Многоугольники /qualihelpy

Многоугольники

Справочник / Школьник / Планиметрия /

Справочный материал Примеры Обратите внимание! Модели

Многоугольником $LaTeX formula: A_{1}A_{2}...A_{n}$ на плоскости называют фигуру, состоящую из точек $LaTeX formula: A_{1},A_{2},...,A_{n}$ и соединяющих их непересекающихся отрезков $LaTeX formula: A_{1}A_{2},A_{2}A_{3},...,A_{n}A_{1}$ .

Точки $LaTeX formula: A_{1},A_{2},...,A_{n}$ называют вершинами многоугольника, а отрезки $LaTeX formula: A_{1}A_{2},A_{2}A_{3},...,A_{n}A_{1}$ – его сторонами.

Две вершины многоугольника называются смежными, если они соединяются стороной многоугольника. Две стороны многоугольника называются смежными, если они имеют общую вершину.

Например, на рисунке 8.21 изображен пятиугольник LaTeX formula: ABCDE

. Точки

– его вершины, а отрезки LaTeX formula: AB, BC, CD, DE

– стороны. Вершины LaTeX formula: A

, а также

– смежные. Стороны LaTeX formula: AB

, а также

– смежные.

Диагональю многоугольника называют отрезок, соединяющий две несмежные вершины.

Например, на рисунке 8.22 из вершины LaTeX formula: A

многоугольника LaTeX formula: ABCDE

проведены диагонали LaTeX formula: AC

Многоугольник называют выпуклым, если он расположен в одной полуплоскости относительно прямой, содержащей любую его сторону.

Например, на рисунке 8.22 изображен выпуклый многоугольник, а на рисунке 8.23 – невыпуклый.

Вершины многоугольника являются вершинами его углов. Различают внутренние и внешние углы многоугольника.

Например, пятиугольник LaTeX formula: ABCDE

, изображенный на рисунке 8.21 имеет пять внутренних углов, которые можно обозначать тремя буквами или одной буквой. Это углы: LaTeX formula: ABC, BCD, CDE, DEA

Внешним углом многоугольника называют угол, смежный с его внутренним углом.

Например, на рисунке 8.22 угол LaTeX formula: KBC

внешний угол при вершине LaTeX formula: B

многоугольника LaTeX formula: ABCDE

Сумму внутренних углов выпуклого многоугольника находят по формуле:

$LaTeX formula: S_{n}=180^{\circ}\cdot (n-2)$ , (8.1)

где n – число сторон (углов) многоугольника.

Периметром многоугольника называют сумму длин всех его сторон.

Многоугольник называют правильным, если все его стороны и все его углы равны.

Например, на рисунке 8.24 изображен правильный треугольник, на рисунке 8.25 – правильный четырехугольник, а на рисунке 8.26 – правильный шестиугольник.

Внутренние углы правильного n-угольника находят по формуле:

$LaTeX formula: \alpha=\frac{180 ^{\circ}\cdot(n-2)}{n}$ . (8.2)

Пример 1. Найдите сумму внутренних угол, внутренние углы и внешние углы правильного треугольника, пятиугольника и шестиугольника.

Решение. 1. По формуле 8.1 найдем сумму внутренних углов треугольника: $LaTeX formula: S_{3}=180^{\circ}\cdot (3-2)=180^{\circ}$ .

По формуле 8.2 найдем внутренние углы правильного треугольника: $LaTeX formula: \alpha=\frac{180^{\circ}}{3}=60^{\circ}$ .

Найдем внешние углы правильного треугольника: $LaTeX formula: 180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}$ .

2. По формуле 8.1 найдем сумму внутренних углов пятиугольника: $LaTeX formula: S_{5}=180^{\circ}\cdot (5-2)=540^{\circ}$ .

По формуле 8.2 найдем внутренние углы правильного пятиугольника: $LaTeX formula: \alpha=\frac{540^{\circ}}{5}=108^{\circ}$ .

Найдем внешние углы правильного пятиугольника: $LaTeX formula: 180^{\circ}-108^{\circ}=72^{\circ}$ .

3. По формуле 8.1 найдем сумму внутренних углов шестиугольника: $LaTeX formula: S_{6}=180^{\circ}\cdot (6-2)=720^{\circ}$ .

По формуле 8.2 найдем внутренние углы правильного шестиугольника: $LaTeX formula: \alpha=\frac{720^{\circ}}{6}=120^{\circ}$ .

Найдем внешние углы правильного шестиугольника: $LaTeX formula: 180^{\circ}-120^{\circ}=60^{\circ}$ .

В дальнейшем мы будем рассматривать только выпуклые многоугольники.

Программа для просмотра моделей (МК-плеер) Файлы для скачивания m_и_ломаная m_2_и_многоугольник