Справочный материал Примеры Обратите внимание! Модели
Треугольником называют многоугольник, имеющий три вершины (рис. 8.27 – 8.29).
Классификация треугольников по сторонам
1. Если все три стороны треугольника равны, то треугольник равносторонний. Все внутренние углы равностороннего треугольника равны. 
Например, на рисунке 8.27 изображен равносторонний треугольник LaTeX formula: ABCLaTeX formula: AB=BC=ACLaTeX formula: \angle A=\angle B=\angle C=60^{\circ}.
2. Если две стороны треугольника равны, то треугольник равнобедренный. Стороны, имеющие одинаковую длину, называют боковыми сторонами, а третью сторону – основанием этого треугольника. Углы при основании равнобедренного треугольника равны. 
Например, на рисунке 8.28 изображен равнобедренный треугольник LaTeX formula: DEK с боковыми сторонами LaTeX formula: DE=DK и основанием LaTeX formula: EK, а LaTeX formula: \angle E=\angle K.
3. Если все стороны треугольника имеют различную длину, то треугольник разносторонний (произвольный). 
Например, на рисунке 8.29 изображен разносторонний треугольник LaTeX formula: LMN
Длина стороны треугольника меньше суммы длин двух других его сторон, причем, большая сторона треугольника лежит против большего его угла. 
Например: 1) если на рисунке 8.27 LaTeX formula: AB=BC=AC=5, то LaTeX formula: 5<5+5; 2) если на рисунке 8.28 LaTeX formula: DE=DK=4, то длина стороны LaTeX formula: KE меньше 8, но больше 4. 
Классификация треугольников по углам
1. Если все углы треугольника острые, то треугольник остроугольный (на рисунке 8.27 треугольник LaTeX formula: ABC).
2. Если один из углов треугольника тупой, то треугольник тупоугольный (на рисунке 8.28 треугольник LaTeX formula: DEK).
3. Если один из углов треугольника прямой, то треугольник прямоугольный. Сторону прямоугольного треугольника, лежащую против прямого угла, называют гипотенузой, две другие стороны – катетами. Например, на рисунке 8.29 треугольник LaTeX formula: LMN – прямоугольный, отрезок LaTeX formula: MN – гипотенуза этого треугольника, а отрезки LaTeX formula: LM и LaTeX formula: LN – его катеты.
Рассмотрим прямоугольный треугольник, у которого LaTeX formula: a и LaTeX formula: b – катеты, LaTeX formula: c – гипотенуза, LaTeX formula: \alpha – острый угол (рис. 8.30).
Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы треугольника равен сумме квадратов его катетов:
LaTeX formula: c^{2}=a^{2}+b^{2}, (8.3)
где LaTeX formula: c – гипотенуза, LaTeX formula: a и LaTeX formula: b – катеты.
Например, если катеты треугольника соответственно равны 3 и 4, то гипотенуза этого треугольника равна 5. Такой треугольник называют египетским.  
Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике
1. Синус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.
2. Косинус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.
3. Тангенс острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету.
Например, на рисунке 8.30: LaTeX formula: sin\alpha =\frac{a}{c}LaTeX formula: cos\alpha =\frac{b}{c}LaTeX formula: tg\alpha =\frac{a}{b}
Катет, лежащий против угла LaTeX formula: 30^{\circ}, равен половине гипотенузы. 
Рассмотрим произвольный треугольник, у которого LaTeX formula: a, b, c – стороны, LaTeX formula: \alpha ,\beta ,\gamma – соответственно противолежащие им углы (рис. 8.31).
Теорема косинусов. Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих же сторон на косинус угла между ними:
LaTeX formula: a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bccos\alpha, (8.4)
или 
LaTeX formula: b^{2}=a^{2}+c^{2}-2accos\beta, (8.4.1)
или 
LaTeX formula: c^{2}=a^{2}+b^{2}-2abcos\gamma. (8.4.2)
Теорема синусов. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих им углов: 
LaTeX formula: \frac{a}{sin\alpha }=\frac{b}{sin\beta }=\frac{c}{sin\gamma } (8.5)
или 
LaTeX formula: \frac{a}{sin\alpha }=\frac{b}{sin\beta }=\frac{c}{sin\gamma }=2R, (8.5.1)
где LaTeX formula: R – радиус окружности, описанной около этого треугольника.
