{4}=4\sqrt{3}LaTeX formula: a^{2}=16LaTeX formula: a=4
По формуле 8.35 найдем радиус окружности, вписанной в этот треугольник: LaTeX formula: r=\frac{4}{2\sqrt{3}}=\frac{2}{\sqrt{3}}.
По формуле 8.30 найдем длину окружности: LaTeX formula: C=\frac{4\pi }{\sqrt{3}}.
Ответ: LaTeX formula: \frac{4\sqrt{3}\pi }{3}.
Пример 5. Радиус окружности, описанной около равнобедренного прямоугольного треугольника равен 2. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник. 
Решение. Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника с гипотенузой LaTeX formula: c находят по формуле 8.38. Тогда LaTeX formula: c=2R=4
Так как треугольник равнобедренный, то его катеты LaTeX formula: a и LaTeX formula: b раны и по теореме Пифагора LaTeX formula: c^{2}=2a^{2}, откуда LaTeX formula: a=\frac{C}{\sqrt{2}}LaTeX formula: a=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}
Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, находят по формуле 8.39. В нашем случае LaTeX formula: r=\frac{2a-c}{2}LaTeX formula: r=\frac{4\sqrt{2}-4}{2}=2\sqrt{2}-2.
Ответ: LaTeX formula: 2\sqrt{2}-2.
Пример 6. Один из катетов прямоугольного треугольника равен 8, а радиус окружности, вписанной в треугольник равен 3. Найдите площадь треугольника.
Решение. Рассмотрим прямоугольный треугольник LaTeX formula: ABC. Точка LaTeX formula: O является центром вписанной в треугольник окружности (рис. 8.120).
Так как радиусы вписанной в треугольник окружности перпендикулярны сторонам треугольника в точках касания, то имеем квадрат LaTeX formula: ANOP со стороной 3. Если катет LaTeX formula: AC = 8, а сторона квадрата LaTeX formula: AP=3, то LaTeX formula: PC=5.
Пусть отрезок LaTeX formula: NB = x. По свойству касательных LaTeX formula: CP=CK=5 и LaTeX formula: BN=BK=x.
Тогда по теореме Пифагора LaTeX formula: BC^{2}=AC^{2}+AB^{2} или LaTeX formula: 25+10x+x^{2}=64+9+6x+x^{2}, откуда LaTeX formula: 4x=48LaTeX formula: x=12.
Найдем катет LaTeX formula: ABLaTeX formula: AB=AN+BN=3+12=15.
Найдем площадь треугольника: LaTeX formula: S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot ABLaTeX formula: S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 15=60.
Ответ: 60.
Пример 7. Окружность, центр которой расположен на большей стороне треугольника, делит эту сторону на отрезки 4 и 8 и касается двух других его сторон, длина одной из которых равна 6. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник (рис.8.121).
Решение. Согласно свойству биссектрисы треугольника запишем: LaTeX formula: \frac{6}{4}=\frac{x}{8}, откуда LaTeX formula: x=12
Радиус окружности, вписанной в треугольник, найдем по формуле 8.37.
В свою очередь по формуле Герона LaTeX formula: S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} найдем площадь треугольника. Так как LaTeX formula: p=(6+12+12):2=15, то LaTeX formula: S=\sqrt{15\cdot9\cdot3\cdot3}=9\sqrt{15}.
Тогда LaTeX formula: r=\frac{18\sqrt{15}}{30}=\frac{3\sqrt{15}}{5}=0,6\sqrt{15}.
Ответ:  LaTeX formula: 0,6\sqrt{15}.
Пример 8. В прямоугольную трапецию вписана окружность радиуса 3, которая в точке касания делит ее боковую сторону на отрезки 4 и 5. Найдите площадь трапеции. 
Решение. Согласно условию задачи и рисунку 8.122, запишем: LaTeX formula: CD=9LaTeX formula: h=2r=AB=6.
По свойству четырехугольника, описанного около окружности, получим: LaTeX formula: AB+DC=BC+ADLaTeX formula: 6+9=BC+ADLaTeX formula: BC+AD = 15.
Согласно формуле LaTeX formula: S=\frac{1}{2}(a+b)h найдем площадь трапеции: LaTeX formula: S=\frac{1}{2}\cdot 15\cdot 6=45.
Ответ: 45.
