Справочный материал Примеры Обратите внимание! Модели
Четырехугольником называют многоугольник, имеющий четыре вершины. Среди всех четырехугольников выделяют параллелограмм, ромб, прямоугольник, квадрат и трапецию. 
Параллелограммом называют четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны. 
Например, на рисунке 8.65 изображен параллелограмм LaTeX formula: ABCD, у которого сторона LaTeX formula: AB параллельна стороне LaTeX formula: DC,  а сторона LaTeX formula: AD параллельна стороне LaTeX formula: BC.
Высотой параллелограмма называют отрезок перпендикуляра, заключенный между его параллельными сторонами или отрезок перпендикуляра, проведенного из вершины параллелограмма на прямую, содержащую противолежащую сторону. 
Например, на рисунке 8.66 LaTeX formula: BP– высота, проведенная к стороне LaTeX formula: AD, LaTeX formula: DT– высота, проведенная к стороне LaTeX formula: AB, LaTeX formula: CK– высота, проведенная из вершины LaTeX formula: C на прямую, содержащую сторону LaTeX formula: AD, а LaTeX formula: AM– высота, проведенная из вершины LaTeX formula: A на прямую, содержащую сторону LaTeX formula: DC.
Свойства параллелограмма
1. Противолежащие стороны параллелограмма равны.
Например, на рисунке 8.67 LaTeX formula: AB = CD и LaTeX formula: AD = BC.
2. Противолежащие углы параллелограмма равны.
Например, на рисунке 8.67 LaTeX formula: \angle A=\angle C и LaTeX formula: \angle B=\angle D.
3. Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам. 
Например, на рисунке 8.67 LaTeX formula: BO = OD и LaTeX formula: AO = OC.
4. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов длин всех его сторон:
LaTeX formula: d_{1}^{2}+d_{2}^{2}=2a^{2}+2b^{2}, (8.15)
где LaTeX formula: a и LaTeX formula: b – смежные стороны, LaTeX formula: d_{1} и LaTeX formula: d_{2} – диагонали параллелограмма. 
5. Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна LaTeX formula: 180^{\circ}
Например, на рисунке 8.67 LaTeX formula: \angle A+\angle B=180^{\circ}.
Признаки параллелограмма
1. Если у выпуклого четырехугольника две противолежащие стороны параллельны и равны, то этот четырехугольник – параллелограмм.
2. Если у выпуклого четырехугольника противолежащие стороны попарно равны, то этот четырехугольник – параллелограмм.
3. Если у выпуклого четырехугольника противолежащие углы попарно равны, то этот четырехугольник – параллелограмм.
4. Если у выпуклого четырехугольника диагонали точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм.
Рассмотрим параллелограмм, у которого: LaTeX formula: a и LaTeX formula: b – смежные стороны, LaTeX formula: h_{a} – высота, проведенная к стороне LaTeX formula: aLaTeX formula: \alpha – острый угол, LaTeX formula: d_{1} и LaTeX formula: d_{2} – диагонали, LaTeX formula: \varphi – угол между диагоналями (рис. 8.68).
Площадь параллелограмма можно вычислить по одной из формул: 
LaTeX formula: S=ah_{a}; (8.16)
LaTeX formula: S=absin\alpha; (8.17)
LaTeX formula: S=\frac{1}{2}d_{1}d_{2}sin\varphi. (8.18)
Периметр параллелограмма можно вычислить по формуле:
LaTeX formula: P=2(a+b). (8.19)
Ромбом называют параллелограмм, все стороны которого равны. 
Например, на рисунке 8.69 изображен ромб: LaTeX formula: a – сторона, LaTeX formula: h – высота, LaTeX formula: d_{1}LaTeX formula: d_{2} его диагонали.
Свойства ромба
Ромбу присущи все свойства параллелограмма и, кроме того, свойства:
1) диагонали ромба взаимно перпендикулярны;
2) диагонали ромба являются биссектрисами его внутренних углов.
Признаки ромба
1. Параллелограмм является ромбом, если две его смежные стороны равны.
2. Параллелограмм является ромбом, если его диагонали перпендикулярны.
3. Параллелограмм является ромбом, если одна из диагоналей является биссектрисой его угла.