Линии в треугольнике
Среди всех линий, которые можно провести в треугольнике выделяют среднюю линию треугольника, биссектрису треугольника, его медиану и высоту. 
Средней линией треугольника называют отрезок, соединяющий середины двух его сторон. 
Свойства средней линии треугольника
1. Средняя линия треугольника равна половине длины его третьей стороны.
2. Средняя линия треугольника параллельна одной из сторон треугольника.
Например, если отрезки LaTeX formula: KD, DE и LaTeX formula: EK – средние линии треугольника LaTeX formula: ABC (рис. 8.32) и длины их соответственно равны 8, 9 и 7, то стороны LaTeX formula: BC, AC и LaTeX formula: AB этого треугольника соответственно равны 16, 18 и 14.
Высотой треугольника называют перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника на прямую, содержащую противолежащую сторону. 
Например, на рисунке 8.33 изображены высоты остроугольного треугольника LaTeX formula: ABC: отрезки LaTeX formula: AE, BK и LaTeX formula: CD.
На рисунке 8.34 изображена одна из высот тупоугольного треугольника LaTeX formula: DEK: высота LaTeX formula: EN.
На рисунке 8.35 изображены три высоты прямоугольного треугольника LaTeX formula: LMN: высоты LaTeX formula: LK, ML и LaTeX formula: NL.
Свойства высоты треугольника
1. В остроугольном и прямоугольном треугольнике три высоты треугольника пересекаются в одной точке (точка LaTeX formula: O на рисунке 8.33 и точка LaTeX formula: L на рисунке 8.35). 
2. Если высота треугольника проведена из вершины прямого угла к гипотенузе, то она является средним геометрическим проекций катетов на гипотенузу (рис. 8.5):
LaTeX formula: h=\sqrt{a_{c}\cdot b_{c}}, (8.6)
где LaTeX formula: a_{c} и LaTeX formula: b_{c} – проекции катетов на гипотенузу.
3. Для всякого треугольника зависимость между его высотами LaTeX formula: h_{a}LaTeX formula: h_{b}LaTeX formula: h_{c} и радиусом вписанной окружности r выражается формулой: 
LaTeX formula: \frac{1}{h_{a}}+\frac{1}{h_{b}}+\frac{1}{h_{c}}=\frac{1}{r}. (8.7)
Медианой треугольника называют отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны. 
Например, на рисунке 8.36 изображены медианы треугольника LaTeX formula: ABC: отрезки LaTeX formula: AE, BK и LaTeX formula: CD.
Свойства медианы треугольника
1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении LaTeX formula: 2:1, считая от вершины. 
Например, на рисунке 8.36 LaTeX formula: AO:OE=BO:OK=CO:OD=2:1.
2. Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника (треугольники, имеющие равные площади, называют равновеликими). 
Например, на рисунке 8.36 треугольники LaTeX formula: ABK и LaTeX formula: CBK равновеликие. 
3. Если медиана проведена к гипотенузе прямоугольного треугольника, то она равна половине гипотенузы. 
Например, на рисунке 8.37 LaTeX formula: CD=AD=BD
Биссектрисой треугольника называют отрезок биссектрисы внутреннего угла треугольника, заключенный между вершиной треугольника и точкой пересечения биссектрисы угла и стороны треугольника. 
Например, на рисунке 8.38 отрезки LaTeX formula: AE, BK и LaTeX formula: CD – биссектрисы внутренних углов треугольника LaTeX formula: ABC.
Свойства биссектрисы треугольника
1. Три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, являющейся центром окружности, вписанной в треугольник. 
Например, точка LaTeX formula: O на рисунке 8.38.
2. В равностороннем треугольнике все биссектрисы равны и являются высотами и медианами этого треугольника. 
Например, на рисунке 8.39 биссектрисы LaTeX formula: AL, BM, CN – высоты и медианы правильного треугольника LaTeX formula: ABC и LaTeX formula: AL=BM=CN.
3. Если биссектриса проведена из вершины равнобедренного треугольника к его основанию, то она является высотой и медианой этого треугольника. 
Например, на рисунке 8.40 биссектриса LaTeX formula: BK – высота и медиана равнобедренного треугольника LaTeX formula: ABC.
4. Биссектриса треугольника делит сторону этого треугольника на отрезки, пропорциональные прилежащим к ним сторонам. 
Например, если LaTeX formula: BD – биссектриса треугольника LaTeX formula: ABC, изображенного на рисунке 8.41, то LaTeX formula: \frac{a}{c}=\frac{b}{d}.
