Справочный материал
Примеры
Обратите внимание!
Видео
Модели
Пройти тесты
Треугольником называют многоугольник, имеющий три вершины (рис. 8.27 – 8.29).
Классификация треугольников по сторонам
1. Если все три стороны треугольника равны, то треугольник равносторонний. Все внутренние углы равностороннего треугольника равны.
Например, на рисунке 8.27 изображен равносторонний треугольник : ; .
2. Если две стороны треугольника равны, то треугольник равнобедренный. Стороны, имеющие одинаковую длину, называют боковыми сторонами, а третью сторону – основанием этого треугольника. Углы при основании равнобедренного треугольника равны.
Например, на рисунке 8.28 изображен равнобедренный треугольник с боковыми сторонами и основанием , а .
3. Если все стороны треугольника имеют различную длину, то треугольник разносторонний (произвольный).
Например, на рисунке 8.29 изображен разносторонний треугольник .
Длина стороны треугольника меньше суммы длин двух других его сторон, причем, большая сторона треугольника лежит против большего его угла.
Например: 1) если на рисунке 8.27 , то ; 2) если на рисунке 8.28 , то длина стороны меньше 8, но больше 4.
Классификация треугольников по углам
1. Если все углы треугольника острые, то треугольник остроугольный (на рисунке 8.27 треугольник ).
2. Если один из углов треугольника тупой, то треугольник тупоугольный (на рисунке 8.28 треугольник ).
3. Если один из углов треугольника прямой, то треугольник прямоугольный. Сторону прямоугольного треугольника, лежащую против прямого угла, называют гипотенузой, две другие стороны – катетами. Например, на рисунке 8.29 треугольник – прямоугольный, отрезок – гипотенуза этого треугольника, а отрезки и – его катеты.
Рассмотрим прямоугольный треугольник, у которого и – катеты, – гипотенуза, – острый угол (рис. 8.30).
Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы треугольника равен сумме квадратов его катетов:
, (8.3)
где – гипотенуза, и – катеты.
Например, если катеты треугольника соответственно равны 3 и 4, то гипотенуза этого треугольника равна 5. Такой треугольник называют египетским.
Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике
1. Синус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.
2. Косинус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.
3. Тангенс острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету.
Например, на рисунке 8.30: ; ; .
Катет, лежащий против угла , равен половине гипотенузы.
Рассмотрим произвольный треугольник, у которого – стороны, – соответственно противолежащие им углы (рис. 8.31).
Теорема косинусов. Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих же сторон на косинус угла между ними:
, (8.4)
или
, (8.4.1)
или
. (8.4.2)
Теорема синусов. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих им углов:
(8.5)
или
, (8.5.1)
где – радиус окружности, описанной около этого треугольника.
Линии в треугольнике
Среди всех линий, которые можно провести в треугольнике выделяют среднюю линию треугольника, биссектрису треугольника, его медиану и высоту.
Средней линией треугольника называют отрезок, соединяющий середины двух его сторон.
Свойства средней линии треугольника
1. Средняя линия треугольника равна половине длины его третьей стороны.
2. Средняя линия треугольника параллельна одной из сторон треугольника.
Например, если отрезки и – средние линии треугольника (рис. 8.32) и длины их соответственно равны 8, 9 и 7, то стороны и этого треугольника соответственно равны 16, 18 и 14.
Высотой треугольника называют перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника на прямую, содержащую противолежащую сторону.
Например, на рисунке 8.33 изображены высоты остроугольного треугольника : отрезки и .
На рисунке 8.34 изображена одна из высот тупоугольного треугольника : высота .
На рисунке 8.35 изображены три высоты прямоугольного треугольника : высоты и .
Свойства высоты треугольника
1. В остроугольном и прямоугольном треугольнике три высоты треугольника пересекаются в одной точке (точка на рисунке 8.33 и точка на рисунке 8.35).
2. Если высота треугольника проведена из вершины прямого угла к гипотенузе, то она является средним геометрическим проекций катетов на гипотенузу (рис. 8.5):
, (8.6)
где и – проекции катетов на гипотенузу.
3. Для всякого треугольника зависимость между его высотами , , и радиусом вписанной окружности r выражается формулой:
. (8.7)
Медианой треугольника называют отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.
Например, на рисунке 8.36 изображены медианы треугольника : отрезки и .
Свойства медианы треугольника
1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении , считая от вершины.
Например, на рисунке 8.36 .
2. Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника (треугольники, имеющие равные площади, называют равновеликими).
Например, на рисунке 8.36 треугольники и равновеликие.
3. Если медиана проведена к гипотенузе прямоугольного треугольника, то она равна половине гипотенузы.
Например, на рисунке 8.37 .
Биссектрисой треугольника называют отрезок биссектрисы внутреннего угла треугольника, заключенный между вершиной треугольника и точкой пересечения биссектрисы угла и стороны треугольника.
Например, на рисунке 8.38 отрезки и – биссектрисы внутренних углов треугольника .
Свойства биссектрисы треугольника
1. Три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, являющейся центром окружности, вписанной в треугольник.
Например, точка на рисунке 8.38.
