Справочный материал Примеры Обратите внимание! Модели
Логарифмическими называют неравенства, содержащие логарифмическую функцию. 
Решение логарифмических неравенств основано на свойствах логарифмической функции. 
Логарифмической называют функцию вида LaTeX formula: y=log_{a}x, где LaTeX formula: a>0 и LaTeX formula: a\neq 1
LaTeX formula: D(f):x\in (0;+\infty )LaTeX formula: E(f): y\in R
При LaTeX formula: a>1 функция возрастает, а при LaTeX formula: 0<a<1 – убывает.
Методы решений неравенств
1. Если неравенство имеет вид  
LaTeX formula: log_{a}f(x)\leq log_{a}g(x) (LaTeX formula: <LaTeX formula: >LaTeX formula: \geq), (7.17)
где LaTeX formula: f(x)>0 и LaTeX formula: g(x)>0 то: 
а) при условии, что LaTeX formula: a>1 получим 
LaTeX formula: f(x) \leq g(x); (7.17.1)
б) при условии, что LaTeX formula: 0<a<1 получим 
LaTeX formula: f(x) \geq g(x). (7.17.2)
2. Если неравенство имеет вид  
LaTeX formula: log_af(x)<g(x)(7.18)
и LaTeX formula: f(x)>0, то: 
а) при условии, что LaTeX formula: a>1 получим 
LaTeX formula: f(x)< a^{g(x)}; (7.18.1)
б) при условии, что LaTeX formula: 0<a<1 получим 
LaTeX formula: f(x)> a^{g(x)}. (7.18.2)
3. Если неравенство имеет вид 
LaTeX formula: log_{g(x)}f(x)\leq log_{g(x)}g(x) б, (7.19)
то решают совокупность систем неравенств:
 
 LaTeX formula: \left\{\begin{array}{lr} f(x)>0, & \\ g(x)>0, &\\ 0<g(x)<1, &\\ f(x)\geq g(x) \end{array}\right   (7.19.1)   и   LaTeX formula: \left\{\begin{array}{lr} f(x)>0, & \\ g(x)>0, &\\ g(x)>1, &\\ f(x)\leq g(x). \end{array}\right   (7.19.2)

Пример 1. Найдите решение неравенства LaTeX formula: log _{lg9}(8-x)>log_{lg9}(x+4)(2x-3)^{-1}.
Решение. ОДЗ: LaTeX formula: \left\{\begin{matrix} 8-x>0,\\ \frac{x+4}{2x-3}>0. \end{matrix}\right
Поскольку решением первого неравенства является промежуток LaTeX formula: (-\infty;8), то второе неравенство системы решим на этом промежутке методом интервалов. Согласно рисунку 7.44 запишем: LaTeX formula: x\in (-\infty;-4)\cup (1,5;8).
 
Имеем неравенство вида 7.17, которое на ОДЗ при LaTeX formula: 0<a<1 равносильно 7.17.2.
Так как LaTeX formula: lg 9<1, то : 
LaTeX formula: 8-x<\frac{x+4}{2x-3}LaTeX formula: \frac{16x-24-2x^2+3x-x-4}{2x-3}<0LaTeX formula: \frac{-2x^2+18x-28}{2x-3}<0LaTeX formula: \frac{x^2-9x+14}{2x-3}>0
Решим последнее неравенство методом интервалов на ОДЗ исходного неравенства (рис. 7.45) и получим: LaTeX formula: x\in (1,5;2)\cup (7;8)
ОтветLaTeX formula: (1,5;2)\cup (7;8).
Пример 2. Найдите середину промежутка, на котором выполняется неравенство LaTeX formula: log_{\pi}(x+27)+log_{\frac{1}{\pi}}(16-2x)<log_{\pi}x.
Решение. ОДЗ: LaTeX formula: \left\{\begin{array}{lr} x+27>0, & \\ 16-2x>0, & \\ x>0; \end{array}\right   LaTeX formula: \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{lr} x>-27, & \\ x<8,& \\ x>0; \end{array}\right LaTeX formula: \Leftrightarrow x\in (0;8).
Выполним преобразования:  LaTeX formula: log_{\pi}(x+27)-log_{\pi}(16-2x)<log_{\pi}x LaTeX formula: log_{\pi}\frac{(x+27)}{(16-2x)}<log_{\pi}x
Имеем неравенство вида 7.17, которое на ОДЗ при LaTeX formula: a>1 равносильно 7.17.1.
