Логарифмические неравенства /qualihelpy

Логарифмические неравенства

Справочник / Школьник / Неравенства /

Справочный материал Примеры Обратите внимание! Модели

Логарифмическими называют неравенства, содержащие логарифмическую функцию.

Решение логарифмических неравенств основано на свойствах логарифмической функции.

Логарифмической называют функцию вида $LaTeX formula: y=log_{a}x$ , где LaTeX formula: a>0

и $LaTeX formula: a\neq 1$ .

$LaTeX formula: D(f):x\in (0;+\infty )$ ; $LaTeX formula: E(f): y\in R$ .

При

функция возрастает, а при LaTeX formula: 0<a<1

– убывает.

Методы решений неравенств

1. Если неравенство имеет вид

$LaTeX formula: log_{a}f(x)\leq log_{a}g(x)$ ( LaTeX formula: <

, $LaTeX formula: \geq$ ), (7.17)

где

то:

а) при условии, что LaTeX formula: a>1

получим

$LaTeX formula: f(x) \leq g(x)$ ; (7.17.1)

б) при условии, что LaTeX formula: 0<a<1

получим

$LaTeX formula: f(x) \geq g(x)$ . (7.17.2)

2. Если неравенство имеет вид

(7.18)

, то:

а) при условии, что LaTeX formula: a>1

получим

$LaTeX formula: f(x)< a^{g(x)}$ ; (7.18.1)

б) при условии, что LaTeX formula: 0<a<1

получим

$LaTeX formula: f(x)> a^{g(x)}$ . (7.18.2)

3. Если неравенство имеет вид

$LaTeX formula: log_{g(x)}f(x)\leq log_{g(x)}g(x) б$ , (7.19)

то решают совокупность систем неравенств:

$LaTeX formula: \left\{\begin{array}{lr} f(x)>0, & \\ g(x)>0, &\\ 0<g(x)<1, &\\ f(x)\geq g(x) \end{array}\right$ (7.19.1) и $LaTeX formula: \left\{\begin{array}{lr} f(x)>0, & \\ g(x)>0, &\\ g(x)>1, &\\ f(x)\leq g(x). \end{array}\right$ (7.19.2)

Пример 1. Найдите решение неравенства $LaTeX formula: log _{lg9}(8-x)>log_{lg9}(x+4)(2x-3)^{-1}$ .

Решение. ОДЗ: $LaTeX formula: \left\{\begin{matrix} 8-x>0,\\ \frac{x+4}{2x-3}>0. \end{matrix}\right$

Поскольку решением первого неравенства является промежуток $LaTeX formula: (-\infty;8)$ , то второе неравенство системы решим на этом промежутке методом интервалов. Согласно рисунку 7.44 запишем: $LaTeX formula: x\in (-\infty;-4)\cup (1,5;8)$ .

Имеем неравенство вида 7.17, которое на ОДЗ при LaTeX formula: 0<a<1

равносильно 7.17.2.

Так как

, то :

$LaTeX formula: 8-x<\frac{x+4}{2x-3}$ , $LaTeX formula: \frac{16x-24-2x^2+3x-x-4}{2x-3}<0$ , $LaTeX formula: \frac{-2x^2+18x-28}{2x-3}<0$ , $LaTeX formula: \frac{x^2-9x+14}{2x-3}>0$ .

Решим последнее неравенство методом интервалов на ОДЗ исходного неравенства (рис. 7.45) и получим: $LaTeX formula: x\in (1,5;2)\cup (7;8)$ .

Ответ: $LaTeX formula: (1,5;2)\cup (7;8)$ .

Пример 2. Найдите середину промежутка, на котором выполняется неравенство $LaTeX formula: log_{\pi}(x+27)+log_{\frac{1}{\pi}}(16-2x)<log_{\pi}x$ .

Решение. ОДЗ: $LaTeX formula: \left\{\begin{array}{lr} x+27>0, & \\ 16-2x>0, & \\ x>0; \end{array}\right$ $LaTeX formula: \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{lr} x>-27, & \\ x<8,& \\ x>0; \end{array}\right$ $LaTeX formula: \Leftrightarrow x\in (0;8)$ .

Выполним преобразования: $LaTeX formula: log_{\pi}(x+27)-log_{\pi}(16-2x)<log_{\pi}x$ $LaTeX formula: log_{\pi}\frac{(x+27)}{(16-2x)}<log_{\pi}x$ .

