Справочный материал
Примеры
Обратите внимание!
Модели
К простейшим геометрическим фигурам на плоскости относят точку и прямую. Точки обозначают прописными буквами латинского алфавита: 
. Прямые обозначают или строчными буквами латинского алфавита 
или двумя прописными буквами: 
и т. д.
. Прямые обозначают или строчными буквами латинского алфавита или двумя прописными буквами: и т. д. Например, на рисунке 8.1 изображена прямая 
и прямая 
. Точка 
принадлежит прямой , точка 
не принадлежит данным прямым.
и прямая . Точка принадлежит прямой , точка не принадлежит данным прямым.Часть прямой линии, ограниченную с одной стороны и неограниченную с другой, называют полупрямой или лучом.
Например, на рисунке 8.2 изображены лучи 
и 
.
и .Полупрямые прямой , на которые она разбивается любой точкой прямой, называют дополнительными.
, на которые она разбивается любой точкой прямой, называют дополнительными. Например, на рисунке 8.2 и 
– пара дополнительных полупрямых.
и – пара дополнительных полупрямых.Часть прямой линии, ограниченную двумя точками, называют отрезком. Отрезки называют равными, если их концы совпадают при наложении одного отрезка на другой.
Например, на рисунке 8.3 изображен отрезок .
.Линию, состоящую из нескольких отрезков, не лежащих на одной прямой (конец предыдущего отрезка совпадает с началом следующего), называют ломаной линией. Отрезки, из которых состоит ломаная линия, называют ее звеньями.
Например, на рисунке 8.4 изображена ломаная 
, состоящая из четырех звеньев: 
и 
.
, состоящая из четырех звеньев: и . Ломаная называется замкнутой, если ее концы совпадают.
Например, На рисунках 8.5 и 8.6 изображены замкнутые ломаные.
Чтобы найти длину ломаной, необходимо найти сумму длин ее звеньев. Длина отрезка, соединяющего концы ломаной, короче ее длины.
Например, если 
мм, 
мм, 
мм, 
мм, то длина ломаной будет равна 84 мм.
мм, мм, мм, мм, то длина ломаной будет равна 84 мм.Углом называют фигуру, образованную двумя лучами, исходящими из одной точки (рис. 8.7). Эту точку называют вершиной угла (точка 
), а лучи – сторонами угла (лучи 
и 
).
), а лучи – сторонами угла (лучи и ). Угол можно обозначать тремя прописными буквами так, чтобы буква, обозначающая вершину угла, стояла между двумя другими буквами или одной прописной буквой, обозначающей вершину угла. Например, на рисунке 8.7 изображен угол 
(угол ).
(угол ). Биссектрисой угла называют луч, который выходит из вершины угла и делит этот угол на два равных угла. Каждая точка биссектрисы угла равноудалена от сторон этого угла.
Например, на рисунке 8.8 луч 
– биссектриса угла , следовательно, углы 
и 
равны, а точка 
равноудалена от сторон угла.
– биссектриса угла , следовательно, углы и равны, а точка равноудалена от сторон угла.Угол называют развернутым, если его стороны являются дополнительными прямыми одной прямой. На рисунке 8.9 угол – развернутый.
– развернутый.Основной единицей измерения углов считают угол в 1 градус. Угол в один градус – это угол, равный 
части развернутого угла. Развернутый угол равен 
. Наряду с градусной мерой угла употребляется и радианная мера: n рад = 
, а 
рад.
части развернутого угла. Развернутый угол равен . Наряду с градусной мерой угла употребляется и радианная мера: n рад = , а рад.Например:
1) 5 рад = 
; 2) 
рад = 
рад.
; 2) рад = рад.Два угла называют смежными, если у них одна сторона общая, а две другие стороны этих углов являются дополнительными полупрямыми. Сумма смежных углов равна .
. Например, так как углы 
и 
являются смежными (рис. 8.10) и 
, то 
.
и являются смежными (рис. 8.10) и , то .Острым углом называют угол, градусная мера которого меньше 
.
. Например, на рисунке 8.10 угол 
– острый.
– острый. Тупым углом называют угол, градусная мера которого больше , но меньше .
, но меньше . Например, на рисунке 8.10 угол – тупой.
– тупой.Прямым углом называют угол, градусная мера которого равна .
.Например, на рисунке 8.11 угол – прямой.
– прямой.Прямые, которые пересекаются под прямым углом, называют взаимно перпендикулярными.
Например, на рисунке 8.12 прямые и 
взаимно перпендикулярные. Записывают: 
.
и взаимно перпендикулярные. Записывают: . Две прямые, которые принадлежат одной плоскости и не имеют общих точек, называют параллельными.
Например, на рисунке 8.12 прямая 
параллельна прямой . Записывают: 
.
