Справочный материал Примеры Обратите внимание! Модели
Преобразования неравенств, содержащих переменную под знаком модуля, основано на определении модуля числа.
Модулем (абсолютной величиной) числа LaTeX formula: a называют число LaTeX formula: a, если оно неотрицательное, и противоположное ему число, если число  LaTeX formula: a отрицательное: 
LaTeX formula: \left | a \right |=a, если LaTeX formula: a \geq 0 и LaTeX formula: \left | a \right |=-a, если LaTeX formula: a<0.
Методы решений неравенств
1. Если неравенство имеет вид 
LaTeX formula: \left | f(x) \right |\leq g(x), (7.8)
то оно равносильно системе неравенств
LaTeX formula: \left\{\begin{matrix} f(x)\leq g(x), & & \\ f(x)\geq -g(x). & & \end{matrix}\right. (7.8.1)
2. Если неравенство имеет вид 
LaTeX formula: \left | f(x) \right |\geq g(x), (7.9)
то оно равносильно совокупности неравенств
 LaTeX formula: \begin{bmatrix} f(x)\geq g(x), & & \\ f(x)\leq -g(x). & & \end{matrix} (7.9.1)
3. Решение неравенств вида LaTeX formula: \left | f(x) \right |\leq f(x)  ( LaTeX formula: <,  LaTeX formula: \geqLaTeX formula: > ):
1) если неравенство имеет вид 
LaTeX formula: \left | f(x) \right |\leq f(x) ( LaTeX formula: <  ), (7.10)
то оно равносильно неравенству  
LaTeX formula: f(x)\geq 0 ( LaTeX formula: > ); (7.10.1)
2) если неравенство имеет вид  
LaTeX formula: \left | f(x) \right |\geq f(x), (7.11)
то оно выполняется на всей области определения функции LaTeX formula: f(x);
3) если неравенство имеет вид 
LaTeX formula: \left | f(x) \right |> f(x), (7.12)
то оно равносильно неравенству  
LaTeX formula: f(x)< 0. (7.12.1)
4. Если неравенство имеет вид  
LaTeX formula: \left | f(x) \right |< \left | g(x) \right | ( LaTeX formula: >,  LaTeX formula: \leq,  LaTeX formula: \geq), (7.13)
то оно равносильно неравенству 
LaTeX formula: f^{2}(x)< g^{2}(x) ( LaTeX formula: >,  LaTeX formula: \leq,  LaTeX formula: \geq). (7.13.1)
5. Если неравенство содержит несколько модулей, например, имеет вид 
LaTeX formula: \left | f_{1}(x) \right |+\left | f_{2}(x) \right |\leq g(x), ( LaTeX formula: \geqLaTeX formula: <LaTeX formula: > ) , (7.14)
то применяем метод интервалов, следуя алгоритму:
1) находим нули функций, стоящих под знаком модуля, решая уравнения LaTeX formula: f_{1}(x)=0 и LaTeX formula: f_{2}(x)=0;
2) наносим нули функций на область определения уравнения;
3) раскрываем модули на каждом промежутке;
4) решаем полученные неравенства;
5) производим отбор корней на каждом промежутке, оставляя корни, принадлежащие рассматриваемому промежутку.

Пример 1. Решите неравенство LaTeX formula: \left | \frac{6x+1}{3-x} \right |<6.
Решение. Имеем неравенство вида 7.8, которое равносильно 7.8.1, следовательно, данное неравенство равносильно системе неравенств: 
LaTeX formula: \left\{\begin{matrix} \frac{6x+1}{3-x}<6,\\ \frac{6x+1}{3-x}>-6; & \end{matrix}\right.  LaTeX formula: \left\{\begin{matrix} \frac{6x+1-18+6x}{3-x}<0,\\ \frac{6x+1+18-6x}{3-x}>0; & \end{matrix}\right. LaTeX formula: \left\{\begin{matrix} \frac{12x-17}{3-x}<0,\\ \frac{19}{3-x}>0. & \end{matrix}\right.
Поскольку второе неравенство системы выполняется при LaTeX formula: 3-x>0, то первое неравенство системы решим методом интервалов на промежутке LaTeX formula: (-\infty ;3)
Согласно рисунку 7.32 запишем решение системы неравенств, а, следовательно, и решение исходного неравенства: LaTeX formula: x\in (-\infty ;\frac{17}{12}).
Ответ:  LaTeX formula: x\in (-\infty ;\frac{17}{12})
Пример 2. Решите неравенство LaTeX formula: \left | 2-\left | x-1 \right | \right |\geq 30.