Периметр ромба можно вычислить по формуле: 
LaTeX formula: P=4a. (8.20)
Площадь ромба можно вычислить по тем же формулам, что и площадь параллелограмма, кроме того, и по формуле: 
LaTeX formula: S=\frac{1}{2}d_{1}d_{2}. (8.21)
Прямоугольником называют параллелограмм, у которого все углы прямые.
Например, на рисунке 8.70 изображен прямоугольник, у которого LaTeX formula: a и LaTeX formula: b – смежные стороны, LaTeX formula: d_{1}=d_{2}=d – диагонали, φ – угол между диагоналями. 
Свойства прямоугольника
Прямоугольнику присущи все свойства параллелограмма. Кроме того диагонали прямоугольника равны.
Признаки прямоугольника
1. Параллелограмм является прямоугольником, если его диагонали равны.
2. Параллелограмм является прямоугольником, если один из его углов прямой.
3. Четырехугольник является прямоугольником, если три его угла прямые.
Площадь прямоугольника можно вычислить по формулам: 
LaTeX formula: S=ab; (8.22)
или 
LaTeX formula: S=\frac{1}{2}d^{2}sin\varphi. (8.23)
Периметр прямоугольника можно вычислить по формуле:
LaTeX formula: P=2\cdot(a+b). (8.24)
Квадратом называют прямоугольник, у которого все стороны равны.
Например, на рисунке 8.71 изображен квадрат со стороной LaTeX formula: a и диагональю LaTeX formula: d.
Квадрат обладает всеми свойствами параллелограмма, ромба и прямоугольника. 
Признаки квадрата
1. Прямоугольник является квадратом, если две его смежные стороны равны.
2. Прямоугольник является квадратом, если его диагонали перпендикулярны.
3. Прямоугольник является квадратом, если одна из диагоналей является биссектрисой его угла.
Площадь квадрата можно вычислить по формулам: 
LaTeX formula: S=a^{2} (8.25)
или 
LaTeX formula: S=\frac{1}{2}d^{2}(8.26)
Периметр квадрата можно вычислить по формуле: 
LaTeX formula: P=4a. (8.27)
Трапецией называют четырехугольник, две стороны которого параллельны, а две другие не параллельны. Параллельные стороны трапеции называют основаниями, а непараллельные – боковыми сторонами. 
Например, на рисунках 8.72 – 8.74 изображены трапеции LaTeX formula: ABCD. Отрезки LaTeX formula: AD и LaTeX formula: BC – основания, а LaTeX formula: AB и LaTeX formula: DC – боковые стороны трапеций.
Трапецию называют равнобедренной (равнобокой), если ее боковые стороны равны. 
Например, на рисунке 8.72 изображена равнобедренная трапеция, а на рисунке 8.73 – неравнобедренная.
Трапецию называют прямоугольной, если ее боковая сторона перпендикулярна основаниям. 
Например, на рисунке 8.74 изображена прямоугольная трапеция. 
Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины ее боковых сторон. 
Например, на рисунке 8.75 отрезок LaTeX formula: NP– средняя линия трапеции LaTeX formula: ABCD.
Свойства средней линии трапеции
1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям трапеции.
2. Средняя линия трапеции равна полусумме ее оснований. 
Например, на рисунке 8.75 отрезок LaTeX formula: NP – средняя линия трапеции LaTeX formula: ABCD, следовательно, LaTeX formula: NP\parallel BCLaTeX formula: NP\parallel AD и LaTeX formula: NP=\frac{1}{2}\left ( AD+BC \right )
Сумма углов трапеции, прилежащих к ее боковой стороне, равна  LaTeX formula: 180^{\circ}
Например, на рисунках 4.8 – 4.10 LaTeX formula: \angle A+\angle B=\angle C+\angle D=180^{\circ}
Рассмотрим трапецию (рис. 8.76): LaTeX formula: a и LaTeX formula: b – основания, LaTeX formula: h – высота, LaTeX formula: d_{1}LaTeX formula: d_{2} – диагонали, φ – угол между диагоналями. 
Признак трапеции: четырехугольник является трапецией, если две его параллельные стороны не равны.