Формулы для вычисления площади треугольника
Для вычисления площади треугольника можно применять одну из следующих формул: 
LaTeX formula: S=\frac{\sqrt{3}a^{2}}{4}, (8.8)
где LaTeX formula: a – сторона равностороннего треугольника; 
LaTeX formula: S=\frac{1}{2}ah_{a}, (8.9)
где LaTeX formula: a – сторона, LaTeX formula: h_{a} – высота, проведенная к стороне LaTeX formula: a произвольного треугольника; 
LaTeX formula: S=\frac{1}{2}ab, (8.10)
где LaTeX formula: a и LaTeX formula: b – катеты прямоугольного треугольника; 
LaTeX formula: S=\frac{1}{2}absin\alpha, (8.11)
где LaTeX formula: a и LaTeX formula: b – стороны, LaTeX formula: \alpha – величина угла между ними произвольного треугольника;
Формула Герона: 
LaTeX formula: S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}, (8.12)
где LaTeX formula: a, b, c – стороны, LaTeX formula: p=\frac{a+b+c}{2} – полупериметр треугольника;
LaTeX formula: S=pr, (8.13)
где LaTeX formula: p - полупериметр треугольника, LaTeX formula: r - радиус окружности, вписанной в треугольник;
LaTeX formula: S=\frac{abc}{4R}, (8.14)
где LaTeX formula: a, b, c – стороны, LaTeX formula: R – радиус окружности, описанной около треугольника.
Два треугольника равны, если все их соответственные стороны и углы равны. 
Признаки равенства треугольников
1. Два треугольника равны, если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника. 
Например, на рисунке 8.42 треугольники LaTeX formula: CAD и LaTeX formula: CBD равны по двум сторонам и углу между ними.
2. Два треугольника равны, если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника. 
Например, на рисунке 8.43 треугольники LaTeX formula: ACB и LaTeX formula: CAD равны по стороне и прилежащим к ней углам.
3. Два треугольника равны, если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника. 
Например, на рисунке 8.44 треугольники LaTeX formula: ABD и LaTeX formula: CDB равны по трем сторонам.
Признаки равенства прямоугольных треугольников
1. Прямоугольные треугольники равны, если катеты одного треугольника соответственно равны катетам другого треугольника. 
Например, на рисунке 8.45 треугольники LaTeX formula: OCA и LaTeX formula: OCB равны по двум катетам.
2. Прямоугольные треугольники равны, если катет и прилежащий острый угол одного треугольника соответственно равны катету и прилежащему острому углу другого треугольника. 
Например, на рисунке 8,46 треугольники LaTeX formula: COA и LaTeX formula: COB равны по катету и прилежащему острому углу.
3. Прямоугольные треугольники равны, если гипотенуза и острый угол одного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого треугольника. 
Например, на рисунке 8.47 треугольники LaTeX formula: OAC и LaTeX formula: OBC равны по гипотенузе и острому углу.
4. Прямоугольные треугольники равны, если гипотенуза и катет одного треугольника соответствравны гипотенузе и катету другого треугольника. 
Например, на рисунке 8.48 треугольники LaTeX formula: OAC и LaTeX formula: OBC равны по гипотенузе и катету.
Два треугольника подобны, если все углы одного треугольника соответственно равны углам другого, а все стороны одного пропорциональны соответствующим (сходственным) сторонам другого треугольника.
Признаки подобия треугольников
1. Два треугольника подобны, если два угла одного треугольника равны двум углам другого. 
Например, на рисунке 8.49 треугольники LaTeX formula: BCA и LaTeX formula: BDC подобны (записывают LaTeX formula: \Delta BCA\sim \Delta BDC), так как LaTeX formula: \angle BCA=\angle BDC=90^{\circ}LaTeX formula: \angle CBA=\angle DBC.
2. Два треугольника подобны, если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого, а углы, заключенные между ними, равны. 
Например, на рисунке 8.50 треугольник LaTeX formula: KBC подобен треугольнику LaTeX formula: DBE так как LaTeX formula: \frac{KB}{DB}=\frac{BC}{BE}LaTeX formula: \frac{3}{2}=\frac{6}{4} и угол LaTeX formula: B у них общий.
3. Два треугольника подобны, если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого. 
Например, на рисунке 8.51 изображены подобные треугольники, так как длины сторон одного из них в два раза больше длин сторон другого. 
