Справочный материал Примеры Обратите внимание! Модели
Целым рациональным неравенством называют неравенство вида LaTeX formula: f(x)< 0 (>, ≤, ≥), где LaTeX formula: f(x) – алгебраический многочлен. 
Дробным рациональным неравенством называют неравенство вида LaTeX formula: \frac{f(x)}{g(x)}< 0 (>, ≤, ≥), где LaTeX formula: f(x) и LaTeX formula: g(x) – алгебраические многочлены. Очевидно, что множество решений дробно-рационального неравенства не должно содержать корней многочлена LaTeX formula: g(x)
Рассмотрим дробно-рациональную функцию LaTeX formula: f(x)=\frac{g_{1}(x)}{g_{2}(x)}. Корни многочлена LaTeX formula: g_{1}(x) называют нулями функции, а корни многочлена LaTeX formula: g_{2}(x) называют точками разрыва функции. 
Решая дробно-рациональное неравенство LaTeX formula: \frac{g_{1}(x)}{g_{2}(x)}< 0 (>, ≤, ≥)   методом интервалов можно не находить область определения функции LaTeX formula: f(x)=\frac{g_{1}(x)}{g_{2}(x)}, а нанести на координатную прямую ее нули и точки разрыва и определить знаки значений функции на полученных промежутках.  
Пример 1. Решите неравенство LaTeX formula: (2-x)^{2}(x+3)^{3}(x-7)< 0.
Решение. 1. Рассмотрим функцию LaTeX formula: f(x)=(2-x)^{2}(x+3)^{3}(x-7).
2. Найдем нули функции, решая уравнение 
 LaTeX formula: (2-x)^{2}(x+3)^{3}(x-7)=0.
Получим LaTeX formula: x_{1,2}=2LaTeX formula: x_{3,4,5}=-3LaTeX formula: x_{6}=7.
3. Корни нечетной кратности –3 и 7 нанесем на координатную прямую один раз, а корень четной кратности 2 – два раза (рис. 7.8). 
Определим знаки значений функции на любом промежутке, например, на промежутке LaTeX formula: (-3;2), найдя значение функции в точке LaTeX formula: x=0, принадлежащей этому промежутку: LaTeX formula: f(0)=(-2)^{2} \cdot 3^{3} \cdot (-7)< 0.
Определим знаки значений функции на остальных промежутках, чередуя их при переходе через точки –3 и 7 и сохраняя знак (чередуя дважды) при переходе через точку 2.
4. Объединив промежутки, на которых функция отрицательна, получим решение данного неравенства: LaTeX formula: (-3;2)\cup (2;7).
Ответ: LaTeX formula: (-3;2)\cup (2;7).
Пример 2. Решите неравенство LaTeX formula: \frac{x^{2}(x+1)}{x^{2}-4}\geq 0.
Решение. 1. Рассмотрим функцию LaTeX formula: f(x)=\frac{x^{2}(x+1)}{x^{2}-4}.
2. Найдем нули функции, решая уравнение LaTeX formula: x^{2}(x+1)=0. Получим LaTeX formula: x_{1,2}=0LaTeX formula: x_{3}=-1. Найдем точки разрыва функции, решая уравнение LaTeX formula: x^{2}-4=0. Получим LaTeX formula: x_{4}=-2LaTeX formula: x_{5}=2.                                              
3. Нанесем нули и точки разрыва функции на координатную прямую, при этом точки разрыва отметим на координатной прямой «пустыми» кружочками, а нули функции «зачерненными» кружочками (рис. 7.9). Определим знаки значений функции на полученных промежутках. 
4. Так как функция LaTeX formula: f(x)=\frac{x^{2}(x+1)}{x^{2}-4} может быть как положительной, так и равной нулю (на это указывает смысловой знак неравенства LaTeX formula: \geq ), то решением неравенства является объединение промежутков, на которых функция неотрицательна и число LaTeX formula: 0
LaTeX formula: (-2;1]\cup (2;+\infty )\cup \left \{ 0 \right \}.
Ответ: LaTeX formula: (-2;1]\cup (2;+\infty )\cup \left \{ 0 \right \}.
Пример 3. Решите неравенство LaTeX formula: x^{8}+9x^{6}+6x< 6x^{7}+x^{2}+9.
Решение. Запишем неравенство в виде LaTeX formula: x^{8}-6x^{7}+9x^{6}-x^{2}+6x-9< 0 и разложим его левую часть на множители: LaTeX formula: x^{6}(x^{2}-6x+9)-(x^{2}-6x+9)< 0LaTeX formula: (x^{2}-6x+9)(x^{6}-1)< 0LaTeX formula: (x-3)^{2}(x^{6}-1)< 0.
1. Рассмотрим функцию LaTeX formula: f(x)=(x-3)^{2}(x^{6}-1).