параллельна прямой . Записывают: .Прямую, которая пересекает данную прямую и не перпендикулярна к ней, называют наклонной. Точку пересечения наклонной к прямой с этой прямой называют основанием наклонной.
Например, на рисунке 8.12 прямая 
– наклонная к прямой (и к ). Точка 
– основание наклонной к прямой .
– наклонная к прямой (и к ). Точка – основание наклонной к прямой .Через точку, не принадлежащую прямой, можно провести единственную прямую, перпендикулярную этой прямой, и бесчисленное множество прямых, которые пересекают эту прямую и образуют с ней непрямые углы.
Например, на рисунке 8.13 через точку 
проведены наклонные 
и к прямой .
проведены наклонные и к прямой .Из точки, не принадлежащей прямой, можно провести к этой прямой только один перпендикуляр. Точку пересечения перпендикуляра к прямой с этой прямой называют основанием перпендикуляра.
Например, на рисунке 8.14 из точки к прямой проведен перпендикуляр. Точка 
– основание этого перпендикуляра.
к прямой проведен перпендикуляр. Точка – основание этого перпендикуляра.Отрезок, соединяющий основания наклонной и перпендикуляра, проведенных из одной точки к прямой, называют проекцией отрезка наклонной на эту прямую.
Расстоянием от точки до прямой называют длину перпендикуляра от данной точки до его основания на данной прямой.
Например, на рисунке 8.15 отрезок – проекция отрезка наклонной к прямой . Расстояние от точки до прямой равно длине отрезка 
.
– проекция отрезка наклонной к прямой . Расстояние от точки до прямой равно длине отрезка .Серединным перпендикуляром к отрезку называют перпендикуляр, проведенный через середину этого отрезка.
Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку, равноудалена от концов этого отрезка.
Например, на рисунке 8.16 
и 
так как – серединный перпендикуляр к отрезку 
.
и так как – серединный перпендикуляр к отрезку .В результате пересечения двух прямых получаем две пары вертикальных углов. Два угла называют вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными полупрямыми сторон другого. Вертикальные углы равны.
Например, на рисунке 8.17 углы и 
, а также углы 
и – пары вертикальных углов, причем 
и 
.
и , а также углы и – пары вертикальных углов, причем и .Теорема Фалеса. Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.
Например, на рисунке 8.18 через точки 
и прямой 
проведены параллельные прямые 
и 
. Так как 
, то 
.
и прямой проведены параллельные прямые и . Так как , то .Если две прямые и (рис. 8.19) пересечь третьей прямой (секущей), то получим:
и (рис. 8.19) пересечь третьей прямой (секущей), то получим:1) внутренние односторонние углы: 3 и 5, 4 и 6;
2) внутренние накрест лежащие углы: 3 и 6, 4 и 5;
3) соответственные углы: 1 и 5, 2 и 6, 3 и 7, 4 и 8.
Если две параллельные прямые и (рис. 8.20) пересечь третьей прямой 
, то:
и (рис. 8.20) пересечь третьей прямой , то:1) накрест лежащие углы будут равны ( 
и 
);
и ); 2) сумма внутренних односторонних углов будет равна ( 
и 
);
( и );3) соответственные углы будут равны (например, 
).
).Признаки параллельности прямых:
1) если прямая с параллельна прямым и , то прямые и параллельны;
и , то прямые и параллельны; 2) если внутренние накрест лежащие углы прямых и с секущей равны, или сумма внутренних односторонних углов равна , или соответственные углы равны, то прямые и параллельны.
и с секущей равны, или сумма внутренних односторонних углов равна , или соответственные углы равны, то прямые и параллельны.Пример 1. На рисунке 8.20 прямые и параллельные, а угол 
равен 
. Найдите углы 
и 
.
и параллельные, а угол равен . Найдите углы и .Решение. Если угол равен , то угол 
также равен как накрест лежащий с ним.
равен , то угол также равен как накрест лежащий с ним.Углы и 
, а также углы и 
образуют пары вертикальных углов, следовательно, 
.
и , а также углы и образуют пары вертикальных углов, следовательно, .Углы и , а также 
и 
образуют пары внутренних односторонних углов, значит 
.
и , а также и образуют пары внутренних односторонних углов, значит .1. Прямые на плоскости могут: пересекаться, быть параллельными, совпадать.
2. При определенном расположении прямых могут быть образованы углы: смежные, вертикальные, накрест лежащие, односторонние, соответственные.
3. Некоторые аксиомы планиметрии:
1) Через две точки можно провести прямую линию и притом только одну.
2) Отрезок прямой короче всякой другой линии (ломаной или кривой), соединяющей его концы.
3) Через точку, не принадлежащую прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной прямой.