Справочный материал Примеры Обратите внимание! Модели
Многоугольником LaTeX formula: A_{1}A_{2}...A_{n} на плоскости называют фигуру, состоящую из точек LaTeX formula: A_{1},A_{2},...,A_{n} и соединяющих их непересекающихся отрезков LaTeX formula: A_{1}A_{2},A_{2}A_{3},...,A_{n}A_{1}
Точки LaTeX formula: A_{1},A_{2},...,A_{n} называют вершинами многоугольника, а отрезки LaTeX formula: A_{1}A_{2},A_{2}A_{3},...,A_{n}A_{1} – его сторонами
Две вершины многоугольника называются смежными, если они соединяются стороной многоугольника. Две стороны многоугольника называются смежными, если они имеют общую вершину.
Например, на рисунке 8.21 изображен пятиугольник LaTeX formula: ABCDE. Точки LaTeX formula: A, B, C, D и LaTeX formula: E – его вершины, а отрезки LaTeX formula: AB, BC, CD, DE и LaTeX formula: EA – стороны. Вершины LaTeX formula: A и LaTeX formula: BLaTeX formula: B и LaTeX formula: CLaTeX formula: C и LaTeX formula: DLaTeX formula: D и LaTeX formula: E, а также LaTeX formula: E и LaTeX formula: A – смежные. Стороны LaTeX formula: AB и LaTeX formula: BC, BC и LaTeX formula: CDLaTeX formula: CD и LaTeX formula: DE, а также LaTeX formula: DE и LaTeX formula: EA – смежные.
Диагональю многоугольника называют отрезок, соединяющий две несмежные вершины. 
Например, на рисунке 8.22 из вершины LaTeX formula: A многоугольника LaTeX formula: ABCDE проведены диагонали LaTeX formula: AC и LaTeX formula: AD.
Многоугольник называют выпуклым, если он расположен в одной полуплоскости относительно прямой, содержащей любую его сторону. 
Например, на рисунке 8.22 изображен выпуклый многоугольник, а на рисунке 8.23 – невыпуклый.
Вершины многоугольника являются вершинами его углов. Различают внутренние и внешние углы многоугольника. 
Например, пятиугольник LaTeX formula: ABCDE, изображенный на рисунке 8.21 имеет пять внутренних углов, которые можно обозначать тремя буквами или одной буквой. Это углы: LaTeX formula: ABC, BCD, CDE, DEA и LaTeX formula: EAB
Внешним углом многоугольника называют угол, смежный с его внутренним углом. 
Например, на рисунке 8.22 угол LaTeX formula: KBC внешний угол при вершине LaTeX formula: B многоугольника LaTeX formula: ABCDE
Сумму внутренних углов выпуклого многоугольника находят по формуле:
LaTeX formula: S_{n}=180^{\circ}\cdot (n-2), (8.1)
где n – число сторон (углов) многоугольника. 
Периметром многоугольника называют сумму длин всех его сторон. 
Многоугольник называют правильным, если все его стороны и все его углы равны. 
Например, на рисунке 8.24 изображен правильный треугольник, на рисунке 8.25 – правильный четырехугольник, а на рисунке 8.26 – правильный шестиугольник.
Внутренние углы правильного n-угольника находят по формуле: 
LaTeX formula: \alpha=\frac{180 ^{\circ}\cdot(n-2)}{n}. (8.2)
Пример 1. Найдите сумму внутренних угол, внутренние углы и внешние углы правильного треугольника, пятиугольника и шестиугольника.
Решение. 1. По формуле 8.1 найдем сумму внутренних углов треугольника: LaTeX formula: S_{3}=180^{\circ}\cdot (3-2)=180^{\circ}
По формуле 8.2 найдем внутренние углы правильного треугольника: LaTeX formula: \alpha=\frac{180^{\circ}}{3}=60^{\circ}.
Найдем внешние углы правильного треугольника: LaTeX formula: 180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}.
2. По формуле 8.1 найдем сумму внутренних углов пятиугольника: LaTeX formula: S_{5}=180^{\circ}\cdot (5-2)=540^{\circ}
По формуле 8.2 найдем внутренние углы правильного пятиугольника: LaTeX formula: \alpha=\frac{540^{\circ}}{5}=108^{\circ}.
Найдем внешние углы правильного пятиугольника: LaTeX formula: 180^{\circ}-108^{\circ}=72^{\circ}.
3. По формуле 8.1 найдем сумму внутренних углов шестиугольника: LaTeX formula: S_{6}=180^{\circ}\cdot (6-2)=720^{\circ}
По формуле 8.2 найдем внутренние углы правильного шестиугольника: LaTeX formula: \alpha=\frac{720^{\circ}}{6}=120^{\circ}.
Найдем внешние углы правильного шестиугольника: LaTeX formula: 180^{\circ}-120^{\circ}=60^{\circ}.
В дальнейшем мы будем рассматривать только выпуклые многоугольники.
formula