Справочный материал
Примеры
Обратите внимание!
Видео
Модели
Пройти тесты
Окружностью называют множество всех точек плоскости, равноудаленных от некоторой данной точки, называемой центром окружности.
Отрезок, соединяющий центр окружности и любую точку окружности, называют радиусом окружности.
Хордой называют отрезок, соединяющий две точки окружности.
Например, на рисунке 8.83: точка – центр окружности; отрезки и – радиусы окружности; отрезки и – хорды окружности.
Если хорда перпендикулярна радиусу окружности, то точкой пересечения она делится пополам.
Например, на рисунке 8.83 , следовательно, .
Хорду, проходящую через центр окружности, называют диаметром окружности. Диаметр состоит из двух радиусов.
Например, на рисунке 8.83 хорда – диаметр окружности и .
Дугой окружности называют часть окружности, заключенную между двумя точками окружности. Если точки – концы диаметра окружности, то имеем две равные дуги, называемые полуокружностями.
Например, на рисунке 8.84 изображены дуги окружности: и т.д. Среди них две равные полуокружности .
Дуги можно измерять в угловых единицах. Градусная мера полуокружности равна .
Кругом называют часть плоскости, ограниченную окружностью, включая точки окружности.
Например, на рисунке 8.85 изображен круг.
Круговым сектором называют часть круга, ограниченную радиусами и дугой, на которую опираются радиусы.
Например, на рисунке 8.86 изображен круговой сектор .
Круговым сегментом называют часть круга, отсекаемую хордой.
Например, на рисунке 8.87 изображен круговой сегмент .
Свойство пересекающихся хорд: если через точку, лежащую внутри окружности, проведены две хорды, то произведения отрезков, на которые хорды делятся в точке пересечения, равны.
Например, на рисунке 8.88 .
Касательной к окружности называют прямую, имеющую с окружностью только одну общую точку.
Например, на рисунке 8.89 из точки к окружности проведены касательные и .
Если к окружности из одной точки провести две касательные, то окружность будет вписана в угол, образованный этими касательными. Центр окружности, вписанной в угол, расположен на биссектрисе угла (рис. 8.89).
Свойства касательных
1. Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны ( на рис. 8.89).
2. Радиус окружности перпендикулярен касательной в точке касания ( на рис. 8.89).
Свойство хорды и касательной: угол, образованный хордой и касательной, проходящей через конец хорды, измеряется половиной дуги, заключенной внутри его.
Например, на рисунке 8.90 – касательная к окружности, – хорда окружности, и .
Секущей называют прямую, имеющую с окружностью две общие точки.
Например, на рисунке 8.91 – отрезок секущей, а – внешняя часть отрезка секущей.
Свойство касательной и секущей: если из одной точки к окружности проведены касательная и секущая, то квадрат отрезка касательной равен произведению отрезка секущей и ее внешней части.
Например, на рисунке 8.91 .
Свойство секущих к окружности: если из одной точки к окружности проведены секущие, то все произведения отрезков секущих и их внешних частей равны.
Например, на рисунке 8.92 .
Угол называют центральным, если его вершина лежит в центре окружности, а стороны являются радиусами окружности. Центральный угол измеряется дугой, на которую он опирается.
Например, на рисунке 8.93 изображен центральный угол .
Угол называют вписанным в окружность, если его вершина лежит на окружности, а стороны являются непересекающимися хордами этой окружности.
Например, на рисунке 8.94 изображен вписанный в окружность угол .
Свойства вписанных в окружность углов
1. Вписанный в окружность угол равен половине соответствующего ему центрального угла.
Например, на рисунке 8.95.
2. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны (рис. 8.96).
3. Вписанные углы, опирающиеся на диаметр, прямые (рис. 8.97).
Длину окружности радиуса находят по формуле:
. (8.30)
Длину дуги окружности радиуса c центральным углом находят по формуле:
. (8.31)
Площадь круга радиуса находят по формуле:
. (8.32)
Площадь кругового сектора радиуса с центральным углом находят по формуле:
. (8.33)
Пример 1. К окружности (рис. 8.98) проведены три касательные так, что в результате их пересечения образовался прямоугольный треугольник . При этом отрезок см, а отрезок см. Найдите катеты этого треугольника.
Решение. Так как отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны, то: см, см. Пусть см, тогда см, см, см.
Тогда , , , откуда .