2. Найдем нули функции, решая уравнение LaTeX formula: (x-3)^{2}(x^{6}-1)=0, равносильное совокупности уравнений LaTeX formula: (x-3)^{2}=0 и LaTeX formula: x^{6}-1=0. Получим LaTeX formula: x_{1,2}=3LaTeX formula: x_{3,4}=\pm 1.
3. Нанесем нули функции на координатную прямую (рис. 7.10) и определим знаки функции на полученных промежутках.
4. Решением неравенства является промежуток, на котором функция LaTeX formula: f(x)=(x-3)^{2}(x^{6}-1) отрицательна: LaTeX formula: (-1;1).
Ответ:  LaTeX formula: (-1;1).
Пример 4. Решите неравенство LaTeX formula: \frac{x^{4}+x^{2}+1}{x^{2}-4x-5}< 0
Решение1. Рассмотрим функцию LaTeX formula: f(x)=\frac{x^{4}+x^{2}+1}{x^{2}-4x-5}.
2. Найдем нули функции, решая уравнение LaTeX formula: x^{4}+x^{2}+1=0. Поскольку LaTeX formula: D< 0, то уравнение не имеет действительных корней. Найдем точки разрыва функции, решая уравнение LaTeX formula: x^{2}-4x-5=0, откуда LaTeX formula: x_{1}=-1 и LaTeX formula: x_{2}=5.
3. Нанесем числа –1 и 5 на координатную прямую и определим знаки значений функции на полученных промежутках (рис. 7.11).
4. Решением неравенства является промежуток, на котором функция LaTeX formula: f(x)=\frac{x^{4}+x^{2}+1}{x^{2}-4x-5} отрицательна: LaTeX formula: (-1;5).
Ответ: LaTeX formula: (-1;5)
Пример 5. Определите количество целых решений неравенства LaTeX formula: \left ( \frac{-x}{x-5} \right )^{2}+\frac{-10x}{0,2(5-x)^{2}(x+5)}\leq \frac{1}{0,2x+1}.
Решение. Запишем неравенство в виде LaTeX formula: f(x)\leq 0
 LaTeX formula: \frac{x^{2}}{(x-5)^{2}}-\frac{50x}{(x-5)^{2}(x+5)}-\frac{5}{(x+5)}\leq 0,
 LaTeX formula: \frac{x^{2}(x+5)-50x -5(x-5)^{2}}{(x-5)^{2}(x+5)}\leq 0LaTeX formula: \frac{x^{3}+5x^{2}-50x-5x^{2}+50x-125}{(x-5)^{2}(x+5)}\leq 0LaTeX formula: \frac{x^{3}-125}{(x-5)^{2}(x+5)}\leq 0.
1. Рассмотрим функцию LaTeX formula: f(x)=\frac{x^{3}-125}{(x-5)^{2}(x+5)}.
2. Найдем нули функции, решая уравнение LaTeX formula: x^{3}-125=0, откуда LaTeX formula: x=5. Найдем точки разрыва функции, решая уравнения LaTeX formula: (x-5)^{2}=0, откуда LaTeX formula: x_{1,2}=5 и LaTeX formula: x+5=0, откуда LaTeX formula: x=-5.
3. Нанесем полученные числа на координатную прямую (рис. 7.12) и определим знак значений функции LaTeX formula: f(x)=\frac{x^{3}-125}{(x-5)^{2}(x+5)} на промежутке LaTeX formula: (-5;5), подставив в функцию любое число из указанного промежутка, например, число 0: LaTeX formula: f(0)=-1< 0. Определим знак значений функции на остальных промежутках, чередуя их при переходе через точки 5 и –5 (числа 5 и –5 – корни нечетной кратности).
4. Так как функция не положительна, то решением исходного неравенства является интервал LaTeX formula: (-5;5) (рис. 7.12).
Запишем целые решения неравенства: LaTeX formula: -4LaTeX formula: -3LaTeX formula: -2LaTeX formula: -1LaTeX formula: 0LaTeX formula: 1LaTeX formula: 2LaTeX formula: 3LaTeX formula: 4.
Ответ: 9.
Пример 6. Найдите среднее арифметическое целых решений неравенства LaTeX formula: 1< \frac{3x^{2}-7x+8}{x^{2}+1}< 2.
Решение. Данное неравенство равносильно системе неравенств LaTeX formula: \left\{\begin{matrix} \frac{3x^{2}-7x+8}{x^{2}+1}> 1, & & & \\ & & & \\ \frac{3x^{2}-7x+8}{x^{2}+1}< 2. & & & \end{matrix}\right. Решим каждое неравенство системы методом интервалов, предварительно умножив эти неравенства на LaTeX formula: x^{2}+1> 0.
