Справочный материал Примеры Обратите внимание! Модели
К простейшим геометрическим фигурам на плоскости относят точку и прямую. Точки обозначают прописными буквами латинского алфавита: LaTeX formula: A, B, C, D. Прямые обозначают или строчными буквами латинского алфавита LaTeX formula: a, b, c, d или двумя прописными буквами: LaTeX formula: AC, BA, DO и т. д. 
Например, на рисунке 8.1 изображена прямая LaTeX formula: a и прямая LaTeX formula: AB. Точка LaTeX formula: D принадлежит прямой LaTeX formula: a, точка LaTeX formula: C не принадлежит данным прямым.
Часть прямой линии, ограниченную с одной стороны и неограниченную с другой, называют полупрямой или лучом
Например, на рисунке 8.2 изображены лучи LaTeX formula: DB, DA и LaTeX formula: DC.
Полупрямые прямой LaTeX formula: a, на которые она разбивается любой точкой прямой, называют дополнительными
Например, на рисунке 8.2 LaTeX formula: DC и LaTeX formula: DA – пара дополнительных полупрямых.
Часть прямой линии, ограниченную двумя точками, называют отрезком. Отрезки называют равными, если их концы совпадают при наложении одного отрезка на другой. 
Например, на рисунке 8.3 изображен отрезок LaTeX formula: DC.
Линию, состоящую из нескольких отрезков, не лежащих на одной прямой (конец предыдущего отрезка совпадает с началом следующего), называют ломаной линией. Отрезки, из которых состоит ломаная линия, называют ее звеньями
Например, на рисунке 8.4 изображена ломаная LaTeX formula: ABCDE, состоящая из четырех звеньев: LaTeX formula: AB, BC, CD и LaTeX formula: DE
Ломаная называется замкнутой, если ее концы совпадают. 
Например, На рисунках 8.5 и 8.6 изображены замкнутые ломаные.
Чтобы найти длину ломаной, необходимо найти сумму длин ее звеньев. Длина отрезка, соединяющего концы ломаной, короче ее длины.
Например, если  LaTeX formula: AB = 23 ммLaTeX formula: BC = 17 мм, LaTeX formula: CD = 25 мм, LaTeX formula: DE = 19 мм, то длина ломаной LaTeX formula: ABCDE будет равна 84 мм.
Углом называют фигуру, образованную двумя лучами, исходящими из одной точки (рис. 8.7). Эту точку называют вершиной угла (точка LaTeX formula: O), а лучи – сторонами угла (лучи LaTeX formula: OA и LaTeX formula: OB). 
Угол можно обозначать тремя прописными буквами так, чтобы буква, обозначающая вершину угла, стояла между двумя другими буквами или одной прописной буквой, обозначающей вершину угла. Например, на рисунке 8.7 изображен угол LaTeX formula: AOB (угол LaTeX formula: O).
 
Биссектрисой угла называют луч, который выходит из вершины угла и делит этот угол на два равных угла. Каждая точка биссектрисы угла равноудалена от сторон этого угла
Например, на рисунке 8.8 луч LaTeX formula: OP – биссектриса угла LaTeX formula: AOB, следовательно,  углы LaTeX formula: AOP и LaTeX formula: BOP равны, а точка LaTeX formula: K равноудалена от сторон угла.
Угол называют развернутым, если его стороны являются дополнительными прямыми одной прямой. На рисунке 8.9 угол LaTeX formula: AOB – развернутый.
Основной единицей измерения углов считают угол в 1 градус. Угол в один градус – это угол, равный LaTeX formula: \frac{1}{180} части развернутого угла. Развернутый угол равен LaTeX formula: 180^{\circ}. Наряду с градусной мерой угла употребляется и радианная мера: n рад = LaTeX formula: \frac{n\cdot 180^{\circ}}{\pi }, а LaTeX formula: n^{\circ}=\frac{n\cdot \pi }{180} рад.
