Справочный материал
Примеры
Обратите внимание!
Видео
Модели
Пройти тесты
Логарифмическими называют неравенства, содержащие логарифмическую функцию.
Решение логарифмических неравенств основано на свойствах логарифмической функции.
Логарифмической называют функцию вида , где и .
; .
При функция возрастает, а при – убывает.
Методы решений неравенств
1. Если неравенство имеет вид
(, , ), (7.17)
где и то:
а) при условии, что получим
; (7.17.1)
б) при условии, что получим
. (7.17.2)
2. Если неравенство имеет вид
(7.18)
и , то:
а) при условии, что получим
; (7.18.1)
б) при условии, что получим
. (7.18.2)
3. Если неравенство имеет вид
, (7.19)
то решают совокупность систем неравенств:
(7.19.1) и (7.19.2)
(7.19.1) и (7.19.2)
Пример 1. Найдите решение неравенства .
Решение. ОДЗ:
Поскольку решением первого неравенства является промежуток , то второе неравенство системы решим на этом промежутке методом интервалов. Согласно рисунку 7.44 запишем: .
Так как , то :
, , , .
Решим последнее неравенство методом интервалов на ОДЗ исходного неравенства (рис. 7.45) и получим: .
Ответ: .
Пример 2. Найдите середину промежутка, на котором выполняется неравенство .
Решение. ОДЗ: .
Выполним преобразования: .
Поскольку основание логарифма , то данное неравенство равносильно неравенству , , . Решение этого неравенства показано на рисунке 7.46 : .
Найдем середину интервала: .
Ответ: .
Пример 3. Решите неравенство .
Решение. ОДЗ: .
Учитывая, что , получим: , , , , , . Учитывая ОДЗ неравенства, запишем его решение: .
Ответ: .
Пример 4. Решите неравенство .
Решение. ОДЗ: .
Применяя свойства логарифмов, запишем неравенство в виде:
,
,
,
.
Поскольку основание логарифма , то , а так как , то запишем: , . Так как , то это неравенство решений не имеет.
Ответ: .
Пример 5. Найдите наименьшее натуральное число, которое не является решением неравенства .
1. Рассмотрим функцию .
2.
3. Найдем нули функции, решая уравнение , откуда , . Тогда или , а или .
4. Нанесем нули функции на ее область определения и установим знаки значений функции на полученных промежутках (рис. 7.47).
5. Решением неравенства являются промежутки, на которых функция положительна: . Число 1 – наименьшее натуральное число, которое не является решением данного неравенства.
Ответ: 1.
Пример 6. Найдите среднее арифметическое всех целых решений неравенства .
Решение. ОДЗ: .
Запишем неравенство в виде и решим его методом интервалов.
По теореме, обратной теореме Виета, найдем нули функции .
Согласно рисунку 7.48 запишем его решение: .
Запишем целые решения неравенства: 1; 2; 3. Найдем среднее арифметическое этих решений: .
Ответ: 2.
Пример 7. Решите неравенство .
Решение. Запишем неравенство в виде и решим его методом интервалов.
1. Рассмотрим функцию .
2. ,
3. Найдем нули функции, решая уравнение . Возводя обе части уравнения дважды в квадрат, получим , , . Полагая , а , запишем , . Тогда и . В таком случае и .
4. Нанесем нули функции на ее область определения и установим знаки ее значений на полученных промежутках (рис. 7.49).
5. Решением неравенства являются промежутки, на которых функция положительна.
Ответ: .
Пример 8. Найдите область определения функции .
Решение. Найдем область определения функции, решая систему ограничений:
Рассмотрим решение неравенства на промежутках , и .
Поскольку функция нулей не имеет, то установим знаки ее значений на указанных промежутках (рис. 7.50).
Согласно рисунку 7.50 решением системы неравенств являются промежутки, на которых функция положительна.
Ответ: .
Пример 9. Найдите решение неравенства .
Решение. Запишем данное неравенство в виде и решим его методом интервалов.
1. Рассмотрим функцию .
2. .
3. На области определения функция примет вид: .
Найдем её нули, решая уравнение: , , , .
4. Поскольку значение не принадлежит области определения функции, то установим знаки функции на ее области определения (рис. 7.51).
5. Решением неравенства является промежуток, на котором функция не отрицательна.
Ответ: .
Пример 10. Найдите наименьшее целое решение неравенства .
Решение. Поскольку , то запишем неравенство в виде и решим его методом интервалов.
1. Рассмотрим функцию .
2. .
3. Найдем нули функции, решая уравнение :
1) , откуда и ;
2)
3) , откуда . Проверка: подставляя значение в уравнение , получим . Поскольку получили неопределенность вида , то .
4. Нанесем нули функции на ее область определения и установим знаки ее значений на полученных промежутках (рис.7.52).
5. Решением неравенства является объединение промежутков, на которых функция не отрицательна: .
Число – наименьшее целое решение неравенства.
Ответ: .
Всякое логарифмическое неравенство можно решить методом интервалов, но наиболее целесообразно этот метод применять в случае решения неравенств 7.19 и комбинированных неравенств.