Пример 9. Длины оснований равнобедренной трапеции относятся как LaTeX formula: 5:12, а длина ее высоты равна 17. Вычислите площадь круга, описанного около трапеции, если известно, что средняя линия трапеции равна ее высоте.
Решение. Рассмотрим равнобедренную трапецию LaTeX formula: ABCD (рис. 8.123) и проведем диагональ трапеции LaTeX formula: BD.
Радиус окружности, описанной около треугольника LaTeX formula: ABD, найдем по формуле 8.36:
LaTeX formula: R=\frac{AB\cdot BD\cdot AD}{4\cdot S_{\triangle ABD}}=\frac{AB\cdot BD\cdot AD}{4\cdot \frac{1}{2}\cdot AD\cdot BN}LaTeX formula: R=\frac{AB\cdot BD}{2\cdot BN}.
Зная, что LaTeX formula: BC:AD=5:12 и вводя коэффициент пропорциональности LaTeX formula: k, получим LaTeX formula: BC=5kLaTeX formula: AD=12k.
Так как длина средней линии трапеции равна высоте трапеции, то LaTeX formula: \frac{1}{2}(5k +12k)=17, откуда LaTeX formula: k=2. Тогда LaTeX formula: BC = 10, LaTeX formula: AD = 24.
Поскольку четырехугольник LaTeX formula: BCKN является прямоугольником, то LaTeX formula: NK = 10, тогда LaTeX formula: AN=KD=\frac{1}{2}(24-10)=7.
Согласно теореме Пифагора запишем:
LaTeX formula: AB=\sqrt{AN^{2}+BN^{2}}LaTeX formula: AB=\sqrt{17^{2}+7^{2}}=\sqrt{338};
LaTeX formula: BD=\sqrt{BN^{2}+ND^{2}}LaTeX formula: BD=\sqrt{17^{2}+17^{2}}=17\sqrt{2}.
По формуле 8.36 найдем радиус окружности, описанной около треугольника LaTeX formula: ABD, а, следовательно, и около трапеции LaTeX formula: ABCD:
LaTeX formula: R=\frac{\sqrt{338}\cdot 17\sqrt{2}}{2\cdot 17}=\frac{2\cdot 13}{2}=13.
Согласно формуле 8.32 найдем площадь круга: LaTeX formula: S=169\pi.
Ответ: LaTeX formula: 169\pi.
Пример 10. В правильный шестиугольник вписана окружность и около него описана окружность. Найдите площадь образовавшегося кольца, если сторона шестиугольника равна LaTeX formula: \sqrt{3}.
Решение. По формуле 8.45 найдем радиус окружности, описанной около правильного шестиугольника: LaTeX formula: R=a=\sqrt{3}
По формуле 8.46 найдем радиус окружности, вписанной в этот шестиугольник. Так как LaTeX formula: a=\sqrt{3}, то LaTeX formula: r=\frac{3}{2}
Площадь круга находят по формуле 8.32. Тогда LaTeX formula: S_{1}=3\pi, а LaTeX formula: S_{2}=\frac{9\pi}{4}.
Найдем площадь кольца: LaTeX formula: S_{K}=S_{1}-S_{2}LaTeX formula: S_{K}=3\pi -\frac{9\pi }{4}=\frac{3\pi }{4}.
Ответ: LaTeX formula: 0,75\pi.
1. В любой треугольник можно вписать окружность и около любого треугольника можно описать окружность.
2. Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность. Например, окружность можно вписать в ромб и квадрат, но нельзя вписать в параллелограмм и прямоугольник.
3. Не около всякого четырехугольника можно описать окружность. Например, окружность можно описать около квадрата и прямоугольника, но нельзя описать около параллелограмма и ромба.
4. Не во всякую трапецию можно писать окружность и не около всякой трапеции можно описать окружность. Описать окружность можно только около равнобедренной трапеции. 
5. Если многоугольник правильный (все его стороны и все его углы равны между собой), то в него всегда можно вписать окружность и около него всегда можно описать окружность. Причем, центры этих окружностей совпадают.
Длину окружности радиуса LaTeX formula: R находят по формуле: 
LaTeX formula: C=2\pi R. (8.30)
Площадь круга радиуса LaTeX formula: R находят по формуле: 
LaTeX formula: S=\pi R^{2}. (8.32)
formula