Поскольку основание логарифма LaTeX formula: \pi>1, то данное неравенство   равносильно неравенству LaTeX formula: \frac{(x+27)}{(16-2x)}<xLaTeX formula: \frac{x+27-16x+2x^2}{16-2x}<0LaTeX formula: \frac{2x^2-15x+27}{16-2x}<0. Решение этого неравенства показано на рисунке 7.46 : LaTeX formula: x\in (3;4,5).
Найдем середину интервала: LaTeX formula: \frac{3+4,5}{2}=3,75.
ОтветLaTeX formula: 3,75.
Пример 3. Решите неравенство LaTeX formula: log_{3}(log_2(2-log_4x)-1)<log_44.
Решение. ОДЗ:  LaTeX formula: \left\{\begin{array}{lr}x>0 , &\\ 2-log_4x>0, &\\ log_2(2-log_4x)>1; \end{array}\right  LaTeX formula: \left\{\begin{array}{lr} x>0 , & \\ log_4x<2, & \\ 2-log_2x>2; \end{array}\right   LaTeX formula: \left\{\begin{array}{lr} x>0,& \\ x<16,& \\ x<1; \end{array}\right LaTeX formula: x\in (0;1).
Имеем неравенства вида 7.18 которые на ОДЗ при LaTeX formula: a>1 равносильны  7.18.1.
Учитывая, что LaTeX formula: log_44=1, получим: LaTeX formula: log_2(2-log_4x)-1<3LaTeX formula: log_2(2-log_4x)<4LaTeX formula: 2-log_4x<16LaTeX formula: log_4x>-14LaTeX formula: x>4^{-14}LaTeX formula: x>2^{-28}. Учитывая ОДЗ неравенства, запишем его решение: LaTeX formula: x\in (2^{-28};1).
ОтветLaTeX formula: (2^{-28};1).
Пример 4. Решите неравенство LaTeX formula: log_{0,09}x-log_{0,3}(5x)>log_{10/3}(x+3)+1.
Решение. ОДЗ:  LaTeX formula: \left\{\begin{array}{lr} x>0, & \\ x+3>0; \end{array}\right. LaTeX formula: \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{lr} x>0, &\\ x>-3; \end{array}\right. LaTeX formula: \Leftrightarrow x>0.
Применяя свойства логарифмов, запишем неравенство в виде:
LaTeX formula: log_{0,3^2}x-log_{0,3}(5x)-log_{0,3^{-1}}(x+3)>1,
LaTeX formula: \frac{1}{2}log_{0,3}x-log_{0,3}(5x)+log_{0,3}(x+3)>1,
LaTeX formula: log_{0,3}x-log_{0,3}(5x)^2+log_{0,3}(x+3)^2>2
LaTeX formula: log_{0,3}\frac{x(x+3)^2}{25x^2}>2
Имеем неравенство вида 7.18, которое на ОДЗ при LaTeX formula: 0<a<1 равносильно 7.18.2.
Поскольку основание логарифма LaTeX formula: 0,3<1, то LaTeX formula: \frac{(x+3)^2}{25x}<0,3^2, а так как LaTeX formula: x>0, то запишем: LaTeX formula: x^2+6x+9<2,25x, LaTeX formula: 100x^2-375x+900<0. Так как LaTeX formula: D<0, то это неравенство решений не имеет.
ОтветLaTeX formula: \varnothing.
Пример 5. Найдите наименьшее натуральное число, которое не является решением неравенства LaTeX formula: log_{\mid x-1\mid}2^{-1}>2^{-1}.
Решение. Имеем неравенство 7.19, которое решим методом интервалов, записав его в виде LaTeX formula: log_{\mid x-1\mid}0,5-0,5>0.
1. Рассмотрим функцию LaTeX formula: f(x)=log_{\mid x-1\mid}0,5-0,5.

2.   LaTeX formula: D(f):\left\{\begin{matrix} \mid x-1\mid>0,\\ \mid x-1\mid\neq 1; \end{matrix}\right. LaTeX formula: \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{lr} x_{1,2}\neq 1,& \\ x_3\neq 0, x_4\neq 2; \end{array}\right.
3. Найдем нули функции, решая уравнение LaTeX formula: log_{\mid x-1\mid}0,5=0,5, откуда LaTeX formula: 0,5=\mid x-1\mid^{1/2}LaTeX formula: \mid x-1\mid=0,25. Тогда LaTeX formula: x-1=0,25 или LaTeX formula: x-1=-0,25,  а LaTeX formula: x=1,25 или LaTeX formula: x=0,75.