Имеем неравенство вида 7.17, которое на ОДЗ при LaTeX formula: a>1

равносильно 7.17.1.

Поскольку основание логарифма $LaTeX formula: \pi>1$ , то данное неравенство равносильно неравенству $LaTeX formula: \frac{(x+27)}{(16-2x)}<x$ , $LaTeX formula: \frac{x+27-16x+2x^2}{16-2x}<0$ , $LaTeX formula: \frac{2x^2-15x+27}{16-2x}<0$ . Решение этого неравенства показано на рисунке 7.46 : $LaTeX formula: x\in (3;4,5)$ .

Найдем середину интервала: $LaTeX formula: \frac{3+4,5}{2}=3,75$ .

Ответ:

Пример 3. Решите неравенство $LaTeX formula: log_{3}(log_2(2-log_4x)-1)<log_44$ .

Решение. ОДЗ: $LaTeX formula: \left\{\begin{array}{lr}x>0 , &\\ 2-log_4x>0, &\\ log_2(2-log_4x)>1; \end{array}\right$ $LaTeX formula: \left\{\begin{array}{lr} x>0 , & \\ log_4x<2, & \\ 2-log_2x>2; \end{array}\right$ $LaTeX formula: \left\{\begin{array}{lr} x>0,& \\ x<16,& \\ x<1; \end{array}\right$ $LaTeX formula: x\in (0;1)$ .

Имеем неравенства вида 7.18 которые на ОДЗ при LaTeX formula: a>1

равносильны 7.18.1.

Учитывая, что LaTeX formula: log_44=1

, получим: LaTeX formula: log_2(2-log_4x)-1<3

, $LaTeX formula: x>4^{-14}$ , $LaTeX formula: x>2^{-28}$ . Учитывая ОДЗ неравенства, запишем его решение: $LaTeX formula: x\in (2^{-28};1)$ .

Ответ: $LaTeX formula: (2^{-28};1)$ .

Пример 4. Решите неравенство $LaTeX formula: log_{0,09}x-log_{0,3}(5x)>log_{10/3}(x+3)+1$ .

Решение. ОДЗ: $LaTeX formula: \left\{\begin{array}{lr} x>0, & \\ x+3>0; \end{array}\right.$ $LaTeX formula: \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{lr} x>0, &\\ x>-3; \end{array}\right.$ $LaTeX formula: \Leftrightarrow x>0$ .

Применяя свойства логарифмов, запишем неравенство в виде:

$LaTeX formula: log_{0,3^2}x-log_{0,3}(5x)-log_{0,3^{-1}}(x+3)>1$ ,

$LaTeX formula: \frac{1}{2}log_{0,3}x-log_{0,3}(5x)+log_{0,3}(x+3)>1$ ,

$LaTeX formula: log_{0,3}x-log_{0,3}(5x)^2+log_{0,3}(x+3)^2>2$ ,

$LaTeX formula: log_{0,3}\frac{x(x+3)^2}{25x^2}>2$ .

Имеем неравенство вида 7.18, которое на ОДЗ при LaTeX formula: 0<a<1

равносильно 7.18.2.

Поскольку основание логарифма LaTeX formula: 0,3<1

, то $LaTeX formula: \frac{(x+3)^2}{25x}<0,3^2$ , а так как LaTeX formula: x>0

, то запишем: LaTeX formula: x^2+6x+9<2,25x

. Так как

, то это неравенство решений не имеет.

Ответ: $LaTeX formula: \varnothing$ .

Пример 5. Найдите наименьшее натуральное число, которое не является решением неравенства $LaTeX formula: log_{\mid x-1\mid}2^{-1}>2^{-1}$ .

Решение. Имеем неравенство 7.19, которое решим методом интервалов, записав его в виде $LaTeX formula: log_{\mid x-1\mid}0,5-0,5>0$ .

1. Рассмотрим функцию $LaTeX formula: f(x)=log_{\mid x-1\mid}0,5-0,5$ .

2. $LaTeX formula: D(f):\left\{\begin{matrix} \mid x-1\mid>0,\\ \mid x-1\mid\neq 1; \end{matrix}\right.$ $LaTeX formula: \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{lr} x_{1,2}\neq 1,& \\ x_3\neq 0, x_4\neq 2; \end{array}\right.$

3. Найдем нули функции, решая уравнение $LaTeX formula: log_{\mid x-1\mid}0,5=0,5$ , откуда $LaTeX formula: 0,5=\mid x-1\mid^{1/2}$ , $LaTeX formula: \mid x-1\mid=0,25$ . Тогда LaTeX formula: x-1=0,25

или

, а

или

4. Нанесем нули функции на ее область определения и установим знаки значений функции на полученных промежутках (рис. 7.47).