Отношение сходственных сторон подобных треугольников называют коэффициентом подобия LaTeX formula: k
Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия LaTeX formula: k
Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия LaTeX formula: k^{2}.
Пример 1. Острый угол треугольника (рис. 8.52) LaTeX formula: \alpha =60^{\circ}, а катет LaTeX formula: a, лежащий против этого угла, равен LaTeX formula: 6\sqrt{3}. Найдите гипотенузу LaTeX formula: c и катет LaTeX formula: b этого треугольника.
Решение. Согласно равенству LaTeX formula: sin\alpha =\frac{a}{c} запишем: LaTeX formula: sin60^{\circ} =\frac{6\sqrt{3}}{c}LaTeX formula: \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{6\sqrt{3}}{c}, откуда LaTeX formula: c = 12.
А так как LaTeX formula: cos\alpha =\frac{b}{c}, то LaTeX formula: cos60^{\circ} =\frac{b}{12}. Тогда LaTeX formula: \frac{1}{2}=\frac{b}{12}, откуда LaTeX formula: b=6
Ответ: 12; 6.
Пример 2. Известно, что гипотенуза прямоугольного треугольника равна 16 и острый угол треугольника равен LaTeX formula: 60^{\circ}. Найдите периметр этого треугольника. 
Решение. Поскольку сумма углов треугольника равна LaTeX formula: 180^{\circ} и один из его углов прямой, то острые углы этого треугольника равны LaTeX formula: 60^{\circ} и LaTeX formula: 30^{\circ} соответственно. Катет, лежащий против угла LaTeX formula: 30^{\circ} равен половине гипотенузы и равен 8.
Из теоремы Пифагора 8.3 найдем другой катет этого треугольника:
LaTeX formula: \sqrt{16^{2}-8^{2}}=\sqrt{(16-8)(16+8)}=\sqrt{8\cdot 24}=\sqrt{8^{2}\cdot 3}=8\sqrt{3}.
Запишем периметр треугольника: LaTeX formula: P=16+8+8\sqrt{3}=24+8\sqrt{3}.
Ответ: LaTeX formula: 24+8\sqrt{3}.
Пример 3. Известно, что стороны треугольника LaTeX formula: ABC (рис. 8.53) равны 10 см, 12 см и 16 см. Выясните, является ли этот треугольник остроугольным.
Решение. Поскольку больший угол треугольника лежит против большей его стороны, то определим величину угла В.
Согласно теореме косинусов 8.4 запишем: LaTeX formula: AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}-2\cdot AB\cdot BC\cdot cos\angle B или LaTeX formula: 16^{2}=10^{2}+12^{2}-240\cdot cos\angle B, откуда LaTeX formula: 240 cos\angle B=-12, а LaTeX formula: cos\angle B=-\frac{1}{20}.
Ответ: так как значение косинуса угла LaTeX formula: B отрицательное, то этот треугольник тупоугольный. 
Пример 4. На рисунке 8.54 изображен треугольник, у которого сторона LaTeX formula: c равна LaTeX formula: 5\sqrt{3}, сторона LaTeX formula: b равна 5, а угол LaTeX formula: \beta равен LaTeX formula: 30^{\circ}. Определите сторону LaTeX formula: a и величины углов LaTeX formula: \alpha и LaTeX formula: \gamma этого треугольника.
Решение. Согласно теореме синусов 8.5 запишем: LaTeX formula: \frac{a}{sin\alpha }=\frac{5}{sin30^{\circ}}=\frac{5\sqrt{3}}{sin\gamma}.
Так как LaTeX formula: sin30^{\circ}=\frac{1}{2}, то LaTeX formula: \frac{a}{sin\alpha }=10=\frac{5\sqrt{3}}{sin\gamma }, откуда LaTeX formula: \frac{5\sqrt{3}}{sin\gamma }=10 и LaTeX formula: \frac{a}{sin\alpha }=10.
Решая уравнение LaTeX formula: \frac{5\sqrt{3}}{sin\gamma }=10, получим: LaTeX formula: sin\gamma=\frac{\sqrt{3}}{2}LaTeX formula: \gamma =60^{\circ}.
Поскольку сумма внутренних углов треугольника равна LaTeX formula: 180^{\circ}, то LaTeX formula: \alpha =180^{\circ}-60^{\circ}-30^{\circ}=90^{\circ} и LaTeX formula: sin90^{\circ}=1.