4. Нанесем нули функции на ее область определения и установим знаки значений функции на полученных промежутках (рис. 7.47).
5. Решением неравенства являются промежутки, на которых функция положительна: LaTeX formula: x\in (0;0,75)\cup (1,25;2). Число 1 – наименьшее натуральное число, которое не является решением данного неравенства.
Ответ: 1.
Пример 6. Найдите среднее арифметическое всех целых решений неравенства LaTeX formula: 2^{-1}lg^2(x+6)\geq 2^{-1}lg(x+6)lgx+lg^2x.
Решение. ОДЗ: LaTeX formula: \left\{\begin{array}{lr} x+6>0, & \\ x>0; \end{array}\right. LaTeX formula: \Leftrightarrow x>0
Запишем неравенство в виде LaTeX formula: lg^2(x+6)-lg(x+6)lgx-2lg^2x\geq 0 и решим его методом интервалов. 
По теореме, обратной теореме Виета,  найдем нули функции LaTeX formula: f(lg(x+6))=lg^2(x+6)-lg(x+6)lgx-2lg^2x
LaTeX formula: \begin{bmatrix} lg(x+6)=2lgx,\\ lg(x+6)=-lgx; \end{matrix}\right. LaTeX formula: \begin{bmatrix} x+6=x^2,\\ x+6=\frac{1}{x}; \end{matrix}\right. LaTeX formula: \begin{bmatrix} x^2-x-6=0,\\ x^2+6x-1=0; \end{matrix}\right. LaTeX formula: \begin{bmatrix} x=-2,x=3,\\ x=-3\pm \sqrt{10}. \end{matrix}\right.
Согласно рисунку 7.48 запишем его решение: LaTeX formula: \left \lfloor -3+\sqrt{10};3 \right \rfloor.
Запишем целые решения неравенства:  1; 2; 3. Найдем среднее арифметическое этих решений: LaTeX formula: (1+2+3):3=2.
Ответ: 2.
Пример 7. Решите неравенство LaTeX formula: \sqrt{x^{log_2\sqrt{x}}}>log_{\sqrt2}2.
Решение. Запишем неравенство в виде LaTeX formula: \sqrt{x^{log_2\sqrt{x}}}-2>0 и решим его методом интервалов.
1. Рассмотрим функцию LaTeX formula: f(x)=\sqrt{x^{log_2\sqrt{x}}}-2.
2. LaTeX formula: D(f):x>0,
3. Найдем нули функции, решая уравнение LaTeX formula: \sqrt{x^{log_2\sqrt{x}}}=2. Возводя обе части уравнения дважды в квадрат, получим LaTeX formula: x^{log_2x^{1/2}}=2^2LaTeX formula: x^{\frac{1}{2}log_2x}=2^2LaTeX formula: x^{log_2x}=2^4. Полагая LaTeX formula: log_2x=a, а LaTeX formula: x=2^a, запишем LaTeX formula: (2^a)^a=2^4LaTeX formula: 2^{a^2}=2^4. Тогда LaTeX formula: a^2=4 и LaTeX formula: a=\pm 2. В таком случае LaTeX formula: x_1=2^2=4 и LaTeX formula: x_2=2^{-2}=0,25.
4. Нанесем нули функции на ее область определения и установим знаки ее значений на полученных промежутках (рис. 7.49).
5. Решением неравенства являются промежутки, на которых функция положительна. 
ОтветLaTeX formula: (0;0,25)\cup (4;+\infty).
Пример 8. Найдите область определения функции LaTeX formula: y=log_3(2^{log_{x-3}0,5}-log_33)+\frac{log_33}{log_3(2x-6)}.
Решение. Найдем область определения функции, решая систему ограничений:  LaTeX formula: \left\{\begin{array}{lr} x-3>0, x-3\neq 1, & \\ 2^{log_{3-1}0,5}-1>0,& \\ 2x-6>0, & \\ log_3(2x-6)\neq 0; \end{array}\right. LaTeX formula: \left\{\begin{array}{lr} x>3, & \\ x\neq 4, & \\ x\neq 3,5, & \\ log_{x-3}0,5>0. \end{array}\right.
Рассмотрим решение неравенства LaTeX formula: log_{x-3}0,5>0 на промежутках LaTeX formula: (3;3,5)LaTeX formula: (3,5;4) и LaTeX formula: (4;+\infty ).