5. Решением неравенства являются промежутки, на которых функция положительна: $LaTeX formula: x\in (0;0,75)\cup (1,25;2)$ . Число 1 – наименьшее натуральное число, которое не является решением данного неравенства.

Ответ: 1.

Пример 6. Найдите среднее арифметическое всех целых решений неравенства $LaTeX formula: 2^{-1}lg^2(x+6)\geq 2^{-1}lg(x+6)lgx+lg^2x$ .

Решение. ОДЗ: $LaTeX formula: \left\{\begin{array}{lr} x+6>0, & \\ x>0; \end{array}\right.$ $LaTeX formula: \Leftrightarrow x>0$ .

Запишем неравенство в виде $LaTeX formula: lg^2(x+6)-lg(x+6)lgx-2lg^2x\geq 0$ и решим его методом интервалов.

По теореме, обратной теореме Виета, найдем нули функции LaTeX formula: f(lg(x+6))=lg^2(x+6)-lg(x+6)lgx-2lg^2x

$LaTeX formula: \begin{bmatrix} lg(x+6)=2lgx,\\ lg(x+6)=-lgx; \end{matrix}\right.$ $LaTeX formula: \begin{bmatrix} x+6=x^2,\\ x+6=\frac{1}{x}; \end{matrix}\right.$ $LaTeX formula: \begin{bmatrix} x^2-x-6=0,\\ x^2+6x-1=0; \end{matrix}\right.$ $LaTeX formula: \begin{bmatrix} x=-2,x=3,\\ x=-3\pm \sqrt{10}. \end{matrix}\right.$

Согласно рисунку 7.48 запишем его решение: $LaTeX formula: \left \lfloor -3+\sqrt{10};3 \right \rfloor$ .

Запишем целые решения неравенства: 1; 2; 3. Найдем среднее арифметическое этих решений: LaTeX formula: (1+2+3):3=2

Ответ: 2.

Пример 7. Решите неравенство $LaTeX formula: \sqrt{x^{log_2\sqrt{x}}}>log_{\sqrt2}2$ .

Решение. Запишем неравенство в виде $LaTeX formula: \sqrt{x^{log_2\sqrt{x}}}-2>0$ и решим его методом интервалов.

1. Рассмотрим функцию $LaTeX formula: f(x)=\sqrt{x^{log_2\sqrt{x}}}-2$ .

3. Найдем нули функции, решая уравнение $LaTeX formula: \sqrt{x^{log_2\sqrt{x}}}=2$ . Возводя обе части уравнения дважды в квадрат, получим $LaTeX formula: x^{log_2x^{1/2}}=2^2$ , $LaTeX formula: x^{\frac{1}{2}log_2x}=2^2$ , $LaTeX formula: x^{log_2x}=2^4$ . Полагая LaTeX formula: log_2x=a

, а

, запишем

, $LaTeX formula: 2^{a^2}=2^4$ . Тогда LaTeX formula: a^2=4

и $LaTeX formula: a=\pm 2$ . В таком случае LaTeX formula: x_1=2^2=4

и $LaTeX formula: x_2=2^{-2}=0,25$ .

4. Нанесем нули функции на ее область определения и установим знаки ее значений на полученных промежутках (рис. 7.49).

5. Решением неравенства являются промежутки, на которых функция положительна.

Ответ: $LaTeX formula: (0;0,25)\cup (4;+\infty)$ .

Пример 8. Найдите область определения функции $LaTeX formula: y=log_3(2^{log_{x-3}0,5}-log_33)+\frac{log_33}{log_3(2x-6)}$ .

Решение. Найдем область определения функции, решая систему ограничений: $LaTeX formula: \left\{\begin{array}{lr} x-3>0, x-3\neq 1, & \\ 2^{log_{3-1}0,5}-1>0,& \\ 2x-6>0, & \\ log_3(2x-6)\neq 0; \end{array}\right.$ $LaTeX formula: \left\{\begin{array}{lr} x>3, & \\ x\neq 4, & \\ x\neq 3,5, & \\ log_{x-3}0,5>0. \end{array}\right.$

Рассмотрим решение неравенства $LaTeX formula: log_{x-3}0,5>0$ на промежутках LaTeX formula: (3;3,5)

и $LaTeX formula: (4;+\infty )$ .

