Справочный материал Примеры Обратите внимание! Модели
Тригонометрическими называют неравенства, содержащие тригонометрические функции. 
К простейшим тригонометрическим неравенствам относят неравенства вида: LaTeX formula: sin x<aLaTeX formula: cos x<aLaTeX formula: tg x<aLaTeX formula: ctg x<a  LaTeX formula: (>,\leq ,\geq ).
Методы решений неравенств
1. Решение тригонометрических неравенств с помощью единичной окружности. 
2. Графическое решение тригонометрических неравенств.
3. Решение неравенств методом интервалов.
Решая тригонометрические неравенства методом интервалов, необходимо отметить, что в случае, если исходное неравенство удалось свести к простейшему, то отбирать корни соответствующего простейшего уравнения (а значит и решать неравенство), будем на основном периоде тригонометрической функции. 
Основной период LaTeX formula: T_1 тригонометрической функции LaTeX formula: y=f(kx+b) можно определить по формуле LaTeX formula: T_1=\frac{T}{\left | k \right |}, где LaTeX formula: T – основной период функции LaTeX formula: y=f(x)
Например: 
1) основной период LaTeX formula: T_1 функции LaTeX formula: y=sin(3x-\frac{2\pi}{9}) равен LaTeX formula: \frac{2\pi}{3}, так как основной период LaTeX formula: T функции LaTeX formula: y=sinx равен LaTeX formula: 2\pi, а LaTeX formula: k=3
2) основной период LaTeX formula: T_1 функции LaTeX formula: y=ctg\frac{2x}{3} равен LaTeX formula: \frac{3\pi}{2}, так как основной период LaTeX formula: T функции LaTeX formula: y=tgx равен LaTeX formula: \pi, а LaTeX formula: k=\frac{2}{3}
Пример 1. Решите неравенство LaTeX formula: sinx\leq \frac{\sqrt2}{2}
Решение. Найдем наименьшее положительное решение уравнения LaTeX formula: sinx=\frac{\sqrt2}{2}. Получим: LaTeX formula: x= \frac{\pi}{4}. Построим на координатной плоскости единичную окружность и прямую LaTeX formula: y= \frac{\sqrt{2}}{2} (рис. 7.53).
Решением данного неравенства на основном периоде функции LaTeX formula: y=sinx, равном LaTeX formula: 2\pi, являются те значения переменной LaTeX formula: x, при которых выполняется условие LaTeX formula: -1\leq sinx\leq \frac{\sqrt{2}}{2}, т. е. отрезок LaTeX formula: \left [ \frac{3\pi}{4} ; 2\pi +\frac{\pi}{4}\right ]. Прибавляя к концам отрезка  числа вида LaTeX formula: 2\pi n, где LaTeX formula: n\in Z, получим множество всех решений неравенства. 
ОтветLaTeX formula: \left [ \frac{3\pi}{4}+2\pi n;\frac{9\pi}{4}+2\pi n\right ]LaTeX formula: n\in Z
Пример 2. Решите неравенство LaTeX formula: tgx\leq 1
Решение. Построим графики функций LaTeX formula: y=tgx и LaTeX formula: y=1 на промежутке LaTeX formula: \left ( -\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} \right ), т. е. на основном периоде функции LaTeX formula: y=tgx (рис. 7.54). 
Решением данного неравенства на этом промежутке является множество тех значений переменной LaTeX formula: x, при которых график функции LaTeX formula: y=tgx расположен не выше прямой LaTeX formula: y=1: промежуток LaTeX formula: \left ( -\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{4} \right ]. Прибавляя к концам этого промежутка числа вида LaTeX formula: \pi n, где LaTeX formula: n\in Z, получим множество всех решений данного неравенства. 
ОтветLaTeX formula: \left ( -\frac{\pi}{2}+\pi n;\frac{\pi}{4} +\pi n\right ]LaTeX formula: n\in Z.
Пример 3. Решите неравенство LaTeX formula: cos\left (2x+\frac{\pi}{6}\right)\leq \frac{1}{2}.
Решение. 1. Запишем неравенство в виде LaTeX formula: cos\left (2x+\frac{\pi}{6}\right)-\frac{1}{2}\leq0 и рассмотрим функцию LaTeX formula: f(x)=cos\left (2x+\frac{\pi}{6}\right)-\frac{1}{2}
2. Определим основной период функции по формуле LaTeX formula: T_1=\frac{T}{\left | k \right |}. Зная, что основной период LaTeX formula: T функции LaTeX formula: y=cosx равен LaTeX formula: 2\pi, а LaTeX formula: k=2, получим LaTeX formula: T_1=\pi
3. Найдем нули функции, решая уравнение LaTeX formula: cos\left (2x+\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{2}, откуда LaTeX formula: 2x+\frac{\pi}{6}=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi nLaTeX formula: n\in ZLaTeX formula: x=\pm \frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{12}+\pi nLaTeX formula: n\in Z.
4. Отберем корни уравнения на отрезке LaTeX formula: \left [ 0;\pi \right ]: если LaTeX formula: n=0, то LaTeX formula: x=\frac{\pi}{12}; если LaTeX formula: n=1, то LaTeX formula: x=\frac{3\pi}{4}
5. Нанесем числа LaTeX formula: \frac{\pi}{4} и LaTeX formula: \frac{3\pi}{4} на отрезок LaTeX formula: \left [ 0;\pi \right ] и определим знаки значений функции на полученных промежутках (рис. 7.55).