Найдем катеты треугольника: (см), (см).
Ответ: 6 см и 8 см.
Пример 2. В окружность вписан угол , равный . Хорды и соответственно равны 3 и . Найдите длину окружности.
, , .
Так как угол вписан в окружность, а угол соответствующий ему центральный угол, то и .
Отрезки и радиусы окружности. Следовательно, треугольник – равнобедренный и углы при его основании равны: . Тогда треугольник – равносторонний и .
Длину окружности найдем по формуле 8.30. Получим: .
Ответ: .
Пример 3. Прямой угол вписан в окружность, радиус которой равен 9, а центральный угол равен . Найдите длину дуги (рис. 8.100).
Решение. Так как , то центральный угол развернутый. Так как углы и смежные, то .
Ответ: .
Пример 4. Площадь кругового сектора с центральным углом равна . Найдите длину дуги, ограничивающей этот сектор.
Ответ: .
Пример 5. Из внешней точки к окружности проведены касательная и секущая. Длина касательной составляет внутреннего отрезка секущей. Определите длину секущей, если длина касательной равна 6 см.
Решение. Отметим вне окружности точку и проведем из этой точки к окружности секущую и касательную (рис. 8.101).
Определим внутренний отрезок секущей: см.
Пусть внешний отрезок касательной см. По свойству касательной и секущей запишем: , , , .
Тогда (см).
Ответ: 12 см.
Пример 6. Дана точка , удаленная на 7 см от центра окружности радиуса 11 см. Через эту точку проведена хорда длиной 18 см. В каком отношении точка делит хорду?
Решение. Рассмотрим окружность (рис.8.102) радиуса см. Отметим на диаметре точку так, что см, см. Через точку проведем хорду см. Тогда, если см, то см.
По свойству пересекающихся хорд имеем: или , , откуда , .
Получили отрезки длиной 12 см и 6 см. Тогда .
Ответ: .
Пример 7. В круговой сектор, дуга которого содержит , вписан круг. Найдите процентное отношение площади этого круга к площади сектора.
Решение. В круговой сектор (рис. 8.103) впишем круг с центром в точке , . Поскольку прямая является касательной к кругу, то . Согласно условию задачи , тогда , так как центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла.
Рассмотрим (по свойству катета, лежащего против угла ). Так как , то .
Составим отношение площади круга к площади сектора:
, или %.
Ответ: %.
Пример 8. В большем из двух концентрических кругов проведена хорда длиной 32 см, которая касается меньшего круга. Определите отношение длин меньшей и большей окружностей, если ширина образовавшегося кольца равна 8 см.
Решение. Рассмотрим два круга с общим центром в точке (рис. 8.104). Пусть – радиус большего круга, а – радиус меньшего круга, – хорда, касающаяся меньшего круга. Тогда , и . Поскольку ширина образовавшегося кольца равна 8 см, то см и .
Так как хорда касается меньшего круга, то , тогда высота и медиана равнобедренного треугольника и см.
С учетом формулы 8.30 найдем отношение длин меньшей и большей окружностей:
.
Ответ: 3 : 5.
Пример 9. Круг разделен на два сегмента хордой, равной стороне правильного вписанного треугольника. Найдите отношение площадей этих сегментов.
Решение. Рассмотрим круг радиуса и правильный треугольник , вписанный в круг (рис. 8.105). Так как вписанный в окружность угол равен , то соответствующий ему центральный угол равен .
.
Найдем площадь сегмента, вычитая из площади сектора площадь треугольника : .
Найдем площадь второго сегмента, вычитая из площади круга площадь первого сегмента: .
Найдем отношение площадей этих сегментов: .
Ответ: .
1. Различайте круг и окружность. В свою очередь: а) в окружности различайте: центр, радиус, диаметр, хорду, дугу, центральный угол и вписанный угол; б) в круге различайте: центр, радиус, диаметр, хорду, сектор и сегмент.
2. Из одной точки, не принадлежащей окружности, можно провести две касательные к окружности и множество прямых, которые будут пересекать эту окружность (секущих).
Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы треугольника равен сумме квадратов его катетов:
, (8.3)
где – гипотенуза, и – катеты.
Теорема косинусов. Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих же сторон на косинус угла между ними:
, (8.4)
Площадь треугольника:
, (8.11)
где и – стороны, – величина угла между ними произвольного треугольника.