Например: 
1) 5 рад = LaTeX formula: \frac{5\cdot 180^{\circ}}{\pi }=\frac{900^{\circ}}{\pi }; 2) LaTeX formula: 90^{\circ}=\frac{90^{\circ}\cdot \pi }{180^{\circ}} рад = LaTeX formula: \frac{\pi }{2} рад.
Два угла называют смежными, если у них одна сторона общая, а две другие стороны этих углов являются дополнительными полупрямыми. Сумма смежных углов равна LaTeX formula: 180^{\circ}
Например, так как углы LaTeX formula: AOC и LaTeX formula: BOC являются смежными (рис. 8.10) и LaTeX formula: \angle BOC=70^{\circ}, то LaTeX formula: \angle AOC=180^{\circ}-70^{\circ}=110^{\circ}.
Острым углом называют угол, градусная мера которого меньше LaTeX formula: 90^{\circ}
Например, на рисунке 8.10 угол LaTeX formula: COB – острый. 
Тупым углом называют угол, градусная мера которого больше LaTeX formula: 90^{\circ}, но меньше LaTeX formula: 180^{\circ}
Например, на рисунке 8.10 угол LaTeX formula: AOC – тупой.
Прямым углом называют угол, градусная мера которого равна LaTeX formula: 90^{\circ}.
Например, на рисунке 8.11 угол LaTeX formula: AOB – прямой.
Прямые, которые пересекаются под прямым углом, называют взаимно перпендикулярными
Например, на рисунке 8.12 прямые LaTeX formula: a и LaTeX formula: c взаимно перпендикулярные. Записывают: LaTeX formula: a\perp c
Две прямые, которые принадлежат одной плоскости и не имеют общих точек, называют параллельными
Например, на рисунке 8.12 прямая LaTeX formula: b параллельна прямой LaTeX formula: a. Записывают: LaTeX formula: b\parallel a.
Прямую, которая пересекает данную прямую и не перпендикулярна к ней, называют наклонной. Точку пересечения наклонной к прямой с этой прямой называют основанием наклонной
Например, на рисунке 8.12 прямая LaTeX formula: d – наклонная к прямой LaTeX formula: a (и к LaTeX formula: b). Точка LaTeX formula: P – основание наклонной LaTeX formula: d к прямой LaTeX formula: a.
Через точку, не принадлежащую прямой, можно провести единственную прямую, перпендикулярную этой прямой, и бесчисленное множество прямых, которые пересекают эту прямую и образуют с ней непрямые углы. 
Например, на рисунке 8.13 через точку LaTeX formula: A проведены наклонные LaTeX formula: c, l и LaTeX formula: b к прямой LaTeX formula: a.
Из точки, не принадлежащей прямой, можно провести к этой прямой только один перпендикуляр. Точку пересечения перпендикуляра к прямой с этой прямой называют основанием перпендикуляра
Например, на рисунке 8.14 из точки LaTeX formula: A к прямой LaTeX formula: a проведен перпендикулярLaTeX formula: AB. Точка LaTeX formula: B – основание этого перпендикуляра.
Отрезок, соединяющий основания наклонной и перпендикуляра, проведенных из одной точки к прямой, называют проекцией отрезка наклонной на эту прямую.
Расстоянием от точки до прямой называют длину перпендикуляра от данной точки до его основания на данной прямой. 
Например, на рисунке 8.15 отрезок LaTeX formula: OB – проекция отрезка наклонной LaTeX formula: AB к прямой LaTeX formula: aРасстояние от точки LaTeX formula: A до прямой LaTeX formula: a равно длине отрезка LaTeX formula: AO.
Серединным перпендикуляром к отрезку называют перпендикуляр, проведенный через середину этого отрезка.
Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку, равноудалена от концов этого отрезка.
Например, на рисунке 8.16 LaTeX formula: AB = AC и LaTeX formula: DB=DC так как LaTeX formula: AO – серединный перпендикуляр к отрезку LaTeX formula: BC.
