Справочный материал Примеры Обратите внимание! Модели
Окружностью называют множество всех точек плоскости, равноудаленных от некоторой данной точки, называемой центром окружности
Отрезок, соединяющий центр окружности и любую точку окружности, называют радиусом окружности. 
Хордой называют отрезок, соединяющий две точки окружности.
Например, на рисунке 8.83: точка LaTeX formula: O – центр окружности; отрезки LaTeX formula: OA, OB и LaTeX formula: OD – радиусы окружности; отрезки LaTeX formula: AC, MN и LaTeX formula: AB – хорды окружности. 
Если хорда перпендикулярна радиусу окружности, то точкой пересечения она делится пополам. 
Например, на рисунке 8.83 LaTeX formula: MN\perp OD, следовательно, LaTeX formula: MN=NP.
Хорду, проходящую через центр окружности, называют диаметром окружности. Диаметр состоит из двух радиусов. 
Например, на рисунке 8.83 хорда LaTeX formula: AB – диаметр окружности и LaTeX formula: AB = 2R
Дугой окружности называют часть окружности, заключенную между двумя точками окружности. Если точки – концы диаметра окружности, то имеем две равные дуги, называемые полуокружностями.
Например, на рисунке 8.84 изображены дуги окружности: LaTeX formula: AB , BD , DC и т.д. Среди них две равные полуокружности LaTeX formula: CD
Дуги можно измерять в угловых единицах. Градусная мера полуокружности равна LaTeX formula: 180^{\circ}.
Кругом называют часть плоскости, ограниченную окружностью, включая точки окружности. 
Например, на рисунке 8.85 изображен круг. 
Круговым сектором называют часть круга, ограниченную радиусами и дугой, на которую опираются радиусы. 
Например, на рисунке 8.86 изображен круговой сектор LaTeX formula: OAB
Круговым сегментом называют часть круга, отсекаемую хордой. 
Например, на рисунке 8.87 изображен круговой сегмент LaTeX formula: ACB.
Свойство пересекающихся хорд: если через точку, лежащую внутри окружности, проведены две хорды, то произведения отрезков, на которые хорды делятся в точке пересечения, равны. 
Например, на рисунке 8.88 LaTeX formula: AP \cdot BP= CP \cdot DP.  
Касательной к окружности называют прямую, имеющую с окружностью только одну общую точку.
Например, на рисунке 8.89 из точки LaTeX formula: A к окружности проведены касательные LaTeX formula: AB и LaTeX formula: AC.
Если к окружности из одной точки провести две касательные, то окружность будет вписана в угол, образованный этими касательными. Центр окружности, вписанной в угол, расположен на биссектрисе угла (рис. 8.89). 
Свойства касательных
1. Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны ( LaTeX formula: AB=AC на рис. 8.89).
2. Радиус окружности перпендикулярен касательной в точке касания ( LaTeX formula: OB\perp AB на рис. 8.89). 
Свойство хорды и касательной: угол, образованный хордой и касательной, проходящей через конец хорды, измеряется половиной дуги, заключенной внутри его. 
Например, на рисунке 8.90 LaTeX formula: AD – касательная к окружности, LaTeX formula: AC – хорда окружности, LaTeX formula: \angle DAC = \frac{1}{2}\angle AOC и LaTeX formula: \angle DAC = \angle ABC.
Секущей называют прямую, имеющую с окружностью две общие точки. 
Например, на рисунке 8.91 LaTeX formula: AC – отрезок секущей, а LaTeX formula: AD – внешняя часть отрезка секущей.
Свойство касательной и секущей: если из одной точки к окружности проведены касательная и секущая, то квадрат отрезка касательной равен произведению отрезка секущей и ее внешней части.
Например, на рисунке 8.91 LaTeX formula: AB^{2}=AC\cdot AD.
Свойство секущих к окружности: если из одной точки к окружности проведены секущие, то все произведения отрезков секущих и их внешних частей равны.
Например, на рисунке 8.92 LaTeX formula: OC\cdot OD=OB\cdot OA=a^{2}.
Угол называют центральным, если его вершина лежит в центре окружности, а стороны являются радиусами окружности. Центральный угол измеряется дугой, на которую он опирается.
Например, на рисунке 8.93 изображен центральный угол LaTeX formula: AOB
Угол называют вписанным в окружность, если его вершина лежит на окружности, а стороны являются непересекающимися хордами этой окружности. 
Например, на рисунке 8.94 изображен вписанный в окружность угол LaTeX formula: ACB.
Свойства вписанных в окружность углов
1. Вписанный в окружность угол равен половине соответствующего ему центрального угла. 