Решение. Имеем неравенство вида 7.9, которое равносильно 7.9.1, следовательно, данное неравенство равносильно совокупности неравенств: 
 LaTeX formula: \left[ \begin {aligned} & \ 2-\left | x-1 \right |\geq 30, \\ & \ 2-\left | x-1 \right | \leq -30; \end {aligned} \rightLaTeX formula: \Leftrightarrow \left[ \begin {aligned} & \left | x-1 \right|\leq -28, \\ & \left | x-1 \right|\geq 32. \end {aligned} \right
Решим каждое неравенство совокупности: 
1) поскольку левая часть неравенства LaTeX formula: \left | x-1 \right|\leq -28 всегда положительна, а правая его часть всегда отрицательна и положительное число больше отрицательного, то неравенство не имеет решений;
2)  LaTeX formula: \left | x-1 \right|\geq 32 LaTeX formula: \Leftrightarrow \begin{bmatrix} x-1\geq 32,\\ x-1\leq - 32; \end{matrix}\right. LaTeX formula: \Leftrightarrow \begin{bmatrix} x\geq 33,\\ x\leq -31; \end{matrix}\right. LaTeX formula: \Leftrightarrow x\in (-\infty ;-31]\cup [33;+\infty).
Решением совокупности неравенств является решение второго неравенства совокупности.
Ответ:  LaTeX formula: (-\infty ;-31]\cup [33;+\infty).
Пример 3. Найдите сумму решений системы неравенств LaTeX formula: \left\{\begin{matrix} \left | 10x+3 \right|\leq 33,\\ \left | 10x+3 \right|\geq 33. \end{matrix}\right.
Решение. Способ I. Так как неравенство 7.8 равносильно 7.8.1, то 
 LaTeX formula: \left | 10x+3 \right|\leq 33 \Leftrightarrow LaTeX formula: \left\{\begin{matrix} 10x+3\leq33,\\ 10x+3\geq-33; \end{matrix}\right.  LaTeX formula: \Leftrightarrow x\in [-3,6; 3]
Так как неравенство вида 7.9, равносильно 7.9.1, то
 LaTeX formula: \left | 10x+3 \right|\geq 33 LaTeX formula: \Leftrightarrow \[\left[\begin{aligned} & \ 10x+3 \geq 33,\\& \ 10x+3\leq -33; \end{aligned}\right. LaTeX formula: \Leftrightarrow \[\left[\begin{aligned} & \ x \geq 3,\\& \ x\leq -3,6; \end{aligned}\right. LaTeX formula: \Leftrightarrow x\in (-\infty;-3,6]\cup [3;+\infty).
Очевидно, что решением системы неравенств являются числа –3,6 и 3, сумма которых равна –0,6.
Способ II. Заменим систему неравенств LaTeX formula: \left\{\begin{matrix} \left | 10x+3 \right|\leq 33,\\ \left | 10x+3 \right|\geq 33 \end{matrix}\right. равносильным уравнением 
LaTeX formula: \left | 10x+3 \right| =33 LaTeX formula: \Leftrightarrow  LaTeX formula: \[\left[\begin{aligned} & \ 10x+3 = 33,\\& \ 10x+3= -33; \end{aligned}\right. LaTeX formula: \Leftrightarrow \[\left[\begin{aligned} & \ x = 3,\\& \ x= -3,6; \end{aligned}\right.
Ответ:  LaTeX formula: -0,6.
Пример 4. Найдите наименьшее целое положительное решение неравенства LaTeX formula: 8x^2+8\sqrt{x^2}-3>0.
Решение. Поскольку LaTeX formula: \sqrt{x^2}=\left | x \right | и LaTeX formula: x^2=\left | x \right |^2, то неравенство примет вид LaTeX formula: 8\left |x\right|^2+8\left | x \right |-3>0, решать которое будем методом интервалов.
1. Рассмотрим функцию LaTeX formula: f(x)=8\left |x\right|^2+8\left | x \right |-3.
2. LaTeX formula: D(f):x\in R.
3. Найдем нули функции, решая уравнение LaTeX formula: 8\left |x\right|^2+8\left | x \right |-3=0. Получим LaTeX formula: \left | x \right |=\frac{-2-\sqrt{10}}{4}, откуда LaTeX formula: x\in \varnothing или LaTeX formula: \left | x \right |=\frac{-2+\sqrt{10}}{4}, откуда LaTeX formula: x_1=\frac{-2+\sqrt{10}}{4}LaTeX formula: x_2=\frac{2-\sqrt{10}}{4}.
4. Нанесем полученные числа на координатную прямую и определим знаки значений функции на полученных промежутках (рис. 7.33).
5. Решением неравенства является объединение промежутков, на которых функция  положительна: LaTeX formula: \left ( -\infty ; \frac{2-\sqrt{10}}{4}\right )\cup \left ( \frac{-2+\sqrt{10}}{4} ;+\infty\right).
Так как LaTeX formula: \frac{2-\sqrt{10}}{4}<0, а LaTeX formula: \frac{-2+\sqrt{10}}{4}\approx 0,29, то число 1 является наименьшим целым положительным решением неравенства.
Ответ: 1.
Пример 5. Найдите сумму квадратов целых решений неравенства LaTeX formula: \left | \left |x\right | -6 \right |>\left | x^2-5\left | x\right |+9\right |.