В результате пересечения двух прямых получаем две пары вертикальных углов. Два угла называют вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными полупрямыми сторон другого. Вертикальные углы равны
Например, на рисунке 8.17 углы LaTeX formula: AOC и LaTeX formula: DOB, а также углы LaTeX formula: AOD и LaTeX formula: COB – пары вертикальных углов, причем LaTeX formula: \angle AOC=\angle BOD и LaTeX formula: \angle AOD=\angle BOC.
Теорема Фалеса. Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне. 
Например, на рисунке 8.18 через точки LaTeX formula: K, B и LaTeX formula: P прямой LaTeX formula: CD проведены параллельные прямые LaTeX formula: KN, BM и LaTeX formula: PL. Так как LaTeX formula: KB=BP, то LaTeX formula: NM = ML.
Если две прямые LaTeX formula: a и LaTeX formula: b (рис. 8.19) пересечь третьей прямой LaTeX formula: c (секущей), то получим:
1) внутренние односторонние углы: 3 и 5, 4 и 6; 
2) внутренние накрест лежащие углы: 3 и 6, 4 и 5; 
3) соответственные углы: 1 и 5, 2 и 6, 3 и 7, 4 и 8. 
Если две параллельные прямые LaTeX formula: AB и LaTeX formula: CD (рис. 8.20) пересечь третьей прямой LaTeX formula: KL, то:
1) накрест лежащие углы будут равны ( LaTeX formula: \angle 1=\angle 2 и LaTeX formula: \angle 3=\angle 4 ); 
2) сумма внутренних односторонних углов будет равна LaTeX formula: 180^{\circ} ( LaTeX formula: \angle 1+\angle 4=180^{\circ} и LaTeX formula: \angle 2+\angle 3=180^{\circ} );
3) соответственные углы будут равны (например, LaTeX formula: \angle 1=\angle 5 ).
Признаки параллельности прямых:
1) если прямая с параллельна прямым LaTeX formula: a и LaTeX formula: b, то прямые LaTeX formula: a и LaTeX formula: b параллельны; 
2) если внутренние накрест лежащие углы прямых LaTeX formula: a и LaTeX formula: b с секущей LaTeX formula: c равны, или сумма внутренних односторонних углов равна LaTeX formula: 180^{\circ}, или соответственные углы равны, то прямые LaTeX formula: a и LaTeX formula: b параллельны.
Пример 1. На рисунке 8.20 прямые LaTeX formula: AB и LaTeX formula: CD параллельные, а угол LaTeX formula: ALK равен LaTeX formula: 30^{\circ}. Найдите углы LaTeX formula: LKD, ALK, MLB, BLK и LaTeX formula: CKL.
Решение. Если угол LaTeX formula: ALK равен LaTeX formula: 30^{\circ}, то угол LaTeX formula: LKD также равен LaTeX formula: 30^{\circ} как накрест лежащий с ним.
Углы LaTeX formula: ALK и LaTeX formula: MLB, а также углы LaTeX formula: LKD и LaTeX formula: CKN образуют пары вертикальных углов, следовательно, LaTeX formula: \angle MBL=\angle ALK=30^{\circ}.
Углы LaTeX formula: ALK и LaTeX formula: CKL, а также LaTeX formula: BLK и LaTeX formula: DKL образуют пары внутренних односторонних углов, значит LaTeX formula: \angle KBL = \angle CKL = 180^{\circ}-30^{\circ}=150^{\circ}.
1. Прямые на плоскости могут: пересекаться, быть параллельными, совпадать.
2. При определенном расположении прямых могут быть образованы углы: смежные, вертикальные, накрест лежащие, односторонние, соответственные.
3. Некоторые аксиомы планиметрии:
1) Через две точки можно провести прямую линию и притом только одну.
2) Отрезок прямой короче всякой другой линии (ломаной или кривой), соединяющей его концы.
3) Через точку, не принадлежащую прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной прямой.
formula