Площадь трапеции можно вычислить по формулам: 
LaTeX formula: S=\frac{1}{2}(a+b)h ;(8.28)
или 
LaTeX formula: S=\frac{1}{2}d_{1}d_{2}sin\varphi. (8.29)
Пример 1. Дан выпуклый четырехугольник LaTeX formula: ABCD, у которого диагональ равна 8, LaTeX formula: AB = DC=\sqrt{14}LaTeX formula: AD=BC=6. Найдите другую диагональ этого четырехугольника. 
Решение. Так как противолежащие стороны данного четырехугольника попарно равны, то этот четырехугольник – параллелограмм (рис. 8.77).
По свойству диагоналей параллелограмма 8.15 запишем: LaTeX formula: 64+d^{2}_{2}=2\cdot 36+2\cdot 14, откуда LaTeX formula: d^{2}_{2}=36LaTeX formula: d_{2}=6
Ответ: 6.
Пример 2. Стороны параллелограмма LaTeX formula: a и LaTeX formula: b относятся как LaTeX formula: 2:3 и образуют угол LaTeX formula: 30^{\circ}, а его периметр равен 30. Найдите площадь параллелограмма. 
Решение. Периметр параллелограмма находят по формуле 8.19. Так как LaTeX formula: a=2k, а LaTeX formula: b=3k, то LaTeX formula: 30=2(2k+3k), откуда LaTeX formula: k=3. Тогда LaTeX formula: a=6, а LaTeX formula: b=9.
Площадь параллелограмма найдем по формуле 8.17. Получим: LaTeX formula: S=6\cdot 9\cdot sin30^{\circ}=6\cdot 9\cdot \frac{1}{2}=27.
Ответ: 27
Пример 3. Дан параллелограмм, диагонали которого перпендикулярны и равны 12 и 16. Найдите его высоту.
Решение. Так как диагонали параллелограмма перпендикулярны, то этот параллелограмм – ромб (рис. 8.78).
Так как диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам, то LaTeX formula: OB = 12:2=6, а LaTeX formula: OA = 16:2 = 8.
По теореме Пифагора 8.3 найдем сторону ромба: LaTeX formula: a=\sqrt{6^{2}+8^{2}}=10.
По формуле 8.21 найдем площадь ромба: LaTeX formula: S = \frac{1}{2}\cdot 12\cdot 16=96.
Подставляя значения LaTeX formula: a и LaTeX formula: S в формулу 8.16, найдем высоту ромба: LaTeX formula: 96=10\cdot h_{a}LaTeX formula: h_{a}=9,6.
Ответ: 9,6.
Пример 4. Дан четырехугольник, у которого диагонали равны 10 см и в точке пересечения делятся пополам. Найдите периметр этого четырехугольника, если известно, что угол между диагоналями равен LaTeX formula: 60^{\circ}.
Решение. Так как диагонали четырехугольника в точке пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник параллелограмм, а так как его диагонали равны, то имеем прямоугольник (рис. 8.79).
Рассмотрим равнобедренный треугольник LaTeX formula: OAB. Поскольку LaTeX formula: \angle OAB=\angle OBA=(180^{\circ}-60^{\circ}):2=60^{\circ}, то LaTeX formula: AB = 5 см. 
Рассмотрим треугольник LaTeX formula: ABC. Из теоремы Пифагора 8.3: LaTeX formula: CB=\sqrt{AC^{2}-AB^{2}}LaTeX formula: CB=\sqrt{100-25}=\sqrt{75}=5\sqrt{3} (см).
По формуле 8.24 найдем периметр прямоугольника: LaTeX formula: P=2(5\sqrt{3}+5)=10(\sqrt{3}+1) (см).
Ответ: LaTeX formula: 10(\sqrt{3}+1) см.
Пример 5. Периметр правильного четырехугольника равен 12. Найдите его диагональ. 
Решение. Так как четырехугольник правильный, то он квадрат. С учетом формулы 8.27, найдем сторону квадрата: LaTeX formula: a = 12:4 = 3
Так как площадь квадрата можно найти по или формуле 8.25, или по формуле 8.26, то LaTeX formula: a^{2}=\frac{1}{2}d^{2}LaTeX formula: d^{2}=2a^{2}LaTeX formula: d=\sqrt{2}aLaTeX formula: d=3\sqrt{2}.
Ответ:  LaTeX formula: 3\sqrt{2}.  