Например, LaTeX formula: \angle ABC=\frac{1}{2}\angle AOCна рисунке 8.95.
2. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны (рис. 8.96).
3. Вписанные углы, опирающиеся на диаметр, прямые (рис. 8.97).
Длину окружности радиуса LaTeX formula: R находят по формуле: 
LaTeX formula: C=2\pi R. (8.30)
Длину дуги окружности радиуса LaTeX formula: R c центральным углом LaTeX formula: n^{\circ} находят по формуле: 
LaTeX formula: l=\frac{2\pi R}{360^{\circ}}n^{\circ}. (8.31)
Площадь круга радиуса LaTeX formula: R находят по формуле: 
LaTeX formula: S=\pi R^{2}. (8.32)
Площадь кругового сектора радиуса LaTeX formula: R с центральным углом LaTeX formula: n^{\circ} находят по формуле: 
LaTeX formula: S_{c}=\frac{\pi R^{2}}{360^{\circ}}n^{\circ}. (8.33)

Пример 1. К окружности (рис. 8.98) проведены три касательные так, что в результате их пересечения образовался прямоугольный треугольник LaTeX formula: ABC. При этом отрезок LaTeX formula: AE = 4 см, а отрезок LaTeX formula: BE = 6 см. Найдите катеты этого треугольника.
Решение. Так как отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны, то: LaTeX formula: AE = AD = 4 см, LaTeX formula: BE = BK = 6 см. Пусть LaTeX formula: CD = CK = x см, тогда LaTeX formula: AC = (x+4) см, LaTeX formula: BC = (x+6) см, LaTeX formula: AB = 10 см.
По теореме Пифагора 8.3 LaTeX formula: AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}.
Тогда LaTeX formula: (x+4)^{2}+(x+6)^{2}=10^{2}LaTeX formula: x^{2}+8x+16+x^{2}+12x+36=100LaTeX formula: x^{2}+10x-24=0, откуда LaTeX formula: x=2.
Найдем катеты треугольника: LaTeX formula: AC = 2+4 = 6 (см), LaTeX formula: BC = 2+6 = 8 (см). 
Ответ: 6 см и 8 см.
Пример 2. В окружность вписан угол LaTeX formula: ABC, равный LaTeX formula: 30^{\circ}. Хорды LaTeX formula: AB и LaTeX formula: BC соответственно равны 3 и LaTeX formula: \sqrt{3}. Найдите длину окружности.
Решение. По теореме косинусов 8.4 найдем сторону LaTeX formula: AC треугольника LaTeX formula: ABC (рис. 8.99):
LaTeX formula: AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}-2AB\cdot BC\cdot cos30^{\circ}LaTeX formula: AC^{2}=9+3-2\cdot 3\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=9+3-9=3LaTeX formula: AC = \sqrt{3}.
Так как угол LaTeX formula: ABC вписан в окружность, а угол LaTeX formula: AOC соответствующий ему центральный угол, то LaTeX formula: \angle ABC=\frac{1}{2}\angle AOC и LaTeX formula: \angle AOC=60^{\circ}.
Отрезки LaTeX formula: OA и LaTeX formula: OC радиусы окружности. Следовательно, треугольник LaTeX formula: AOC – равнобедренный и углы при его основании равны: LaTeX formula: \angle OCA=\angle OAC=60^{\circ}. Тогда треугольник LaTeX formula: AOC – равносторонний и LaTeX formula: AO=OC=AC=\sqrt{3}
Длину окружности найдем по формуле 8.30. Получим: LaTeX formula: C=2\sqrt{3}\pi.
Ответ: LaTeX formula: 2\sqrt{3}\pi
Пример 3. Прямой угол LaTeX formula: ABC вписан в окружность, радиус которой равен 9, а центральный угол LaTeX formula: BOC равен LaTeX formula: 140^{\circ}. Найдите длину дуги LaTeX formula: AB (рис. 8.100).
Решение. Так как LaTeX formula: \angle ABC = 90^{\circ}, то центральный угол LaTeX formula: AOC развернутый. Так как углы LaTeX formula: BOC и LaTeX formula: BOA смежные, то LaTeX formula: \angle BOA = 180^{\circ}-140^{\circ}=40^{\circ}.
Длину дуги LaTeX formula: AB найдем по формуле 8.31LaTeX formula: l=\frac{2\pi \cdot 9\cdot 40^{\circ}}{360^{\circ}}=2\pi.
Ответ: LaTeX formula: 2\pi
Пример 4. Площадь кругового сектора с центральным углом LaTeX formula: 120^{\circ} равна LaTeX formula: 12\pi. Найдите длину дуги, ограничивающей этот сектор.