2. В равностороннем треугольнике все биссектрисы равны и являются высотами и медианами этого треугольника.
Например, на рисунке 8.39 биссектрисы – высоты и медианы правильного треугольника и .
3. Если биссектриса проведена из вершины равнобедренного треугольника к его основанию, то она является высотой и медианой этого треугольника.
Например, на рисунке 8.40 биссектриса – высота и медиана равнобедренного треугольника .
4. Биссектриса треугольника делит сторону этого треугольника на отрезки, пропорциональные прилежащим к ним сторонам.
Например, если – биссектриса треугольника , изображенного на рисунке 8.41, то .
Формулы для вычисления площади треугольника
Для вычисления площади треугольника можно применять одну из следующих формул:
, (8.8)
где – сторона равностороннего треугольника;
, (8.9)
где – сторона, – высота, проведенная к стороне произвольного треугольника;
, (8.10)
где и – катеты прямоугольного треугольника;
, (8.11)
где и – стороны, – величина угла между ними произвольного треугольника;
Формула Герона:
, (8.12)
где – стороны, – полупериметр треугольника;
, (8.13)
где - полупериметр треугольника, - радиус окружности, вписанной в треугольник;
, (8.14)
где – стороны, – радиус окружности, описанной около треугольника.
Два треугольника равны, если все их соответственные стороны и углы равны.
Признаки равенства треугольников
1. Два треугольника равны, если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника.
Например, на рисунке 8.42 треугольники и равны по двум сторонам и углу между ними.
2. Два треугольника равны, если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника.
Например, на рисунке 8.43 треугольники и равны по стороне и прилежащим к ней углам.
3. Два треугольника равны, если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника.
Например, на рисунке 8.44 треугольники и равны по трем сторонам.
Признаки равенства прямоугольных треугольников
1. Прямоугольные треугольники равны, если катеты одного треугольника соответственно равны катетам другого треугольника.
Например, на рисунке 8.45 треугольники и равны по двум катетам.
2. Прямоугольные треугольники равны, если катет и прилежащий острый угол одного треугольника соответственно равны катету и прилежащему острому углу другого треугольника.
Например, на рисунке 8,46 треугольники и равны по катету и прилежащему острому углу.
3. Прямоугольные треугольники равны, если гипотенуза и острый угол одного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого треугольника.
Например, на рисунке 8.47 треугольники и равны по гипотенузе и острому углу.
4. Прямоугольные треугольники равны, если гипотенуза и катет одного треугольника соответствравны гипотенузе и катету другого треугольника.
Например, на рисунке 8.48 треугольники и равны по гипотенузе и катету.
Два треугольника подобны, если все углы одного треугольника соответственно равны углам другого, а все стороны одного пропорциональны соответствующим (сходственным) сторонам другого треугольника.
Признаки подобия треугольников
1. Два треугольника подобны, если два угла одного треугольника равны двум углам другого.
Например, на рисунке 8.49 треугольники и подобны (записывают ), так как , .
2. Два треугольника подобны, если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого, а углы, заключенные между ними, равны.
Например, на рисунке 8.50 треугольник подобен треугольнику так как , и угол у них общий.
3. Два треугольника подобны, если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого.
Например, на рисунке 8.51 изображены подобные треугольники, так как длины сторон одного из них в два раза больше длин сторон другого.
Отношение сходственных сторон подобных треугольников называют коэффициентом подобия .
Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия .
Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия .
Пример 1. Острый угол треугольника (рис. 8.52) , а катет , лежащий против этого угла, равен . Найдите гипотенузу и катет этого треугольника.
Решение. Согласно равенству запишем: , , откуда .
А так как , то . Тогда , откуда .
Ответ: 12; 6.
Пример 2. Известно, что гипотенуза прямоугольного треугольника равна 16 и острый угол треугольника равен . Найдите периметр этого треугольника.
Решение. Поскольку сумма углов треугольника равна и один из его углов прямой, то острые углы этого треугольника равны и соответственно. Катет, лежащий против угла равен половине гипотенузы и равен 8.
Из теоремы Пифагора 8.3 найдем другой катет этого треугольника:
.
Запишем периметр треугольника: .
Ответ: .
Пример 3. Известно, что стороны треугольника (рис. 8.53) равны 10 см, 12 см и 16 см. Выясните, является ли этот треугольник остроугольным.
Решение. Поскольку больший угол треугольника лежит против большей его стороны, то определим величину угла В.
Согласно теореме косинусов 8.4 запишем: или , откуда , а .
Ответ: так как значение косинуса угла отрицательное, то этот треугольник тупоугольный.
Пример 4. На рисунке 8.54 изображен треугольник, у которого сторона равна , сторона равна 5, а угол равен . Определите сторону и величины углов и этого треугольника.
Решение. Согласно теореме синусов 8.5 запишем: .
Так как , то , откуда и .
Решая уравнение , получим: , .
Поскольку сумма внутренних углов треугольника равна , то и .
Тогда, решая уравнение , получим: .
Ответ: , , .
Пример 5. В треугольнике (рис. 8.55) высота делит гипотенузу на отрезки см и см. Найдите больший катет этого треугольника.