Пример 6. Дан четырехугольник, у которого диагонали образуют угол LaTeX formula: 45^{\circ} и равны соответственно 3 и 4, а сумма двух неравных параллельных сторон равна 6. Найдите высоту этого четырехугольника.
Решение. Так как две параллельные стороны четырехугольника не равны, то этот четырехугольник – трапеция (рис. 8.80).
По формуле 8.29 найдем ее площадь: LaTeX formula: S=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 4\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}.
С другой стороны площадь трапеции можно найти по формуле 8.28. Так как LaTeX formula: a+b=6, то LaTeX formula: 3\sqrt{2}=3h, откуда LaTeX formula: h=\sqrt{2} 
Ответ: LaTeX formula: \sqrt{2}
Пример 7. Диагональ равнобедренной трапеции делит ее тупой угол пополам. Меньшее основание трапеции равно 2, периметр равен 23. Найдите площадь трапеции.
Решение. Рассмотрим трапецию LaTeX formula: ABCD (рис. 8.81) и проведем ее диагональ LaTeX formula: AC. Углы 1 и 3 равны как накрест лежащие при параллельных прямых LaTeX formula: AD и LaTeX formula: BC с секущей LaTeX formula: AC. Так как диагональ LaTeX formula: AC является биссектрисой угла LaTeX formula: BCD, то LaTeX formula: \angle 1=\angle 2
В таком случае треугольник LaTeX formula: ACD равнобедренный с боковыми сторонами LaTeX formula: CD и LaTeX formula: AD.
Пусть LaTeX formula: AB = CD = AD = x. Согласно условию задачи LaTeX formula: P_{mp}=23 и LaTeX formula: 23=2+3x, откуда LaTeX formula: x=7. Так как LaTeX formula: KN = 2, то LaTeX formula: AK=ND=\frac{1}{2}\cdot \left ( 7-2 \right )=\frac{5}{2}.
Рассмотрим LaTeX formula: \Delta ABK: из теоремы Пифагора 8.3 LaTeX formula: h=\sqrt{49-\frac{25}{4}} =\frac{3\sqrt{19}}{2}.
По формуле 8.28 найдем площадь трапеции: LaTeX formula: S=\frac{1}{2}\cdot (7+2)\cdot \frac{3\sqrt{19}}{2}=\frac{27\sqrt{19}}{4} .
ОтветLaTeX formula: \frac{27\sqrt{19}}{4} .
Пример 8. В трапеции длины оснований равны 5 и 10, а длины диагоналей равны 13 и 14. Найдите площадь трапеции.
Решение. Рассмотрим трапецию LaTeX formula: ABCD (рис. 8.82). На продолжении стороны LaTeX formula: AD отложим отрезок LaTeX formula: DC_{1}, равный отрезку LaTeX formula: BC. Тогда имеем параллелограмм LaTeX formula: DBCC_{1}, так как LaTeX formula: BC=DC_{1} и LaTeX formula: BC\parallel DC_{1}. Значит, LaTeX formula: BD=CC_{1}=14. Так как LaTeX formula: S_{\Delta ABC}=S_{\Delta CDC_{1}}, то LaTeX formula: S_{mp}=S_{\Delta ACC_{1}}
Площадь треугольника LaTeX formula: \Delta ACC_{1} найдем по формуле Герона 8.12, где LaTeX formula: p=\frac{1}{2}(13+14+15)=21
Получим: LaTeX formula: S=\sqrt{21\cdot 8\cdot 7\cdot 6}=\sqrt{4^{2}\cdot3^{2} \cdot 7^{2}}=4\cdot 3\cdot 7=84.
Ответ: 84.
1. Существует несколько формул для нахождения площади каждого из четырехугольников. Выбирая формулу, учитывайте данные задачи.
2. Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы треугольника равен сумме квадратов его катетов:
 LaTeX formula: c^{2}=a^{2}+b^{2}, (8.3)
где LaTeX formula: c – гипотенуза, LaTeX formula: a и LaTeX formula: b – катеты.
3. Формула Герона
LaTeX formula: S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}, (8.12)
где LaTeX formula: a, b, c – стороны, LaTeX formula: p=\frac{a+b+c}{2} – полупериметр треугольника
formula