Решение. Согласно формуле 8.33 запишем LaTeX formula: 12\pi =\frac{\pi R^{2}\cdot 120^{\circ}}{360^{\circ}}, откуда LaTeX formula: 12=\frac{ R^{2}}{3}LaTeX formula: R^{2}=36LaTeX formula: R=6.
Согласно формуле 8.31 LaTeX formula: l=\frac{2\pi \cdot 6\cdot 120^{\circ}}{360^{\circ}}LaTeX formula: l=4\pi.
Ответ: LaTeX formula: 4\pi.
Пример 5. Из внешней точки к окружности проведены касательная и секущая. Длина касательной составляет LaTeX formula: \frac{2}{3} внутреннего отрезка секущей. Определите длину секущей, если длина касательной равна 6 см.
Решение. Отметим вне окружности точку LaTeX formula: A и проведем из этой точки к окружности секущую LaTeX formula: AD и касательную LaTeX formula: AB (рис. 8.101).
Определим внутренний отрезок секущей: LaTeX formula: CD=6\cdot \frac{3}{2}=9 см.
Пусть внешний отрезок касательной LaTeX formula: AC = x см. По свойству касательной и секущей запишем: LaTeX formula: AB^{2}=AD\cdot ACLaTeX formula: 36=(x+9)\cdot xLaTeX formula: x^{2}+9x-36=0LaTeX formula: x=3.
Тогда LaTeX formula: AD = 3+9=12 (см).
Ответ: 12 см.
Пример 6. Дана точка LaTeX formula: P, удаленная на 7 см от центра окружности радиуса 11 см. Через эту точку проведена хорда длиной 18 см. В каком отношении точка LaTeX formula: P делит хорду?
Решение. Рассмотрим окружность (рис.8.102) радиуса LaTeX formula: R=AO=BO=11 см. Отметим на диаметре LaTeX formula: AB точку LaTeX formula: Pтак, что LaTeX formula: OP = 7 см, LaTeX formula: PB = 4 см. Через точку LaTeX formula: P проведем хорду LaTeX formula: CD = 18 см. Тогда, если LaTeX formula: CP = x см, то LaTeX formula: PD = (18 - x) см.
По свойству пересекающихся хорд имеем: LaTeX formula: AP\cdot BP=CP\cdot DP или LaTeX formula: 18\cdot 4=x(18-x)LaTeX formula: x^{2}-18x+72=0, откуда LaTeX formula: x_{1}=12LaTeX formula: x_{2}=6.
Получили отрезки длиной 12 см и 6 см. Тогда LaTeX formula: CP : PD = 2:1
Ответ: LaTeX formula: 2:1.
Пример 7. В круговой сектор, дуга которого содержит LaTeX formula: 60^{\circ}, вписан круг. Найдите процентное отношение площади этого круга к площади сектора.
Решение. В круговой сектор LaTeX formula: ABC (рис. 8.103) впишем круг с центром в точке LaTeX formula: O:OK= R_{\circ }LaTeX formula: BD=R_{c }. Поскольку прямая LaTeX formula: BC является касательной к кругу, то LaTeX formula: OK\perp BK. Согласно условию задачи LaTeX formula: \angle ABC=60^{\circ}, тогда LaTeX formula: \angle OBK=30^{\circ}, так как центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла.
Рассмотрим LaTeX formula: \Delta OBK:OB=2OK=2R_{\bigcirc } (по свойству катета, лежащего против угла LaTeX formula: 30^{\circ}). Так как LaTeX formula: R_{c}=BO+DO, то LaTeX formula: R_{c}=3R_{\bigcirc }
По формулам 8.32 и 8.33 найдем площадь круга и площадь сектора: LaTeX formula: S_{\bigcirc }=\pi R_{\bigcirc }^{2}LaTeX formula: S_{c}=\frac{\pi R_{c}^{2}}{360^{\circ}}\cdot 60^{\circ}=\frac{\pi 9R_{\bigcirc }^{2}}{6}=\frac{3\pi R_{\bigcirc }^{2}}{2}.
Составим отношение площади круга к площади сектора: 
LaTeX formula: \frac{S_{\bigcirc }}{S_{c}}=\frac{\pi R_{\bigcirc }^{2}2}{3\pi R_{\bigcirc }^{2}}LaTeX formula: \frac{S_{\bigcirc }}{S_{c}}=\frac{2}{3} или LaTeX formula: \frac{200}{3}%.
Ответ: LaTeX formula: 66\frac{2}{3}%.
Пример 8. В большем из двух концентрических кругов проведена хорда длиной 32 см, которая касается меньшего круга. Определите отношение длин меньшей и большей окружностей, если ширина образовавшегося кольца равна 8 см.