РешениеТак как имеем неравенство вида 7.13, которое равносильно 7.13.1, то запишем LaTeX formula: (\left |x\right | -6)^2>(\left | x\right |^2-5\left | x\right |+9)^2 или LaTeX formula: (\left |x\right | -6)^2-(\left | x\right |^2-5\left | x\right |+9)^2>0
Разложим левую часть неравенства на множители, применяя формулу разности квадратов:
LaTeX formula: (\left |x\right | -6-\left | x\right |^2+5\left | x\right |-9)(\left |x\right | -6+\left | x\right |^2-5\left | x\right |+9)>0LaTeX formula: (\left |x\right |^2 -6\left | x\right |+15)(\left | x\right |^2-4\left |x\right |+ 3)<0.
Решим неравенство методом интервалов.
1. Рассмотрим функцию LaTeX formula: f(x)=(\left |x\right |^2 -6\left | x\right |+15)(\left | x\right |^2-4\left |x\right |+ 3).
2. LaTeX formula: D(f): x\in R.
3. Найдем нули функции, решая совокупность уравнений:
1) LaTeX formula: \left |x\right |^2 -6\left | x\right |+15=0, откуда LaTeX formula: x\in \varnothing;
2) LaTeX formula: \left | x\right |^2-4\left |x\right |+ 3=0, откуда LaTeX formula: x_1=1LaTeX formula: x_2=-1LaTeX formula: x_3=3 и LaTeX formula: x_4=-3.
4. Нанесем числа –1, 1, –3 и 3 на координатную прямую и определим знаки значений функции на полученных промежутках (рис. 7.34).
5. Решением неравенства является объединение промежутков, на котором функция отрицательна: LaTeX formula: (-3;-1)\cup (1;3).
Найдем сумму квадратов целых решений неравенства: LaTeX formula: (-2)^2+2^2=8.
Ответ:  LaTeX formula: 8.
Пример 6. Найдите область определения функции LaTeX formula: y=\sqrt{\left | x-2 \right |-\left | 2x+4 \right |+2}-2x^2-2x+4.
Решение. Так как выражение, стоящее под знаком радикала, не может быть отрицательным, то LaTeX formula: \left | x-2 \right |-\left | 2x+4 \right | +2\geq 0.
Имеем неравенство вида 7.14, которое решим методом интервалов.
1. Найдем нули функций, стоящих под знаком модуля, решая уравнения LaTeX formula: x-2=0, откуда LaTeX formula: x=2 и LaTeX formula: 2x+4=0, откуда LaTeX formula: x=-2.
2. Нанесем числа LaTeX formula: 2 и LaTeX formula: -2 на координатную прямую и рассмотрим полученные промежутки (рис. 7.35). 
3. Раскроем модули на каждом промежутке и решим неравенства:
а) если LaTeX formula: x\in (-\infty ;-2], то LaTeX formula: 2-x+2x+4+2\geq 0LaTeX formula: x \geq -8, LaTeX formula: x\in [-8;-2];
б) если LaTeX formula: x\in (-2 ;-2], то LaTeX formula: 2-x-2x-4+2\geq 0LaTeX formula: -3x\geq 0LaTeX formula: x\leq 0LaTeX formula: x\in \left ( -2;0 \right ];
в) если LaTeX formula: x\in (2;+\infty), то LaTeX formula: x-2-2x-4+2\geq 0LaTeX formula: -x\geq 4LaTeX formula: x\leq -4 и LaTeX formula: x\in \varnothing.
4. Решением неравенства является объединение полученных промежутков: LaTeX formula: x\in \left [ -8; 0 \right ]
Ответ:  LaTeX formula: \left [ -8; 0 \right ].
Пример 7. Решите неравенство LaTeX formula: \frac{\left | x \right |^2-7\left | x \right |-10}{x^2-6x+9}>0.
Решение. Решим неравенство методом интервалов. 
1. Если LaTeX formula: x\leq 0, то неравенство примет вид LaTeX formula: \frac{x^2+7x+10}{(x-3)^2}>0LaTeX formula: \frac{(x+5)(x+2)}{(x-3)^2}>0. Его решение показано на рисунке 7.36: LaTeX formula: x\in (-\infty ;-5)\cup (-2;0].
2. Если LaTeX formula: x>0, то неравенство примет вид LaTeX formula: \frac{x^2-7x+10}{(x-3)^2}>0LaTeX formula: \frac{(x-5)(x-2)}{(x-3)^2}>0. Его решение показано на рисунке 7.37: LaTeX formula: x\in (0;2)\cup (5;+\infty ).
Решением исходного неравенства является объединение решений, полученных в первом и втором случаях.
Ответ:  LaTeX formula: (-\infty;-5)\cup (-2;2)\cup (5;+\infty ).

Всякое неравенство, содержащее переменную по знаком модуля, можно решить методом интервалов, но наиболее целесообразно применять этот метод в случае решения комбинированных неравенств.
formula