Решение. Согласно формуле 8.6 запишем: (см). Так как , то .
По теореме Пифагора 8.3:
, (см);
Ответ: см.
Пример 6. Две высоты треугольника равны соответственно 5 и 6, а радиус окружности, вписанной в этот треугольник, равен 1. Найдите третью высоту треугольника.
Решение. Согласно формуле 8.7 запишем: , откуда , , .
Ответ: .
Пример 7. В треугольнике (рис. 8.56) точка – точка пересечения медиан треугольника. Найдите медиану этого треугольника, зная, что .
Решение. Так как точкой пересечения медианы треугольника делятся в отношении , считая от его вершины, то , и .
А так как , то .
Ответ: 12.
Пример 8. Медиана , проведенная к гипотенузе равнобедренного прямоугольного треугольника (рис. 8.57) равна 7. Найдите катеты этого треугольника.
Решение. Так как медиана проведена к гипотенузе треугольника, то .
Поскольку треугольник равнобедренный, то его катеты равны, а медиана, проведенная к основанию треугольника, является и высотой этого треугольника.
Тогда по теореме Пифагора 8.3 :
, , а .
Ответ: и .
Пример 9. В равнобедренном треугольнике с боковой стороной равной 5 см проведена медиана боковой стороны. Найдите основание треугольника, если медиана равна 4 см.
Решение. Рассмотрим равнобедренный треугольник с боковым сторонами см и медианой см (рис. 8.58).
Достроим треугольник до параллелограмма , тогда диагональ параллелограмма см.
По свойству диагоналей параллелограмма получим: или , откуда см.
Ответ: см.
Пример 10. На рисунке 8.59 отрезки и – медианы треугольника . Площадь треугольника равна 5. Найдите площади треугольников и .
Решение. Так как медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника, то , а .
Ответ: 10; 5.
Пример 11. В треугольнике (рис. 8.60) , и . Найдите длины отрезков, на которые биссектриса делит сторону треугольника .
Решение. Так как биссектриса треугольника делит сторону этого треугольника на отрезки пропорциональные двум другим его сторонам, то .
Если положим, что , то , тогда: , , откуда , , , , а .
Ответ: и .
Пример 12. В равнобедренном треугольнике основание и боковая сторона соответственно равны 5 см и 10 см. Найдите биссектрису угла при основании треугольника.
Решение. Рассмотрим равнобедренный треугольник с основанием (рис. 8.61). Согласно условию задачи см, см.
Проведем биссектрису угла . Полагая см, запишем cм. По свойству биссектрисы треугольника получим: , , , см.
Найдем косинус угла . По теореме косинусов 8.4 получим: , , откуда .
Биссектрису найдем из треугольника . По теореме косинусов 8.4 , откуда см.
Ответ: см.
Пример 13. Площадь правильного треугольника равна . Найдите высоту этого треугольника.
Решение. Найдем сторону правильного треугольника. Согласно формуле 8.8 запишем: , , , .
Подставляя в формулу 8.9 значения и , найдем высоту треугольника: , , .
Ответ: .
Пример 14. Площадь прямоугольного треугольника равна 36, а один из его катетов равен 8. Найдите высоту треугольника, проведенную к гипотенузе.
Решение. Площадь прямоугольного треугольника находят по формуле 8.10. Так как , , то , .
По теореме Пифагора 8.3 найдем гипотенузу: .
Но, с другой стороны, . Тогда , откуда .
Ответ: .
Пример 15. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 5, а угол при основании треугольника равен (рис. 8.62). Найдите площадь этого треугольника.
Решение. Поскольку углы при основании равнобедренного треугольника равны, то найдем угол при вершине этого треугольника: .
По формуле 8.11 найдем площадь треугольника: .
Ответ: 6,25.
Пример 16. Найдите площадь треугольника, стороны которого равны 6, 10 и 12.
Решение. Найдем полупериметр этого треугольника: .
Площадь треугольника найдем по формуле 8.12: , .
Ответ: .
Пример 17. В треугольнике (рис. 8.63) катет равен 13, а высота равна 5. Найдите периметр этого треугольника.
Найдем периметр треугольника : .
Так как (по двум углам), то их стороны пропорциональны: , , .
Так как отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия, то . Тогда , , откуда .
Ответ: 32,5.
Пример 18. Площадь треугольник (рис. 8.64) равна 30. Параллельно стороне проведен отрезок . Найдите площадь треугольника .
Решение. Так как , то , а , следовательно, (по двум углам).
Тогда , , , откуда .
Ответ: 67,5.
1. Треугольники можно классифицировать:
1) по сторонам: разносторонний, равнобедренный и равносторонний;
2) по углам: остроугольный, прямоугольный и тупоугольный.
2. Существуют формулы, которые устанавливают взаимосвязь между углами и сторонами треугольников:
1) в произвольном треугольнике: теорема синусов и теорема косинусов;
2) в прямоугольном треугольнике: теорема Пифагора.
3. В любом треугольнике можно провести три высоты, три медианы и три биссектрисы.
4. Различайте: равные и равновеликие треугольники.