Решение. Рассмотрим два круга с общим центром в точке LaTeX formula: O (рис. 8.104). Пусть LaTeX formula: R – радиус большего круга, а LaTeX formula: r – радиус меньшего круга, LaTeX formula: AB – хорда, касающаяся меньшего круга. Тогда LaTeX formula: OD = rLaTeX formula: OA=OB=OC=R и LaTeX formula: OC=OD+DC. Поскольку ширина образовавшегося кольца равна 8 см, то LaTeX formula: R-r=8 см и LaTeX formula: OD = R-8.
Так как хорда LaTeX formula: AB касается меньшего круга, то LaTeX formula: AB\perp OD, тогда LaTeX formula: OD высота и медиана равнобедренного треугольника LaTeX formula: AOB и LaTeX formula: AD=DB=16 см.
Рассмотрим прямоугольный треугольник LaTeX formula: ODB. По теореме Пифагора 8.3 LaTeX formula: OB^{2}=OD^{2}+DB^{2}. Тогда: LaTeX formula: R^{2}=(R-8)^{2}+16^{2}LaTeX formula: R^{2}=R^{2}-16R+64+16^{2}LaTeX formula: 16R=64+16^{2}, откуда LaTeX formula: R=20 см и LaTeX formula: r=20-8=12 (см).
С учетом формулы 8.30 найдем отношение длин меньшей и большей окружностей:
LaTeX formula: \frac{C_{1}}{C_{2}}=\frac{2\pi r}{2\pi R}=\frac{r}{R}=\frac{12}{20}=\frac{3}{5}.
Ответ: 3 : 5.
Пример 9. Круг разделен на два сегмента хордой, равной стороне правильного вписанного треугольника. Найдите отношение площадей этих сегментов.
 
Решение. Рассмотрим круг радиуса LaTeX formula: R и правильный треугольник LaTeX formula: ABC, вписанный в круг (рис. 8.105). Так как вписанный в окружность угол LaTeX formula: ABCравен LaTeX formula: 60^{\circ}, то соответствующий ему центральный угол LaTeX formula: AOCравен LaTeX formula: 120^{\circ}.
По формуле 8.11 найдем площадь треугольника LaTeX formula: AOC:
LaTeX formula: S_{AOC}=\frac{1}{2}R^{2}sin120^{\circ}=\frac{\sqrt{3}R^{2}}{4}.
По формуле 8.33 найдем площадь сектора LaTeX formula: AOCLaTeX formula: S_{c}=\frac{\pi R^{2}}{360^{\circ}}\cdot 120^{\circ}=\frac{\pi R^{2}}{3}.
Найдем площадь сегмента, вычитая из площади сектора LaTeX formula: AOC площадь треугольника LaTeX formula: AOCLaTeX formula: S_{c_{1}}=\frac{\pi R^{2}}{3}-\frac{\sqrt{3}R^{2}}{4}=\frac{R^{2}(4\pi -3\sqrt{3})}{12}.
Найдем площадь второго сегмента, вычитая из площади круга площадь первого сегмента: LaTeX formula: S_{c_{2}}=\pi R^{2}-\frac{R^{2}(4\pi -3\sqrt{3})}{12}=\frac{R^{2}(8\pi +3\sqrt{3})}{12}.
Найдем отношение площадей этих сегментов: LaTeX formula: \frac{R^{2}(4\pi -3\sqrt{3})}{12}:\frac{R^{2}(8\pi +3\sqrt{3})}{12}=\frac{4\pi -3\sqrt{3}}{8\pi +3\sqrt{3}}.
Ответ: LaTeX formula: \frac{4\pi -3\sqrt{3}}{8\pi +3\sqrt{3}}.
1. Различайте круг и окружность. В свою очередь: а) в окружности различайте: центр, радиус, диаметр, хорду, дугу, центральный угол и вписанный угол; б) в круге различайте: центр, радиус, диаметр, хорду, сектор и сегмент.
2. Из одной точки, не принадлежащей окружности, можно провести две касательные к окружности и множество прямых, которые будут пересекать эту окружность (секущих).
Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы треугольника равен сумме квадратов его катетов:
LaTeX formula: c^{2}=a^{2}+b^{2}, (8.3)
где LaTeX formula: c – гипотенуза, LaTeX formula: a и LaTeX formula: b – катеты.
Теорема косинусов. Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих же сторон на косинус угла между ними: 
LaTeX formula: a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc cos\alpha, (8.4)
Площадь треугольника:
LaTeX formula: S=\frac{1}{2}absin\alpha, (8.11)
где LaTeX formula: a и LaTeX formula: b – стороны, LaTeX formula: \alpha – величина угла между ними произвольного треугольника.
formula