Поскольку функция LaTeX formula: f(x)=log_{x-3}0,5 нулей не имеет, то установим знаки ее значений на указанных промежутках (рис. 7.50).
Согласно рисунку 7.50 решением системы неравенств являются промежутки, на которых функция положительна.
Ответ:  LaTeX formula: (3;3,5)\cup (3,5;4).
Пример 9. Найдите решение неравенства LaTeX formula: \frac{log_{1/3}(2x-7)+log_3(x-3)}{\sqrt{9-x}}\geqslant log_{x-3}1.
Решение. Запишем данное неравенство в виде LaTeX formula: \frac{log_{1/3}(2x-7)+log_3(x-3)}{\sqrt{9-x}}-log_{x-3}1\geqslant 0 и решим его методом интервалов.
1. Рассмотрим функцию LaTeX formula: f(x)=\frac{log_{1/3}(2x-7)+log_3(x-3)}{\sqrt{9-x}}-log_{x-3}1.
2.  LaTeX formula: D(f):\left\{\begin{matrix} 2x-7>0,\\ x-3>0,\\ x-3\neq 1,\\ 9-x>0; \end{matrix}\right. LaTeX formula: \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x>3,5,\\ x>3,\\ x\neq 4,\\ x>9; \end{matrix}\right. LaTeX formula: \Leftrightarrow x\in (3,5;4)\cup (4;9).
3. На области определения функция примет вид: LaTeX formula: f(x)=\frac{log_{1/3}(2x-7)+log_3(x-3)}{\sqrt{9-x}}.
Найдем её нули, решая уравнение: LaTeX formula: log_{3^{-1}}(2x-7)+log_3(x-3)=0LaTeX formula: log_3(x-3)=log_{3}(2x-7)LaTeX formula: x-3=2x-7LaTeX formula: x=4.
4. Поскольку значение LaTeX formula: x=4 не принадлежит области определения функции, то установим знаки функции на ее области определения (рис. 7.51).
5. Решением неравенства является промежуток, на котором функция  не отрицательна. 
Ответ:  LaTeX formula: (3,5;4)
Пример 10. Найдите наименьшее целое решение неравенства LaTeX formula: \left | x+2 \right |^{log_{\sqrt{2}}(3+x)}\geq (-x-2)^8.
Решение. Поскольку LaTeX formula: (-x-2)^8=\left | x+2 \right |^8, то запишем неравенство в виде LaTeX formula: \left | x+2 \right |^{2log_{2}(3+x)}-\left | x+2 \right |^8\leq 0 и решим его методом интервалов.
1. Рассмотрим функцию LaTeX formula: f(x)=\left | x+2 \right |^{2log_{2}(3+x)}-\left | x+2 \right |^8.
2. LaTeX formula: D(f):x>-3.
3. Найдем нули функции, решая уравнение LaTeX formula: \left | x+2 \right |^{2log_{2}(3+x)}=\left | x+2 \right |^8:
1) LaTeX formula: log_{2}(3+x)=4, откуда LaTeX formula: 3+x=2^4 и LaTeX formula: x=13
2) LaTeX formula: \left | x+2 \right |=1 LaTeX formula: \Leftrightarrow \begin{bmatrix} x+2=1,\\ x+2=-1; \end{matrix}\right. LaTeX formula: \Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=-1,\\ x=-3; \end{matrix}\right.
3) LaTeX formula: x+2=0, откуда LaTeX formula: x=-2. Проверка: подставляя значение LaTeX formula: x=-2 в уравнение LaTeX formula: |x+2|^{2log_2(3+x)}=|x+2|^8, получим LaTeX formula: 0^0=0^8. Поскольку получили неопределенность вида LaTeX formula: 0^0, то LaTeX formula: x\neq -2.
4. Нанесем нули функции на ее область определения и установим знаки ее значений на полученных промежутках (рис.7.52).
5. Решением неравенства является объединение промежутков, на которых функция не отрицательна: LaTeX formula: (-3;-2)\cup (-2;-1]\cup [13;+ \infty)
Число LaTeX formula: -1 – наименьшее целое решение неравенства.
Ответ:  LaTeX formula: -1.

Всякое логарифмическое неравенство можно решить методом интервалов, но наиболее целесообразно этот метод применять в случае решения неравенств 7.19 и комбинированных неравенств.
formula