Поскольку функция $LaTeX formula: f(x)=log_{x-3}0,5$ нулей не имеет, то установим знаки ее значений на указанных промежутках (рис. 7.50).

Согласно рисунку 7.50 решением системы неравенств являются промежутки, на которых функция положительна.

Ответ: $LaTeX formula: (3;3,5)\cup (3,5;4)$ .

Пример 9. Найдите решение неравенства $LaTeX formula: \frac{log_{1/3}(2x-7)+log_3(x-3)}{\sqrt{9-x}}\geqslant log_{x-3}1$ .

Решение. Запишем данное неравенство в виде $LaTeX formula: \frac{log_{1/3}(2x-7)+log_3(x-3)}{\sqrt{9-x}}-log_{x-3}1\geqslant 0$ и решим его методом интервалов.

1. Рассмотрим функцию $LaTeX formula: f(x)=\frac{log_{1/3}(2x-7)+log_3(x-3)}{\sqrt{9-x}}-log_{x-3}1$ .

2. $LaTeX formula: D(f):\left\{\begin{matrix} 2x-7>0,\\ x-3>0,\\ x-3\neq 1,\\ 9-x>0; \end{matrix}\right.$ $LaTeX formula: \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x>3,5,\\ x>3,\\ x\neq 4,\\ x>9; \end{matrix}\right.$ $LaTeX formula: \Leftrightarrow x\in (3,5;4)\cup (4;9)$ .

3. На области определения функция примет вид: $LaTeX formula: f(x)=\frac{log_{1/3}(2x-7)+log_3(x-3)}{\sqrt{9-x}}$ .

Найдем её нули, решая уравнение: $LaTeX formula: log_{3^{-1}}(2x-7)+log_3(x-3)=0$ , $LaTeX formula: log_3(x-3)=log_{3}(2x-7)$ , LaTeX formula: x-3=2x-7

4. Поскольку значение LaTeX formula: x=4

не принадлежит области определения функции, то установим знаки функции на ее области определения (рис. 7.51).

5. Решением неравенства является промежуток, на котором функция не отрицательна.

Ответ:

Пример 10. Найдите наименьшее целое решение неравенства $LaTeX formula: \left | x+2 \right |^{log_{\sqrt{2}}(3+x)}\geq (-x-2)^8$ .

Решение. Поскольку $LaTeX formula: (-x-2)^8=\left | x+2 \right |^8$ , то запишем неравенство в виде $LaTeX formula: \left | x+2 \right |^{2log_{2}(3+x)}-\left | x+2 \right |^8\leq 0$ и решим его методом интервалов.

1. Рассмотрим функцию $LaTeX formula: f(x)=\left | x+2 \right |^{2log_{2}(3+x)}-\left | x+2 \right |^8$ .

3. Найдем нули функции, решая уравнение $LaTeX formula: \left | x+2 \right |^{2log_{2}(3+x)}=\left | x+2 \right |^8$ :

1) $LaTeX formula: log_{2}(3+x)=4$ , откуда LaTeX formula: 3+x=2^4

;

2) $LaTeX formula: \left | x+2 \right |=1$ $LaTeX formula: \Leftrightarrow \begin{bmatrix} x+2=1,\\ x+2=-1; \end{matrix}\right.$ $LaTeX formula: \Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=-1,\\ x=-3; \end{matrix}\right.$

, откуда

. Проверка: подставляя значение LaTeX formula: x=-2

в уравнение $LaTeX formula: |x+2|^{2log_2(3+x)}=|x+2|^8$ , получим LaTeX formula: 0^0=0^8

. Поскольку получили неопределенность вида LaTeX formula: 0^0

, то $LaTeX formula: x\neq -2$ .

4. Нанесем нули функции на ее область определения и установим знаки ее значений на полученных промежутках (рис.7.52).

5. Решением неравенства является объединение промежутков, на которых функция не отрицательна: $LaTeX formula: (-3;-2)\cup (-2;-1]\cup [13;+ \infty)$ .

Число

– наименьшее целое решение неравенства.

Ответ:

Всякое логарифмическое неравенство можно решить методом интервалов, но наиболее целесообразно этот метод применять в случае решения неравенств 7.19 и комбинированных неравенств.

Программа для просмотра моделей (МК-плеер) Файлы для скачивания m_7_логарифмические_неравенства