Справочный материал
Примеры
Обратите внимание!
Видео
Модели
Пройти тесты
;
.
(
,
,
), (7.17)
; (7.17.1)
. (7.17.2)
(7.18)
; (7.18.1)
. (7.18.2)
, (7.19)

,
,
,
. 
,
,
,
. 






Логарифмическими называют неравенства, содержащие логарифмическую функцию.
Решение логарифмических неравенств основано на свойствах логарифмической функции.
Логарифмической называют функцию вида
, где
и
.





При
функция возрастает, а при
– убывает.


Методы решений неравенств
1. Если неравенство имеет вид




где
и
то:


а) при условии, что
получим


б) при условии, что
получим


2. Если неравенство имеет вид

и
, то:

а) при условии, что
получим


б) при условии, что
получим


3. Если неравенство имеет вид

то решают совокупность систем неравенств:
(7.19.1) и
(7.19.2)


Пример 1. Найдите решение неравенства
.

Решение. ОДЗ: 

Поскольку решением первого неравенства является промежуток
, то второе неравенство системы решим на этом промежутке методом интервалов. Согласно рисунку 7.44 запишем:
.



Так как
, то :





Решим последнее неравенство методом интервалов на ОДЗ исходного неравенства (рис. 7.45) и получим:
.

Ответ:
.

Пример 2. Найдите середину промежутка, на котором выполняется неравенство
.

Решение. ОДЗ:
.



Выполним преобразования:
.


Поскольку основание логарифма
, то данное неравенство равносильно неравенству
,
,
. Решение этого неравенства показано на рисунке 7.46 :
.






Найдем середину интервала:
.

Ответ:
.

Пример 3. Решите неравенство
.

Решение. ОДЗ:
.




Учитывая, что
, получим:
,
,
,
,
,
. Учитывая ОДЗ неравенства, запишем его решение:
.








Ответ:
.

Пример 4. Решите неравенство
.

Решение. ОДЗ:
.



Применяя свойства логарифмов, запишем неравенство в виде:




Поскольку основание логарифма
, то
, а так как
, то запишем:
,
. Так как
, то это неравенство решений не имеет.






Ответ:
.

Пример 5. Найдите наименьшее натуральное число, которое не является решением неравенства
.

1. Рассмотрим функцию
.

2.



3. Найдем нули функции, решая уравнение
, откуда
,
. Тогда
или
, а
или
.







4. Нанесем нули функции на ее область определения и установим знаки значений функции на полученных промежутках (рис. 7.47).

5. Решением неравенства являются промежутки, на которых функция положительна:
. Число 1 – наименьшее натуральное число, которое не является решением данного неравенства.

Ответ: 1.
Пример 6. Найдите среднее арифметическое всех целых решений неравенства
.

Решение. ОДЗ:
.


Запишем неравенство в виде
и решим его методом интервалов.

По теореме, обратной теореме Виета, найдем нули функции
.





Согласно рисунку 7.48 запишем его решение:
.


Запишем целые решения неравенства: 1; 2; 3. Найдем среднее арифметическое этих решений:
.

Ответ: 2.
Пример 7. Решите неравенство
.

Решение. Запишем неравенство в виде
и решим его методом интервалов.

1. Рассмотрим функцию
.

2.
,

3. Найдем нули функции, решая уравнение
. Возводя обе части уравнения дважды в квадрат, получим
,
,
. Полагая
, а
, запишем
,
. Тогда
и
. В таком случае
и
.












4. Нанесем нули функции на ее область определения и установим знаки ее значений на полученных промежутках (рис. 7.49).

5. Решением неравенства являются промежутки, на которых функция положительна.
Ответ:
.

Пример 8. Найдите область определения функции
.

Решение. Найдем область определения функции, решая систему ограничений:



Рассмотрим решение неравенства
на промежутках
,
и
.




Поскольку функция
нулей не имеет, то установим знаки ее значений на указанных промежутках (рис. 7.50).


Согласно рисунку 7.50 решением системы неравенств являются промежутки, на которых функция положительна.
Ответ:
.

Пример 9. Найдите решение неравенства
.

Решение. Запишем данное неравенство в виде
и решим его методом интервалов.

1. Рассмотрим функцию
.

2.
.



3. На области определения функция примет вид:
.

Найдем её нули, решая уравнение:
,
,
,
.




4. Поскольку значение
не принадлежит области определения функции, то установим знаки функции на ее области определения (рис. 7.51).


5. Решением неравенства является промежуток, на котором функция не отрицательна.
Ответ:
.

Пример 10. Найдите наименьшее целое решение неравенства
.

Решение. Поскольку
, то запишем неравенство в виде
и решим его методом интервалов.


1. Рассмотрим функцию
.

2.
.

3. Найдем нули функции, решая уравнение
:

1)
, откуда
и
;



2)




3)
, откуда
. Проверка: подставляя значение
в уравнение
, получим
. Поскольку получили неопределенность вида
, то
.







4. Нанесем нули функции на ее область определения и установим знаки ее значений на полученных промежутках (рис.7.52).

5. Решением неравенства является объединение промежутков, на которых функция не отрицательна:
.
![(-3;-2)\cup (-2;-1]\cup [13;+ \infty) LaTeX formula: (-3;-2)\cup (-2;-1]\cup [13;+ \infty)](/uploads/formulas/204205492f92e5b607c1c9ae7a0a1c68c176e381.1.1.png)
Число
– наименьшее целое решение неравенства.

Ответ:
.

Всякое логарифмическое неравенство можно решить методом интервалов, но наиболее целесообразно этот метод применять в случае решения неравенств 7.19 и комбинированных неравенств.