1. Первое неравенство примет вид LaTeX formula: 3x^{2}-7x+8> x^{2}+1 или LaTeX formula: 2x^{2}-7x+7> 0. Оно справедливо для любых LaTeX formula: x\in R, так как график квадратичной функции LaTeX formula: y=2x^{2}-7x+7 не пересекает ось абсцисс (D < 0) и ветви параболы направлены вверх.
2. Второе неравенство примет вид LaTeX formula: x^{2}-7x+6< 0. Его решение: LaTeX formula: x\in (1;6) (рис. 7.13).
Поскольку решение второго неравенства является подмножеством решений первого, то интервал LaTeX formula: (1; 6) является решением исходной системы неравенств. Запишем целые решения системы неравенств: 2, 3, 4, 5. Найдем среднее арифметическое этих чисел: LaTeX formula: (2+3+4+5):4=3,5 .
Ответ: LaTeX formula: 3,5.
Пример 7. Найдите сумму целых решений системы неравенств LaTeX formula: \frac{4}{x-2}< \frac{2}{x+1}\leq \frac{2}{x}, удовлетворяющих условию LaTeX formula: 0,04x^{2}\leq 1
Решение. Запишем неравенство LaTeX formula: 0,04x^{2}\leq 1 в виде LaTeX formula: x^{2}-25\leq 0LaTeX formula: (x-5)(x+5)\leq 0 и решим его методом интервалов. 
Согласно рисунку 7.14 запишем его решение: LaTeX formula: x\in \left [ -5;5 \right ].
Решим систему неравенств LaTeX formula: \frac{2}{x-2}< \frac{1}{x+1}\leq \frac{1}{2x}  на отрезке LaTeX formula: \left [ -5;5 \right ]:  
LaTeX formula: \left\{\begin{matrix} \frac{2}{x-2}< \frac{1}{x+1}, & & & \\ & & & \\ \frac{1}{x+1}\leq \frac{1}{2x}; & & & \end{matrix}\right.  LaTeX formula: \left\{\begin{matrix} \frac{2}{x-2}-\frac{1}{x+1}< 0, & & & \\ & & & \\ \frac{1}{x+1}-\frac{1}{2x}\leq0; & & & \end{matrix}\right.  LaTeX formula: \left\{\begin{matrix} \frac{x+4}{(x-2)(x+1)}< 0, & & & \\ & & & \\ \frac{x-1}{2x(x+1)}\leq 0. & & & \end{matrix}\right.                                                                                         
Решение первого неравенства системы показано на рисунке 7.15: LaTeX formula: x\in \left [ -5;-4)\cup (1;2).
Решение второго неравенства системы показано на рисунке 7.16: LaTeX formula: x\in \left [ -5;-1)\cup (0;1].
Решение системы неравенств показано на рисунке 7.17: LaTeX formula: x\in \left [ -5;4)\cup (0;1].
Исходная система неравенств имеет два целых решения, удовлетворяющих условию LaTeX formula: x^{2}\leq 25. Найдем сумму этих решений: LaTeX formula: -5+1= -4.
Ответ: LaTeX formula: -4
Пример 8. Найдите область определения функции LaTeX formula: y=\sqrt{\frac{16x-16-4x^{2}}{x-1}}+1.
Решение. Имеем иррациональную функцию четной степени корня. Следовательно, выражение, стоящее под знаком радикала, не должно быть отрицательным:  LaTeX formula: \frac{16x-16-4x^{2}}{x-1}}\geq 0 или  LaTeX formula: \frac{x^{2}-4x+4}{1-x}\geq 0LaTeX formula: \frac{(x-2)^{2}}{1-x}\geq 0
Решим полученное неравенство методом интервалов.
1. Рассмотрим функцию LaTeX formula: f(x)=\frac{(x-2)^{2}}{1-x}.
2. Найдем нули функции, решая уравнение LaTeX formula: (x-2)^{2}=0, откуда LaTeX formula: x_{1,2}=2. Найдем точки разрыва функции, решая уравнение LaTeX formula: 1-x=0, откуда LaTeX formula: x=1.
3. Нанесем нули и точки разрыва функции на координатную прямую и определим знаки значений функции на полученных промежутках (рис. 7.18).
4. Решением неравенства является промежуток LaTeX formula: (-\infty ;0), на котором функция LaTeX formula: f(x)=\frac{(x-2)^{2}}{1-x} положительна, и точка 2, в которой функция обращается в нуль.
Ответ:  LaTeX formula: (-\infty ;0)\cup \left \{ 2 \right \}.

Сравните решения неравенств:
1) неравенство LaTeX formula: (x+a)^{2}\geq 0 выполняется при LaTeX formula: x\in R; 
2) неравенство LaTeX formula: (x+a)^{2}> 0 выполняется при LaTeX formula: x\neq -a;
3) неравенство LaTeX formula: (x+a)^{2}< 0 решений не имеет;
4) неравенство LaTeX formula: (x+a)^{2}\leq 0 имеет единственное решение LaTeX formula: x=-a.

formula