Тогда, решая уравнение LaTeX formula: \frac{a}{sin\alpha }=10, получим: LaTeX formula: a=10
Ответ: LaTeX formula: a=10LaTeX formula: \alpha =90^{\circ}LaTeX formula: \gamma =60^{\circ}
Пример 5. В треугольнике LaTeX formula: MLN (рис. 8.55) высота LaTeX formula: LK делит гипотенузу на отрезки LaTeX formula: MK = 4 см и LaTeX formula: NK = 9 см. Найдите больший катет этого треугольника. 
 
Решение. Согласно формуле 8.6 запишем: LaTeX formula: LK=\sqrt{4\cdot 9}=6 (см). Так как LaTeX formula: NK>MK, то LaTeX formula: LN>LM.
По теореме Пифагора 8.3:
LaTeX formula: LN = \sqrt{LK^{2}+NK^{2}}LaTeX formula: LN = \sqrt{81+36}=\sqrt{9\cdot (9+4)}=3\sqrt{13}(см);
Ответ: LaTeX formula: 3\sqrt{13} см.
Пример 6. Две высоты треугольника равны соответственно 5 и 6, а радиус окружности, вписанной в этот треугольник, равен 1. Найдите третью высоту треугольника. 
Решение. Согласно формуле 8.7 запишем: LaTeX formula: \frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{h}=1, откуда LaTeX formula: \frac{1}{h}=1-\frac{11}{30}LaTeX formula: \frac{1}{h}=\frac{19}{30}LaTeX formula: h=\frac{30}{19}
Ответ: LaTeX formula: 1\frac{11}{19}.
Пример 7. В треугольнике LaTeX formula: ABC (рис. 8.56) точка LaTeX formula: O – точка пересечения медиан треугольника. Найдите медиану LaTeX formula: BK этого треугольника, зная, что LaTeX formula: OB = 8.
Решение. Так как точкой пересечения медианы треугольника делятся в отношении LaTeX formula: 2:1, считая от его вершины, то LaTeX formula: \frac{BO}{OK}=\frac{2}{1}LaTeX formula: \frac{8}{OK}=\frac{2}{1} и LaTeX formula: OK = 4.
А так как LaTeX formula: BK = BO+OK, то LaTeX formula: BK = 8+4=12.
Ответ: 12.
Пример 8. Медиана LaTeX formula: CD, проведенная к гипотенузе равнобедренного прямоугольного треугольника LaTeX formula: ABC (рис. 8.57) равна 7. Найдите катеты этого треугольника.
Решение. Так как медиана проведена к гипотенузе треугольника, то LaTeX formula: CD=AD=BD=7.
Поскольку треугольник LaTeX formula: ABC равнобедренный, то его катеты равны, а медиана, проведенная к основанию LaTeX formula: AB треугольника, является и высотой этого треугольника.
Тогда по теореме Пифагора 8.3 :
LaTeX formula: CB^{2}=CD^{2}+BD^{2}LaTeX formula: CB^{2}=7^{2}+7^{2}=2 \cdot 7^{2}, а LaTeX formula: CB = 7\sqrt{2}
Ответ: LaTeX formula: 7\sqrt{2} и LaTeX formula: 7\sqrt{2}.
Пример 9. В равнобедренном треугольнике с боковой стороной равной 5 см проведена медиана боковой стороны. Найдите основание треугольника, если медиана равна 4 см.
Решение. Рассмотрим равнобедренный треугольник LaTeX formula: ABC с боковым сторонами LaTeX formula: AB=CB=5 см и медианой LaTeX formula: AO = 4 см (рис. 8.58).
Достроим треугольник LaTeX formula: ABC до параллелограмма LaTeX formula: ABDC, тогда диагональ параллелограмма LaTeX formula: AD = 8 см.
По свойству диагоналей параллелограмма получим: LaTeX formula: AD^{2}+BC^{2}=2AB^{2}+2AC^{2} или LaTeX formula: 64+25=2 \cdot25+2AC^{2}, откуда LaTeX formula: AC=\sqrt{19,5} см.
Ответ: LaTeX formula: \sqrt{19,5} см.
Пример 10. На рисунке 8.59 отрезки LaTeX formula: AK и LaTeX formula: BE – медианы треугольника LaTeX formula: ABC. Площадь треугольника LaTeX formula: BEC равна 5. Найдите площади треугольников LaTeX formula: CAK и LaTeX formula: ABC.
