Справочный материал Примеры Обратите внимание! Модели
Обыкновенная дробь – это число вида  LaTeX formula: \frac{a}{b} , где LaTeX formula: a и LaTeX formula: b – натуральные числа. Число LaTeX formula: b называется знаменателем дроби и показывает, на сколько равных частей разделена единица. Число LaTeX formula: a называется числителем дроби и показывает, сколько таких частей взято. Если  LaTeX formula: a<b , то дробь LaTeX formula: \frac{a}{b}  правильная, если же  LaTeX formula: a\geq b , то дробь LaTeX formula: \frac{a}{b}  неправильная
Например, дроби LaTeX formula: \frac{1}{7}  и LaTeX formula: \frac{5}{12}  – правильные, а дроби LaTeX formula: \frac{15}{9}  и LaTeX formula: \frac{8}{8}  – неправильные.
Основное свойство дроби 
Если числитель и знаменатель дроби LaTeX formula: \frac{a}{b}  увеличить или уменьшить в одно и то же число раз, то величина дроби не изменится: LaTeX formula: \frac{a}{b}=\frac{a\cdot k}{b\cdot k}  и  LaTeX formula: \frac{ka}{kb}=\frac{a}{b} .
Дробь является несократимой, если числитель и знаменатель этой дроби представлены взаимно простыми числами.
Например, дроби LaTeX formula: \frac{3}{7}  и LaTeX formula: \frac{15}{29}  – несократимые, а дроби LaTeX formula: \frac{5}{125}  и  LaTeX formula: \frac{8}{8} – сократимые.
Числа вида LaTeX formula: a+\frac{b}{c}  называют смешанными. Как правило, в записи этих чисел знак «LaTeX formula: +» между целой и дробной частью числа опускают и пишут:  LaTeX formula: 3+\frac{1}{5}=3\frac{1}{5}
Всякое смешанное число можно представить в виде обыкновенной дроби:  LaTeX formula: a+\frac{b}{c}=\frac{ac+b}{c} . 
Например,  LaTeX formula: 11\frac{2}{7}=\frac{11 \cdot 7+2}{7}=\frac{79}{7} .
У обыкновенной дроби всегда можно выделить целую часть. Например, у правильной дроби LaTeX formula: \frac{1}{4} целая часть равна нулю; у неправильной дроби LaTeX formula: \frac{7}{4}  целая часть равна LaTeX formula: 1, т.е.  LaTeX formula: \frac{7}{4}=1\frac{3}{4} .
Правила сложения и вычитания обыкновенных дробей
1. Если дроби имеют одинаковые знаменатели, то их складывают (вычитают) по правилу:  
LaTeX formula: \frac{a}{b} \pm \frac{c}{b}=\frac{a \pm c}{b} . (1.1) 
Например, LaTeX formula: \frac{2}{3}+\frac{1}{3}=\frac{3}{3}=1 . 
2. Если дроби имеют различные знаменатели, то их складывают (вычитают) по правилу:  
LaTeX formula: \frac{a}{b} \pm \frac{c}{d}=\frac{am \pm cn}{HOK(b;d)} ,(1.2) 
где LaTeX formula: m и LaTeX formula: n – дополнительные множители, причем  LaTeX formula: m=\frac{HOK(b;d)}{b} ,  LaTeX formula: n=\frac{HOK(b;d)}{d} . 
Например,  LaTeX formula: \frac{2}{3}-\frac{1}{12}=\frac{2 \cdot 4-1}{12}=\frac{7}{12} .
3. При сложении и вычитании смешанных чисел, можно отдельно сложить (вычесть) целые и дробные их части. 
Например,   LaTeX formula: 2\frac{1}{6}+5\frac{5}{12}=(2+5)+\frac{2+5}{12}=7\frac{7}{12} .
Правила умножения и деления обыкновенных дробей
1. Умножение дробей выполняют по правилу:  
LaTeX formula: \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}=\frac{ac}{bd} . (1.3)
2. Деление дробей выполняют по правилу: 
 LaTeX formula: \frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}=\frac{ad}{bc} . (1.4)
3. При умножении и делении смешанных чисел необходимо представлять эти числа в виде обыкновенных дробей.
Дроби LaTeX formula: \frac{a}{b}  и  LaTeX formula: \frac{b}{a} являются взаимно обратными. Произведение взаимно обратных дробей равно единице:  LaTeX formula: \frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a}=1 .
Правило нахождения дроби от числа: чтобы найти дробь от числа, необходимо умножить это число на дробь. 
Правило нахождения числа по его дроби: чтобы найти число по заданной величине его дроби, необходимо разделить заданную величину на эту дробь. 
Сравнение обыкновенных дробей
1. Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та дробь, у которой больший числитель. Например:  LaTeX formula: \frac{4}{9}>\frac{1}{9} .
2. Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та дробь, у которой меньший знаменатель. Например,  LaTeX formula: \frac{7}{8}<\frac{7}{4} .
3. При сравнении дробей с различными знаменателями, необходимо их приводить к общему знаменателю. 
4. При сравнении смешанных чисел с разными целыми частями достаточно сравнить их целые части. Например,  LaTeX formula: 2\frac{1}{5}>\frac{4}{25} , так как  LaTeX formula: 2>0 .
5. При сравнении смешанных чисел с одинаковыми целыми частями необходимо сравнить их дробные части. Например, LaTeX formula: 3\frac{2}{5}<3\frac{4}{5}  , так как LaTeX formula: \frac{2}{5}<\frac{4}{5} .