6. Решением неравенства на отрезке   является промежуток, на котором функция  принимает неположительные значения, т. е. отрезок LaTeX formula: \left [ \frac{\pi}{4};\frac{3\pi}{4} \right ]. Чтобы записать множество всех решений неравенства, необходимо к концам этого отрезка прибавить период функции LaTeX formula: \pi, предварительно умноженный на число m, принадлежащее множеству всех целых чисел. 
ОтветLaTeX formula: \left [ \frac{\pi}{4}+\pi m;\frac{3\pi}{4}+\pi m\right ]LaTeX formula: m\in Z. 
Пример 4. Найдите решения неравенства  
LaTeX formula: sin2x\cdot sin3x-cos2x\cdot cos3>sin10x.
Решение. 1. Запишем неравенство в виде 
LaTeX formula: cos2x\cdot cos3-sin2x\cdot sin3x <-sin10x.
Применяя формулы LaTeX formula: cosx\cdot cosy-sinx\cdot siny=cos(x+y) и LaTeX formula: sin2x=2sinx\cdot cosx, получим:
LaTeX formula: cos5x<-sin10xLaTeX formula: cos5x+2sim5x\cdot cos5x<0LaTeX formula: cos5x(1+2sin5x)<0.
2. Рассмотрим функцию LaTeX formula: f(x)= cos5x(1+2sin5x) и найдем ее нули, решая уравнение LaTeX formula: cos5x(1+2sin5x)=0, равносильное совокупности уравнений: 1) LaTeX formula: cos5x=0LaTeX formula: 5x=\frac{\pi}{2}+\pi nLaTeX formula: n\in ZLaTeX formula: x=\frac{\pi}{10}+\frac{\pi n}{5}LaTeX formula: n\in Z
2) LaTeX formula: 1+2sin5x=0LaTeX formula: sin5x=-\frac{1}{2}LaTeX formula: 5x=(-1)^{m+1}\frac{\pi}{6}+\pi mLaTeX formula: m\in ZLaTeX formula: x=(-1)^{m+1}\frac{\pi}{30}+\frac{\pi m}{5}LaTeX formula: m\in Z.
3. Отберем последовательные корни уравнения: 
1) если LaTeX formula: n=-1, то LaTeX formula: x=-\frac{\pi}{10}; если LaTeX formula: n=0, то LaTeX formula: x=\frac{\pi}{10}; если LaTeX formula: n=1, то LaTeX formula: x=\frac{3\pi}{10}; если LaTeX formula: n=2, то LaTeX formula: x=\frac{5\pi}{10};
 2) если LaTeX formula: m=0, то LaTeX formula: x=-\frac{\pi}{30}; если LaTeX formula: m=1, то LaTeX formula: x=\frac{7\pi}{30}; если LaTeX formula: m=2, то LaTeX formula: x=\frac{11\pi}{30}; если LaTeX formula: m=3, то LaTeX formula: x=\frac{19\pi}{30}.
4. Нанесем корни уравнения на координатную прямую и определим знаки значений функции LaTeX formula: f(x)=cos5x(1+2sin5x) на полученных промежутках (рис. 7.56).
5. Из рисунка 7.56 видим, что отрицательные значения функция принимает на промежутках разной длины: 
1) длина промежутка LaTeX formula: \left (-\frac{3\pi}{30};-\frac{\pi}{30} \right ) и промежутка LaTeX formula: \left (\frac{9\pi}{30};\frac{11\pi}{30} \right ) равна LaTeX formula: \frac{2\pi}{30}
2) длина промежутка LaTeX formula: \left (\frac{3\pi}{30};\frac{7\pi}{30} \right ) и промежутка LaTeX formula: \left (\frac{15\pi}{30};\frac{19\pi}{30} \right ) равна LaTeX formula: \frac{4\pi}{30}
Так как все промежутки знакопостоянства функции повторяются через LaTeX formula: \frac{12\pi}{30}, то основной период функции равен LaTeX formula: \frac{2\pi}{5}. Чтобы записать все решения неравенства необходимо к концам промежутков, на которых функция принимает отрицательные значения, прибавить LaTeX formula: \frac{2\pi k}{5}, где LaTeX formula: k\in Z
ОтветLaTeX formula: -\frac{\pi}{10}+\frac{2\pi k}{5}<x<-\frac{\pi}{30}+\frac{2\pi k}{5}LaTeX formula: \frac{\pi}{10}+\frac{2\pi k}{5}<x<\frac{7\pi}{30}+\frac{2\pi k}{5}LaTeX formula: k\in Z.
Если основной период функции, записанной в левой части неравенства, определить сложно, то можно решать неравенство на любом периоде этой функции. В отдельных случаях можно воспользоваться следующим алгоритмом:
1) записать неравенство в виде LaTeX formula: f(x)< 0 LaTeX formula: (>,\leq ,\geq ) и найти нули функции, решая уравнение LaTeX formula: f(x)=0;
2) отобрать несколько последовательных корней уравнения LaTeX formula: f(x)=0 так, чтобы получить не менее двух промежутков, на которых значения функции отрицательные (положительные, неположительные, неотрицательные);
3) определить два последовательных промежутка, на которых значения функции отрицательные (положительные, неположительные, неотрицательные);
4) определить расстояние на координатной прямой между промежутками, на которых функция имеет значения одного и того же знака (период функции), вычитая из начала второго промежутка, начало первого; 
5) записать один из промежутков, на котором функция принимает отрицательные (положительные, неположительные, неотрицательные) значения, и к его концам прибавить период функции, умноженный на целое число n.

formula