Решение. Так как медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника, то LaTeX formula: S_{ABC}=10, а LaTeX formula: S_{BEC}=S_{CAK}=5.
Ответ: 10; 5. 
Пример 11. В треугольнике LaTeX formula: ABC (рис. 8.60) LaTeX formula: AB = 6LaTeX formula: BC = 8 и LaTeX formula: AC = 12. Найдите длины отрезков, на которые биссектриса LaTeX formula: BD делит сторону треугольника LaTeX formula: AC.
Решение. Так как биссектриса треугольника делит сторону этого треугольника на отрезки пропорциональные двум другим его сторонам, то LaTeX formula: \frac{AB}{AD}=\frac{CB}{CD}.
Если положим, что LaTeX formula: AD = x, то LaTeX formula: CD= 12-x, тогда: LaTeX formula: \frac{6}{x}=\frac{8}{12-x}LaTeX formula: \frac{3}{x}=\frac{4}{12-x}, откуда LaTeX formula: 4x = 36-3xLaTeX formula: 7x=36LaTeX formula: x=5\frac{1}{7}LaTeX formula: AD=5\frac{1}{7}, а LaTeX formula: CD = 12-5\frac{1}{7}=6\frac{6}{7}
Ответ: LaTeX formula: 5\frac{1}{7} и LaTeX formula: 6\frac{6}{7}.
Пример 12. В равнобедренном треугольнике основание и боковая сторона соответственно равны 5 см и 10 см. Найдите биссектрису угла при основании треугольника.
Решение. Рассмотрим равнобедренный треугольник LaTeX formula: ABC с основанием LaTeX formula: AC (рис. 8.61). Согласно условию задачи LaTeX formula: AC = 5 см, LaTeX formula: AB = BC = 10 см.
Проведем биссектрису LaTeX formula: AD угла LaTeX formula: BAC. Полагая LaTeX formula: CD = x см, запишем LaTeX formula: BD = (10-x) cм. По свойству биссектрисы треугольника получим: LaTeX formula: \frac{AC}{DC}=\frac{AB}{DB}LaTeX formula: \frac{5}{x}=\frac{10}{10-x}LaTeX formula: 10-x=2xLaTeX formula: x=\frac{10}{3} см.
Найдем косинус угла LaTeX formula: ACB. По теореме косинусов 8.4 получим: LaTeX formula: AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}-2AC\cdot BC\cdot cos\angle CLaTeX formula: 100=25+100-2\cdot 5\cdot 10 \cdot cos\angle C, откуда LaTeX formula: cos\angle C=\frac{1}{10}.
Биссектрису LaTeX formula: AD найдем из треугольника LaTeX formula: ADC. По теореме косинусов 8.4 LaTeX formula: AD^{2}=25+\frac{100}{9}-2\cdot 5\cdot \frac{10}{3}\cdot \frac{1}{10}=\frac{295}{9}, откуда LaTeX formula: AD=\frac{\sqrt{295}}{3} см.
Ответ: LaTeX formula: AD=\frac{\sqrt{295}}{3} см.
Пример 13. Площадь правильного треугольника равна LaTeX formula: 9\sqrt{3}. Найдите высоту этого треугольника. 
Решение. Найдем сторону LaTeX formula: a правильного треугольника. Согласно формуле 8.8 запишем: LaTeX formula: \frac{\sqrt{3}a^{2}}{4}=9\sqrt{3}LaTeX formula: \frac{a^{2}}{4}=9LaTeX formula: a^{2}=36}LaTeX formula: a=6.
Подставляя в формулу 8.9 значения LaTeX formula: S и LaTeX formula: a, найдем высоту треугольника: LaTeX formula: 9\sqrt{3}=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot h_{a}LaTeX formula: 9\sqrt{3}=3\cdot h_{a},  LaTeX formula: h_{a}=3\sqrt{3}.
Ответ: LaTeX formula: 3\sqrt{3}.
Пример 14. Площадь прямоугольного треугольника равна 36, а один из его катетов равен 8. Найдите высоту треугольника, проведенную к гипотенузе. 
Решение. Площадь прямоугольного треугольника находят по формуле 8.10. Так как LaTeX formula: S = 36LaTeX formula: a=8, то LaTeX formula: 36 = \frac{1}{2}\cdot 8\cdot bLaTeX formula: b=9.