Пример 1. Выполните действия: 
1) по правилу 1.2  LaTeX formula: \frac{5}{6}+\frac{3}{8}=\frac{5}{2 \cdot 3}+\frac{3}{2 \cdot 2 \cdot 2}=\frac{5 \cdot 4+3 \cdot 3}{3 \cdot 8}=\frac{29}{24}=1\frac{5}{24} ;
2) по правилу 1.2  LaTeX formula: 6\frac{1}{3}-4\frac{6}{7}=(6-4)+\left ( \frac{1}{3}-\frac{6}{7} \right )=2+\frac{7-18}{21}=1\frac{21}{21}-\frac{11}{21}=1\frac{10}{21} ;
3) по правилу 1.3 LaTeX formula: -1\frac{2}{5} \cdot \frac{3}{7}=-\frac{7}{5} \cdot \frac{3}{7}=-\frac{7 \cdot 3}{5 \cdot 7}=-\frac{3}{5} ; 
4) по правилу 1.4 LaTeX formula: -\frac{1}{2}:\left ( -2\frac{1}{3} \right )=\frac{1}{2}:\frac{7}{3}=\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{7}=\frac{3}{14} .
Пример 2. Сравните дроби LaTeX formula: \frac{3}{4}  и  LaTeX formula: \frac{2}{7} .
Решение. Приведем эти дроби к знаменателю LaTeX formula: 28 . 
Поскольку  LaTeX formula: \frac{3}{4}=\frac{3 \cdot 7}{4 \cdot 7}=\frac{21}{28} , а LaTeX formula: \frac{2}{7}=\frac{2 \cdot 4}{7 \cdot 4}=\frac{8}{28}  и  LaTeX formula: \frac{21}{28}>\frac{8}{28} , то  LaTeX formula: \frac{3}{4}>\frac{2}{7} .
Пример 3. Найдите LaTeX formula: \frac{2}{5}  от числа LaTeX formula: 75 .
Решение.  LaTeX formula: 75 \cdot \frac{2}{5}=\frac{75 \cdot 2}{5}=15 \cdot 2=30 .
Ответ: LaTeX formula: 30 .
Пример 4. Найдите число,  LaTeX formula: \frac{2}{5} которого равны LaTeX formula: 30 .
Решение.  LaTeX formula: 30:\frac{2}{5}=\frac{30 \cdot 5}{2}=75 . 
Ответ: LaTeX formula: 75 .

1. Любое натуральное и любое целое число можно представить в виде обыкновенной дроби:  LaTeX formula: 5=\frac{5}{1} ;  LaTeX formula: -3=\frac{-3}{1} ;  LaTeX formula: 0=\frac{0}{1} .
2. Число LaTeX formula: 1 всегда можно представить в виде обыкновенной дроби, у которой числитель равен знаменателю. Например: LaTeX formula: 1=\frac{2}{2} ,  LaTeX formula: 1=\frac{3}{3} , и т.п. Исключение составляет дробь  LaTeX formula: \frac{0}{0} . Это выражение не имеет смысла.
3. Целое число (за исключением числа LaTeX formula: 1) можно всегда представить в виде смешанного числа. Например, LaTeX formula: 2=1\frac{5}{5} .

formula