По теореме Пифагора 8.3 найдем гипотенузу: LaTeX formula: c=\sqrt{64+81}=\sqrt{145}.
Но, с другой стороны, LaTeX formula: S=\frac{1}{2}ch_{c}. Тогда LaTeX formula: 36=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{145}h_{c}, откуда LaTeX formula: h_{c}=\frac{72}{\sqrt{145}}
Ответ: LaTeX formula: \frac{72}{\sqrt{145}}.
Пример 15. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 5, а угол при основании треугольника равен LaTeX formula: 15^{\circ} (рис. 8.62). Найдите площадь этого треугольника.
Решение. Поскольку углы при основании равнобедренного треугольника равны, то найдем угол при вершине этого треугольника: LaTeX formula: \angle B=180^{\circ}-(15^{\circ}+15^{\circ})=150^{\circ}.
По формуле 8.11 найдем площадь треугольника: LaTeX formula: S=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 5\cdot sin150^{\circ}=\frac{25}{2}\cdot sin30^{\circ}=\frac{25}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{25}{4}=6\frac{1}{4}
Ответ: 6,25.
Пример 16. Найдите площадь треугольника, стороны которого равны 6, 10 и 12. 
Решение. Найдем полупериметр этого треугольника: LaTeX formula: p=\frac{6+10+12}{2}=14.
Площадь треугольника найдем по формуле 8.12LaTeX formula: S=\sqrt{14(14-6)(14-10)(14-12)}LaTeX formula: S=\sqrt{14\cdot 8\cdot 4\cdot 2}=\sqrt{7\cdot 16\cdot 4\cdot 2}=4\cdot 2\cdot \sqrt{14}=8\sqrt{14}.
Ответ: LaTeX formula: 8\sqrt{14}
Пример 17. В треугольнике LaTeX formula: ABC (рис. 8.63) катет LaTeX formula: CB равен 13, а высота LaTeX formula: CD равна 5. Найдите периметр этого треугольника. 
Решение. Из теоремы Пифагора 8.3: LaTeX formula: DB=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12
Найдем периметр треугольника LaTeX formula: BDCLaTeX formula: P_{BDC}=5+12+13=30.
Так как LaTeX formula: \Delta BCA \sim \Delta BDC (по двум углам), то их стороны пропорциональны: LaTeX formula: \frac{BC}{BD}=\frac{BA}{BC}=\frac{CA}{DC}LaTeX formula: \frac{13}{12}=\frac{BA}{13}=\frac{CA}{5}LaTeX formula: k=\frac{13}{12}
Так как отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия, то LaTeX formula: \frac{P_{BAC}}{P_{BDC}}=k. Тогда LaTeX formula: \frac{P_{BAC}}{30}=\frac{13}{12}LaTeX formula: \frac{P_{BAC}}{5}=\frac{13}{2}, откуда LaTeX formula: P_{BAC}=32,5.
Ответ: 32,5.
Пример 18. Площадь треугольник LaTeX formula: KBN (рис. 8.64) равна 30. Параллельно стороне LaTeX formula: AC = 6 проведен отрезок LaTeX formula: KN = 4. Найдите площадь треугольника LaTeX formula: ABC.
Решение. Так как LaTeX formula: AC\parallel KN, то LaTeX formula: \angle CAB=\angle NKB, а LaTeX formula: \angle ACB=\angle KNB, следовательно, LaTeX formula: \Delta BAC \sim \Delta BKN (по двум углам).
Тогда LaTeX formula: \frac{AC}{KN}=\frac{3}{2}=kLaTeX formula: \frac{S_{ABC}}{S_{KBN}}=k^{2}LaTeX formula: \frac{S_{ABC}}{30}=\frac{9}{4}, откуда LaTeX formula: S_{ABC}=67,5.
Ответ: 67,5.
1. Треугольники можно классифицировать:
1) по сторонам: разносторонний, равнобедренный и равносторонний; 
2) по углам: остроугольный, прямоугольный и тупоугольный.
2. Существуют формулы, которые устанавливают взаимосвязь между углами и сторонами треугольников: 
1) в произвольном треугольнике: теорема синусов и теорема косинусов; 
2) в прямоугольном треугольнике: теорема Пифагора.
3. В любом треугольнике можно провести три высоты, три медианы и три биссектрисы.
4. Различайте: равные и равновеликие треугольники.
formula